觀形溯源探全等 悟圖抒感尋輔助

郭小蔚

摘? ?要：手拉手模型是常見的三角形全等模型，從線段或三角形旋轉構建雙等邊三角形和雙等腰直角三角形兩個方面，談構建手拉手全等模型輔助線添加方法，引導學生分辨題型，提高解題效率.

關鍵詞：手拉手全等型;輔助線

三角形是初中幾何的核心內容.縱覽近幾年全國中考數學試題，在對學生創新能力和遷移能力的考查中，三角形全等問題成為主要的考核內容，選擇題、填空題、證明題都有涉及全等三角形知識的考核，而且全等三角形越來越經常出現在壓軸題部分，手拉手模型是全等三角形常見的模型，近幾年中考幾何壓軸題經常出現手拉手的模型.

當命題的題設無法直接得出結論時，就需要搭橋鋪路，構建題設與結論的“小三通”——輔助線了.輔助線就成了連結題設與結論的快速通道.等腰三角形是特殊的幾何圖形，在解決全等三角形的有關問題時，常常添加輔助線構造兩個共頂點的全等的等腰三角形，這兩個有共同頂角頂點的全等的等腰三角形俗稱“手拉手模型”.但由于含有手拉手條件的問題其輔助線作法靈活，不少學生難以掌握，本文就針對構建手拉手全等模型談談輔助線的添加方法.

1? 線段或三角形旋轉構建雙等邊三角形的手拉手的模型

1.1? 吟其題，觀其形，簡圖在心中

數學教學離不開圖形，而對圖形的掌握和利用又是學生的一個薄弱點.中考復習中設計恰當的數學情境，讓學生領悟、理解、發現、總結全等構建法，簡圖在心中，這對學生來說是一種方向、一種創新，可使學生更熟練掌握構建全等三角形輔助線的添加方法.

【例題1】江西省2018年中等學校招生考試24題

菱形ABCD中，∠ABC=60°，P為射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊三角形ΔAPE，點E的位置隨點P的位置變化而變化.

（1）如圖1，當點E在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE，BP與CE的數量關系是______________，CE與AD的位置關系是______________ .

（2）當點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明;若不成立，請說明理由（請選擇圖2，予以證明或說理）.

（3）如圖3，當點P在線段BD的延長線上時，連接BE，若AB=2，BE=2，求四邊形ADPE的面積.

引導學生吟題觀形，本題存在共頂點的線段AP，AE，等邊ΔAPE及∠ABC=60°，學會一邊讀題，一邊從復雜的圖形中抽象出自己熟悉的基本圖形，如圖4的圖4-1，本題的第（1）小題有明顯的提示語：BP與CE的數量關系是什么？證明線段相等在初中階段最常用的方法就是證明三角形全等，再觀察可發現，本題小題與小題之間的關系是并列關系，第（2）（3）小題E在菱形ABCD外，圖形雖然變了，但是解題方法可以延續，一樣連結AC，構建共點旋轉，證明ΔBAP與ΔCAE全等即可得證.

發現基本圖形，連結AC構建成完整的手拉手模型，再證ΔBAP與ΔCAE全等，第（2）小題和第（3）小題E點在菱形ABCD外部，雖然圖形沒有完全一樣，但究其根本還是手拉手全等型，剝離出本題的基本圖形如圖4-2，圖4-3所示，延續第（1）小題的輔助線方法，SAS證全等一樣可以解決問題.本題是2018年江西中等學校招生考試24題，處于倒數第二題的位置，輔助線的構建是解題的關鍵.

1.2? 探其源，感其情，形美在題中

探索題設與結論之間的快速通道，釋題、析圖、變換、組合，尋其根本，揭示問題的本質，對數學美的探究與教育，回歸教材是關鍵，即使學生并不能完全說明原題是教材的哪些題目的改編題，但是教師給予他們關注的視角與路徑，學生在耳濡目染中，會更關注圖形，從圖形中發現教材中的基本圖形，回歸基礎，能夠領悟到圖形美，盡管圖形復雜，但心有靈犀一點通.能有意識地套用基本圖形，逢山開路，遇水搭橋，構建輔助線，發現問題，解決問題.

【例題2】2018年廣州市初中畢業生考試第25題

如圖5，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=AC

（1）求∠A+∠C的度數;

（2）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數量關系，并說明理由;

（3）若AB=1，點E在四邊形ABCD內部運動，且滿足AE2=BE2+CE2，求點E運動路徑的長度.

本題是2018年廣州市初中畢業生考試的最后一題，題目簡練，圖形干凈，很多全等三角形知識貯備提取障礙的同學只做了第（1）小題后直接放棄對第（2）小題，第（3）小題的探索，當然，也有一小部分同學即使在第（2）小題輔助線不會添加，但結合了第（3）小題的AE2=BE2+CE2寫出了第（2）小題的結論.這道壓軸題雖然題目精練，但圖形特征明顯，標記一：∠B=60°，標記二：AB=BC，如果根據第（2）小題連結了BD，那么特征就更明顯了，ΔBCD就出現了，四邊形的問題又轉化為三角形來研究，根據題目標記一：∠B=60°，標記二：AB=BC，典型的的手拉手“殘疾”模型，把線段BD逆時針（順時針也行）旋轉60°，構建如圖6.

筆者瀏覽了大量試題發現，解答題中的小題與小題之間的關系基本是這兩種情況：一是小題與小題之間是遞進關系，第（1）小題為第（2）小題服務，第（2）小題為第（3）小題服務;二是小題與小題之間是并列關系，題與題之間圖形不同，條件不同，但是題與題之間延續的是相同的方法.

本題的第（3）小題與第（2）小題就是并列關系，第（3）小題可以延續第（2）小題的方法再構建一個手拉手全等型.

把BE逆時針旋轉60°得線段BF，連結線段AF，AE，EF，如圖7，易得ΔBEF是等邊三角形， ΔBFA≌ ΔBEC，

∴CE=AF .

∵AE2=BE2+CE2，

∵AE2=EF2+AF2，

∴∠AFE=90°.

∵∠BFA=∠BFE+∠AFE=60°+90°=150°.

∵∠BEC=150°，

E在四邊形ABCD內部運動.

∴E的運動軌跡是以O為圓心的劣弧BC上，不包括端點B，C，

∴l弧BC==.

本題題目的背景雖然是四邊形問題，但是學生如果對構造手拉手模型的應用不是很熟練的話，要做這個壓軸題就有一定的難度了。

1.3? 悟其美，抒其感，輔助在手中

全等三角形給予學生數學美的享受，作為初中數學的重點，三角形引領學生由淺入深，開啟數學美的旅程，隨著中考復習對數學活動經驗的積累，學生有意識地在題設與結論之間建立條件反射弧，提煉圖形美，完成基本圖形構造.

【例題3】（2019年龍巖市九年級學業（升學）質量檢查數學試題第16題）

如圖8，ΔABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=5，P是ΔABC 內部的任意一點，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為_______.

這道題其實是一個費馬點問題，要讓PA+PB+PC取得最小值，常規解法是讓PA+PB+PC連成一條線段，根據兩點之間線段最短，求出最小值.對于不熟悉費馬點的學生來說，這題也有特征性的語言，∠ABC=30°，本題是填空題壓軸題，很多考生選擇放棄，其實這題我們一樣可以把ΔBAP逆時針旋轉60°，得ΔBED，如圖9易得：

PA+PB+PC（min）

=

=.

2? 線段或三角形旋轉90°構建雙等腰直角三角形的手拉手的模型

2019年南平質檢的第8題也是一個手拉手模型，

【例題4】如圖10，在等腰直角ΔABC中，∠ACB=90°，D為ΔABC內一點，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°后得到CE，連接BE， 若∠DAB=10°，則∠ABE是（? ? ? ）.A.75 °? ? ? ?B. 78°? ? ? C. 80°? ? ?D.92°

這題在2019年南平質檢第8題的位置，學生很容易發現ΔCBE≌ ΔCAD，從而得出∠ABE=80 °.

【例題5】福建省漳州市2019年初中畢業班質量檢測數學試題第10題

如圖11，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是BC的中點，AE交BD于點F，BH⊥AE于點G，連接OG，則下列結論中

①OF=OH? ? ? ? ? ②ΔAOF∽ΔBGF，

③ tan∠GOH=2? ④FG+GH=GO，正確的個數是（? ? ? ）.

A. 1? ? ? B. 2? ? ?C. 3? ? ? ?D.4

本題是漳州市2019年初中畢業班質量檢測的第10小題，是選擇題的壓軸題，第①②小題利用三角形相似很容易得出，但大多考生對③④束手無策，如果考生們把第①的OF=OH線段相等作為特征一，把正方形ABCD的對角線AC與BD的夾角為90°作為特征二，又是一個手拉手殘疾型，過O作OM⊥OG交AG于M，構建 ΔMOF≌ ΔGOH，如圖12，可得三個結論：MF=GH，OM=OG，∠OMG=45°，再由MF+FG=GH+FG=GO，可證明結論④是正確的.

由 ΔMOF和 ΔBFE組成的8字形可得：∠MOF=∠ABC.

∴tan∠GOH=tan∠AEB===2.

又如：已知：如圖13，AB=1，BC=2，AC=DC，AC⊥DC，A為動點，求線段BD的最大值.

本題同樣具備兩個顯著特征：

特征一：AC=DC.

特征二：AC⊥DC.

又是一個手拉手殘疾型，如圖14，過C作CE⊥BC，連結AE易證ΔACE≌ ΔDCB（SAS）.

當A，B，E三點共線時，線段BD取得最大值2+1.

數學的尋美之旅須回歸課本，應追根溯源，觀其形，探其源，感其美，圖形深深處，我自探其美 ，而這一系列尋美悟美的動作之后，終歸要回到實踐中，學生面對試題由“停杯投箸不能食，拔劍四顧心茫然”到“舉杯握箸盡入禳，提筆一揮解疑難”的完美解題境界. 數學課堂上引領學生對三角形的認識與探究，能激發學生對幾何輔助線的探索熱情.加強審“美”體驗，提升審“美”情趣，喚起對圖形探究的欲望.引領他們去發掘圖形背后的美，增強學生對圖形的關注與敏感，激發潛能，啟迪智慧，增強趣味，內化圖形，直至吸引他們去運用，去尋找 .

全等三角形是研究圖形的重要工具，手拉手模型又是近年中考常見模型，尋找共端點的兩條等長線段，尋找題目中隱含的60°、90°角，以其中的一條線段旋轉60°，90°度構建全等三角形，可能就是有效解決問題的途徑.

深挖題設中的隱含條件，發現圖形秘密，添加輔助線構建特殊的等腰三角形全等，能快速解決線段相等、角相等問題，所以找準觸點，幾何也能令人怦然心動.

總之，圖形的探究與學習是初中數學學習的重要內容，教師在幾何的教學中，注重方向的引領，勿過多越俎代庖，多方面引導學生進入數學學習的“趣”境，在熏陶感染中，加強學生對圖形的思考與體驗，讓學生受到啟迪，感受數學美，留足空間、留夠時間讓學生自己探究，讓學生自己去收獲成功的喜悅.