發現數學之路
——以測量建筑物高度為例

胡永強

(江蘇省蘇州高新區陽山實驗初級中學校 215151)

蘇科版初中數學教材九年級下冊安排了一次數學活動：測量建筑物的高度．在這次活動之前，學生已經學過了勾股定理、相似三角形、銳角三角函數等數學知識．這是一次綜合實踐活動，旨在讓學生運用所學過的數學知識解決生活中的實際問題．這個過程可以提高學生綜合運用知識的能力，讓學生真正經歷學以致用的過程，感悟數學知識有著廣泛的應用價值．下面我就這次活動的組織情況及活動后的一些思考記錄如下，與大家交流．

1 組織流程

1.1 分設小組

班內共有48人，筆者將學生按照組內異質、組間同質的原則分成6人小組，共8個小組．每組選定一位數學素養和組織協調能力相對較高的學生做組長，負責本組一切事務，包括組員的任務分工、方案制訂與實施、測量報告的撰寫與匯報等．

1.2 分配任務

筆者事先在校園內選取一些建筑物：電線桿、國旗桿、圖書樓、藝術樓，作為被測對象，其中電線桿、圖書樓的底部可以直接到達，國旗桿、藝術樓的底部不能直接到達．將這些測量對象按照民主集中制分配給各個小組，每兩個小組測量同一對象，這也為后期數據比較埋下伏筆．

1.3 討論方案

凡事預則立，不預則廢．若想較好地完成這次測量任務，必須先組織學生制定具體方案．由于這次測量活動安排在初三下學期，學生已經學完了初中幾何的全部內容，所以能夠選擇的方案很多．在各小組長的帶領下，全組討論制定具體方案．

1.4 制作工具

圖1

各小組根據自己擬定的方案，準備測量工具，如皮尺、標桿、測角儀等．最難準備的是測角儀，小組員們查閱相關資料后，用量角器和標桿制作出了簡易測角儀，如圖1．學生們還借來了砝碼用于制作鉛垂線，這根線既保證標桿垂直于地平線，又為讀出仰角提供了極大方便.

1.5 實地測量

各小組結合自身的測量方案，帶上準備的測量工具，開始實地測量．小組成員既分工明確、各司其職，又相互協調、相互配合，最終獲取各自所需數據并完成計算，得出被測物體的高度．

1.6 交流互鑒

為了總結經驗、分享成果，在各個小組完成自己的測量任務后，筆者組織了一次交流活動．每個小組分享自己的測量方案、過程、結果，大家相互鑒賞，取長補短．在這場頭腦風暴式的交流活動中，各小組成員各抒己見，有許多精彩的課堂生成．如兩個測量同一物體的小組，將他們所得的數據作誤差比較，他們還自發地一起探究縮小誤差的方法：保證測桿垂直于地面、在三點共線時讀取仰角、多測幾次取平均值等．

2 思考感悟

2.1 走發現之路、創數學奇跡

著名數學家弗萊登塔爾在他的《作為教育任務的數學》一書中提出“發現數學、創造數學”的理念，旨在提醒數學教師不要直接將知識講授給學生，而要帶領學生重走數學知識的發現之路，讓學生在發現中體會創造所帶來的樂趣．這樣長期堅持，學生對數學學習會越來越有興趣，各方面的素養也會越來越高，從而使學生進入學習數學的良性循環之中．

這次測量活動是筆者組織帶領學生進行的一次真實的發現活動.筆者欣喜地發現學生們的學習積極性被調動起來了，他們在討論方案、制作工具、實地測量、交流討論等環節中都表現出極大的熱情，他們的主動性、創造性等也都得到了非常好的舒展和體現．我們有理由相信只要解放學生，給他們創造機會，學生就會有無限的發展可能與空間，也會創造出我們意想不到的奇跡．

2.2 學生有機會，歷史會再現

測量活動是一個非常古老的數學話題，幾乎所有文明古國的文獻中都有相關記載．比如古希臘泰勒斯利用平行投影測量金字塔的高度；印度數學家阿耶波多在其主要著作《阿耶波多歷數書》中記述了用兩個標桿的影子來計算物體高度的方法.類似地，我國古代數學家劉徽在《海島算經》中記述了用“重差術”測量海島高度的方法．

在這次測量活動中，學生們設計的測量方案中囊括了上述文獻中記述的所有方法，如圖2、圖3，可見只要給學生機會，歷史就會再現．這也告誡數學教師，在組織教學活動時如果重視學生的學習主體地位，教學中多給學生創造機會，發揮學生的學習主動性，那么人類認識數學的漫長歷史過程，也一定會在學生的認識過程中濃縮出現，這也是人類認識事物的歷史規律．

圖2 圖3

2.3 教師多閱讀，教學有藝方

前不久，筆者參加了華師大汪曉勤教授領銜的HPM研修班的學習，主持人通過微信小程序推送了與之相關的許多素材，對筆者沖擊最大的是有關“四分儀”的內容，如圖4所示．

圖4 費奈烏斯Protomathesis中的兩種四分儀

運用四分儀，結合相似三角形的相關知識可以非常方便地測量、計算出物體的高度．四分儀在測量深度方面也同樣實用,如圖5、圖6所示．

圖5 利用四分儀測高 圖6 利用四分儀測深

圖7

如圖7，是一幅16世紀的德國版畫，法國初中數學教科書將其作為相似三角形一章的章頭圖，從中可以讀出許多測量工具、測量方案.此圖的信息量極大，一張圖幾乎概括了與之相關的所有內容.試想學生在學習這一章之前看到就么美妙的圖片，一定會對本章的學習充滿期待，學習動力必定是充足的．在學完這一章后，學生再次閱讀此圖，一方面會對全章內容有一個整體把握，同時也會對古人充滿無限的敬畏之情，對待數學學習也一定會心懷敬畏之心，必將會有一批有志青年要繼續古人的數學研究之路．

由于筆者閱讀量有限，未能在此次測量活動中組織學生了解和制作“四分儀”，從而失去了一次非常好的學習和實踐的機會，現在想來心中充滿悔意．因此，作為師者要把己立立人、己達達人牢記心間．一定要在教學之余抽出時間廣泛涉獵數學史著作，開闊自己的視野，提升自身的業務素養．這樣在進行教學設計時就會多一種思路，給學生的指導也更加游刃有余．這樣一方面提升了自己，另一方面成就了的學生．