高中數學微專題教學設計與反思

周文欣

【摘要】以探究直線的非標準參數方程中的幾何意義的微專題設計為例，堅持以學生為主的原則，設計出符合學情，能提高學生思考與歸納能力的微專題.設計微專題遵守循序漸進的原則，從原始題目得到啟發，對題目進行變式，層層遞進，讓學生參與探究過程，學會歸納方法，總結技巧，并能解決這一類型的問題.學生能從中體會數學思想，感受數學樂趣.教師也能在設計微專題的過程中，換位思考，設計出更加貼近學生情況的題目，整個設計過程能促進教師專業提升。

【關鍵詞】微專題設計;直線非標準的參數方程;幾何意義

學生拿了一道關于直線的參數方程的題目以及參考答案過來，問道：“老師，為什么算線段|AB|的長時， |t1t2|這里要乘以 5？”這個是非標準形式的參數方程，但是這個傾斜角并不是特殊角，所以不知道這條直線傾斜角的正弦值和余弦值，從而無法寫出直線的標準方程，這樣子 就沒有書本上說的幾何意義，那到底怎么做呢？答案上為什么最后還要乘以 呢？

具體的問題和解答如下：

問題：已知直線參數方程為，它與曲線交于A ，B 兩點，求|AB|的長。

解：把直線的參數方程對應的坐標代入曲線方程并化簡得

設A ，B 對應的 t1、 t2，則 ，

所以，線段|AB|的長為

因為這一道題以及學生出現的情況，我設計了一個關于探究直線的參數方程中t 幾何意義的微專題。

一、微專題的教學設計

直線的參數方程主要解決線段的長度以及線段與線段之間的問題，利用直線的參數方程中參數t的幾何意義，能夠大大地減少計算量。同時，這也要結合轉化思想和數學結合的思想，下面是探究直線非標準形式下參數方程 的幾何意義的微專題過程。

問題1：已知直線參數方程為

它與曲線交于 A， B兩點，求 |AB|的長。

分析：我們發現，根據直線參數方程的標準式下|t|的幾何意義，利用公式和韋達定理可以解得|AB|的長度。

解：把直線的參數方程對應的坐標代入曲線方程并化簡得

設 A、B 對應的 t1、t2 ，則，

所以，線段 的長為

問題2：已知直線參數方程為（t為參數），它與曲線交于 A， B兩點，求|AB|的長。

分析：我們可以發現，所以這不是標準形式。如果我們知道直線的一個點和傾斜角，我們可以寫出直線參數方程的標準形式。消參后得到直線的普通方程為，得到線上一點坐標（-1，2），傾斜角為，從而寫出標準的參數方程 。接下來的解答同問題1一樣。

問題3：已知直線參數方程為，它與曲線交于A ， B兩點，求|AB|的長。

分析：經過判斷，發現，不是標準的參數方程。但是消參之后，直線的普通方程為，傾斜角并不是特殊角，難以根據這種方法寫出標準方程。

因為只有在直線參數方程為標準方程的情況下，|t|的幾何意義才成立（|t|的幾何意義：平面內過定點、傾斜角為的直線 的參數方程的標準形式為（直線的參數方程的標準形式可以寫成，此處 ）。我們假設直線上兩點 A、B 所對應的參數分別為tA和tB，則： A、 B兩點到的距離分別為|tA|，|tB|）。那么，如果直線的參數方程不一定是標準形式時，那線上的動點到定點距離與 有什么關系呢？

直線的參數方程為 ， 。換句話說不一定等于 1。設直線上的一點坐標為，根據兩點的距離公式可得

進而我們可以得到以下結論：直線的參數方程為，如果我們假設直線 上兩點 A、B 所對應的參數分別為tA ，tB則：

所以，在這題的解答中，即使我們因為無法知道傾斜角導致寫不出直線參數方程的標準形式，但是我們經過推導可以知道，給出任一個直線的參數方程，我們都可以根據上述公式就算出|AB|。

思考與練習：已知在直角坐標系中，曲線C的參數方程為，直線參數方程為。設直線與曲線C相交于A ，B 兩點，求的值。

歸納與反思? （1）直線的任一參數方程中參數t的意義是：直線l的參數方程寫成 ， R，bR。我們假設直線l上點A所對應的參數為tA，則： A點到點的距離分別為。

（2）計算弦長問題時，可能要用到韋達定理，計算會更方便。

二、關于設計微專題的小結與反思

“微專題”是解決學生易錯易漏點的一個非常好的工具，能幫助學生彌補盲點，強化重點，突破難點，特別適合高三復習使用.直線非標準形式下的參數方程中參數 的幾何意義非常適合利用“微專題”這個工具來呈現探究過程.在設計“微專題”的過程中，要清楚知道學情，了解學生在哪一方面出現疑惑不能解決.要緊緊抓住這個“疑惑”來設計問題，層層遞進，深入挖掘，突破這個“疑惑”，使學生醍醐灌頂，印象深刻.與此同時注意激發學生的興趣，創造空間給學生思考，引起學生解題的欲望，體驗數學的樂趣，得到解題給自己帶來的喜悅感.要注意學生現在的知識結構，思維水平，通過設計的題目幫助學生構建數學網絡知識結構，每完成一道題目鼓勵學生自行總結規律，歸納方法，學會技巧，體會數學思想，從質量上得到提高.最后通過鞏固練習。比如，說在這個設計的最后及時給學生練習，更好掌握學生學習的情況，進而對下節課的內容進行調整.同時在設計練習中的題目也要進行深化，簡單的變式，讓學生學會靈活處理，真正掌握該專題的本質。

對老師而言，“微專題”不僅促進教師專業成長，還可以更好了解學生對知識掌握的情況.對學生而言，“微專題”能提高他們的解題能力，有助思維發展，感受數學的魅力，增加對數學的興趣.

參考文獻：

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[4]錢衛華.見微知著方法清 以小見大本質明——以“拋物線中三角形面積的最大值”為例談微專題教學[J].中國數學教育，2018（21）.