滲透函數思想 探究導數雙零點問題*

高 軍

(廣東省深圳市高級中學 518040)

函數思想是中學數學的基本思想之一，是用運動和變化的觀點分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題轉化問題，從而使問題獲得解決的一種重要數學思想，它貫穿于整個中學數學的教學與研究中. 導數中的雙零點問題是各類型考試中的熱點題型，尤其是這樣一類問題：已知含有ex或lnx的函數f(x)，且存在x1，x2，x1≠x2，滿足f(x1)=f(x2)，證明有關x1與x2的不等式或求某個參數的取值范圍，這類問題倍受命題人的青睞. 本文以一道雙零點導數問題為例，滲透函數思想，探究此類問題的解題方法與策略，與讀者交流.

1 問題呈現，解法探究

問題呈現 已知f(x)=ex-ax+a，若f(x)的圖象與x軸交于兩點(x1,0)，(x2,0) (x1

(1)求實數a的取值范圍；

(2)求證：x1x2

解法探究 (1)實數a的取值范圍為(e2,+∞)(過程略).

(2)先證明不等式x1x2

思路1 重組設元，整體構造，滲透函數思想

解由題意,ex1=ax1-a①，ex2=ax2-a②.

①×②,得ex1+x2=a2(x1-1)(x2-1)=a2(x1x2-x1-x2+1).

①-②,得ex1-ex2=a(x1-x2).

構造函數h(t)=et-e-t-2t.h′(t)=et+e-t- 2≥0，所以h(t)在(-∞，0)上單調遞增，所以h(t)

思路2 根據形式，類比構造，滲透函數思想

解由題意，得ex1=ax1-a，ex2=ax2-a，兩式兩邊取對數,得x1=ln(x1-1)+lna①，x2=ln(x2-1)+lna②.

思路3 結合圖形，巧妙構造，滲透函數思想

由于x1x2

圖1

思路4 消參換元，主元構造，滲透函數思想

故m′(t)在(0，1)上單調遞增，從而m′(t)

從而m(t)>m(1)=0，因而g′(t)<0，g(t)在(0，1)上單調遞減.

評注消去參數a，引入中間變量t，用變量t表示x1，x2，結論中的二元不等式變為以t為主元的一元不等式，構造相應函數，研究函數單調性，用洛必達法則讓問題得到解決.

下面證明：x1+x2<2lna.

分析 由題意，得ex1=ax1-a，ex2=ax2-a，兩式兩邊取對數得,x1=ln(x1-1)+lna①，x2=ln(x2-1)+lna②.由①+②得x1+x2=ln(x1-1)(x2-1)+2lna.

要證x1+x2<2lna，只需證ln(x1-1)(x2- 1)<0，即證x1x2

思路5 極值偏移，對稱構造，滲透函數思想

解f′(x)=ex-a，若a≤0，則f′(x)>0，故f(x)在R上單調遞增，不合題意.

若a>0，由f′(x)>0得x>lna，由f′(x)<0得x

若f(x)有兩個零點，則f(lna)=eln a-alna+a<0，故a>e2且x1f(2lna-x2).

2 歸納總結，反思感悟

(1)含有雙變量且有參數的雙零點問題，綜合性強、難度大，問題的切入角度廣泛，學生較難掌握.解決該類問題的主要思路是將條件和結論進行適當變形與轉化，結合具體的結構形式與特點構造新函數，將雙變量問題轉化為單變量的函數問題來解決.

(2)數學思想是數學的靈魂與精髓，是知識轉化為能力的橋梁和紐帶.在解決導數的雙零點問題中，每種思路方法都滲透著函數思想，體現了函數思想在解題中的重要作用.在平時教學過程中，教師要有意識、有目的地在教學中滲透數學思想，這有利于提高學生分析問題解決問題的能力，有利于提升學生的數學學科核心素養.

(3)素養導向的高考命題注重科學探究能力的考查，有必要研究開發探究型、開放型試題，發揮各種題型的組合功能，拓展學生思維空間.注重一題多解、一題多法，拓寬學生的解題思路，引領學生多角度自主探究，促使學生熟練掌握多種數學方法，提升數學解題技能與課堂效益，激發學生學習潛力.

3 借石攻玉，變式探究

下面是問題的變式題，讀者不妨借用上述不同的解決問題思路試一試.

變式1 已知f(x)=ex-ax，若f(x)的圖象與x軸交于兩點(x1,0)，(x2,0)，(x12.

變式2 已知函數f(x)=lnx-ax有兩個不同零點x1,x2，求證：x1x2>e2.

變式3 已知函數f(x)=(lnx-k-1)x，若x1

變式4 (2016年新課標Ⅰ卷理21題改編)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個不同零點x1,x2，求證：x1+x2<2.