信達雅：命制試題的理想狀態

張 濤 夏 威

(江蘇省無錫外國語學校 214000)

清末啟蒙思想家嚴復認為：“譯事三難：信、達、雅”，提出了翻譯作品的評價標準.筆者認為，“信、達、雅”不僅適用于評價翻譯作品，也適用于評價數學試題.下面結合幾個案例，談談“信、達、雅”在試題評價上的內涵.

1 信

信者，真也.“信”的試題要科學真實、準確嚴謹，這是命題者應該恪守的底線.

例1已知m>0，n>0，5m=50，5n=2，(5m)n=125.(1)求m-n的值；(2)求2m+n的值．

例1主要考查冪的運算，命題者預設的解法如下：由題意，5m-n=25，則m-n=2.又5mn=125，則mn=3，(m+n)2=(m-n)2+4mn=16，m+n=4，于是2m+n=16.

不同方法為何得出不同答案？原來題目的條件是互斥的.由5n=2，得n=log52，于是n<1；另一方面，由50n=125，得n=log50125，于是n>1.事實上，“5m=50，5n=2”就已確定了m,n的值，不能再對(5m)n隨意賦值.

例1這類錯題不僅影響考試的考查效果，更不利于科學精神、創新精神的培養.科學性是試題的生命線，是命制試題必須遵守的重要原則.試題的科學性指試題不存在邏輯錯誤，不自相矛盾，不違背基本概念和規律.這就要求命題者要小心謹慎，仔細推敲.命制代數試題要反復驗算，多次論證，不可隨意賦值;命制幾何試題要關注數據與圖形的一致性.因隨意設置數據導致的幾何錯題也屢見不鮮，文[1]中作了剖析，這里不再贅述.

圖1

例2本身沒有科學性錯誤，但條件表述不嚴謹.一方面，根據條件中的“如圖”，似乎只要考慮Q在D左側的情況，答案應是一解;另一方面，P的位置是不確定的，Q的位置也隨之變化，Q可能落到D的右側(如圖2)，答案應是兩解.兩種觀點都有道理，學生和教師不免糾結.不妨將“P是y軸的正半軸上一點”改為“P是y軸正半軸上一個動點”，再隱去圖形中的P,Q兩點(如圖3).

圖2 圖3

如果試題命制不嚴謹，就會出現不同理解，引發爭議.因此，命制試題要字斟句酌，準確嚴謹，以避免爭議.試題的文字部分要表述清晰，沒有歧義，給出的圖形要比例準確，圖文相符.

2 達

達者，至也.“達”的試題要緊扣題型特點，符合課標要求，能有效檢測學生的知識水平或思維品質，完成預期的評價目標.

例3如圖4，△ABC中，∠C=90°，D是BC邊上一點，∠ADC=3∠BAD，BD=8，DC=7，則AB的值為( ).

圖4

A.15 B.20

例3考查倍角關系，題干簡潔，富有新意,難度較大.然而，考生即使不知道AB的求法，也能通過“AB>BC”得到答案B，試題就失去了區分和選拔的功能.將本題改作填空的壓軸題，可以起到更好的考查效果.

命制試題要考慮題型特點，保證試題的信度和效度，尤其是選擇、填空這類客觀題，只要求結果不要求過程，所以時常發生試題不能檢測出學生真實水平的情況.因此,在命制客觀題時不能因為題小而隨意.命制選擇題時要使錯誤選項具有干擾性，把學生可能出現的典型錯誤作為備選選項，使測試結果具有診斷性.命制填空題時要注意數據設置宜簡不宜繁，以考查學生數學知識或思想方法為主.對于只能逐一檢驗的客觀題(如：下列結論正確的是)，不宜設置過多的備選結論，導致試題思維量過大.

例4如圖5，從一個邊長為4米的菱形鐵皮中剪下一個圓心角為60°的扇形.(1)求這個扇形的面積(結果保留π)；(2)在剩下的一塊余料中，能否剪出一個圓作為底面與此扇形圍成一個圓錐？請說明理由.

圖5

例4主要考查圓中的相關計算，問題背景是圓與圓相切，而在新的課程標準中“圓與圓的位置關系”已被刪去，這樣的試題顯然不符合課標要求.對于沒有學習過相關內容的考生來說，此題也違背了公平性原則，難以達到預期的考查目標.

命制試題要堅持落實課程標準的要求.圓與圓的位置關系、有效數字、分母有理化、圖形的鑲嵌等內容已從課標中刪去，命題時要注意避開. 例4這類超“標”試題不僅信度和效度較低，更會引起教師的糾結：課標刪去的內容到底講不講？要讓學生掌握到何種程度？這樣的教學導向有悖于新課標理念，可能加重學生的負擔.

3 雅

雅者，美也.“雅”的試題外形美觀、結構美好，秀外慧中，帶給人美的享受，這是命制試題的更高境界.

例5某文明小區有50平方米和80平方米兩種戶型的住宅，50平方米住宅套數是80平方米住宅套數的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取當月物管費，該小區全部住宅都有人住且每戶均按時全額繳納物管費．

(1)該小區每月可收取物管費90 000元，問該小區共有多少套80平方米的住宅？

例5是一元二次方程的應用題，對數學建模、數學運算等核心素養進行考查.本題約400字，文字偏多、信息量大，會對學生造成較大的心理壓力.根據題意列出的方程也相當繁雜，令人望而生畏.過多的文字、過于復雜的方程不僅偏離了數學學科考查的主旨，也會給學生留下數學繁難冗長、枯燥乏味的印象.

考查學生閱讀材料、提取信息等能力本無可厚非，但應當把握好度.如果學生經常做類似例5的試題，如何能感受到數學的美呢？所以命制試題時，要避免出現過多的文字、過于繁難的算式、過于復雜的圖形.其實數學本身是和諧統一、簡潔美好的.表述流暢、圖形簡潔的試題恰似出水芙蓉，清新天然，美麗動人.命制簡潔美觀的試題，也是引導學生感受和欣賞數學美的一種途徑.

例6在平行四邊形ABCD中，AB=4， ∠B=60°，邊CD可左右平移，點E為CD邊的中點.點P為BC上的一個動點，將△ABP沿著AP翻折，得△AB′P.

(1)如圖6，若B′恰好與E重合，求此時AD的長；

圖6 圖7

(3)若AD=3，動點M從點C出發沿著邊CD

運動到點D的整個過程中，使得對于同一個度數的∠AMB，點M有且只有一個位置與之對應，直接寫出這樣的點M對應的∠AMB正弦值的取值范圍.

案例6作為壓軸題，簡約而不簡單，承載了區分選拔的功能.第(1)問考查解三角形，第(2)問考查相似三角形，第(3)問求取值范圍，三個小問梯度合理，層次分明.從三小問中拿出任意一問都是不錯的試題,任意刪去一問或者改變小問的排列順序，也不影響解題.就是說，各個小問相互獨立，缺乏內在關聯，給人以割裂之感.

在命制試題時，除了要追求試題外在的美感，還要關注試題的內秀，即試題應該結構完整、生長自然.尤其是命制綜合題時，要關注各小問在求解思路或相關信息上的遞進和呼應，不宜毫無關聯，東拼西湊.

4 結語

“信、達、雅”從內容和形式兩個方面對試題命制提出了要求.信，即準確嚴謹;達，即完成目標;雅，即美麗自然.這三者既相互獨立又相輔相成.信是基礎，信則能用;達是關鍵，達則有用;雅是追求，雅則好用.數學教師在命制試題時，既應關注試題內容的科學有效，又要追求試題形式的至善至美，以期達到“信、達、雅”的理想命題狀態.