一個活躍在高考中的恒等式

張玉虎

(云南省施甸縣第一中學 678200)

圖1 圖2

極化恒等式解決的是共起點兩向量的數(shù)量積問題，解決的關鍵是在第三邊上取中點，將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為向量的長度問題.在高考數(shù)學中，極化恒等式能將一些涉及向量的數(shù)量積問題化繁為簡、化難為易，從而使共起點向量的數(shù)量積問題得以快捷、高效地解決.

1 用極化恒等式求解數(shù)量積的值

解析 如圖3，由極化恒等式可得

圖3 圖4

④《直齋書錄解題》可考的最晚撰寫年代是理宗淳祐五六年(1245-1246)，但因一直未付梓最后編定成書時間難定。詳參武秀成《陳振孫評傳》第二章《直齋書錄解題》的成書與流傳，南京大學出版社2006年版。

2 用極化恒等式求解與數(shù)量積有關的最值與范圍

圖5

A.[2,6) B.[2,6]

圖6

圖7

3 用極化恒等式求解圓錐曲線問題

A.2 B.3 C.6 D.8

圖8

圖9

向量是高中數(shù)學的重要組成部分，是高中階段學生必須掌握的重要數(shù)學工具之一.其工具性主要體現(xiàn)在它是連接代數(shù)與幾何的橋梁，在求解數(shù)學問題中可以通過引入向量，借助向量的坐標運算與幾何運算來解決問題.近幾年的高考數(shù)學試題越來越重視對向量運用能力的考查，這已經(jīng)成為高考命題的一個熱點，而且在逐步向綜合性與靈活性方向提升.極化恒等式來源于教材而高于教材，構建起了向量與幾何長度之間的互化通道，實現(xiàn)了向量與幾何、代數(shù)的之間的巧妙結合，優(yōu)化了解題方法，值得廣大考生去重視和思考.