利用Lagrange乘數法求函數最值問題

季佳佳

(浙江省臺州市仙居城峰中學 317300)

特別的，若在單約束條件F(x,y,z)=0下，求f(x,y,z)的極值時，只要構造Lagrange函數L(x,y,z)=f(x,y,z)-λF(x,y,z)即可．

一、單約束條件下的最值問題

例1 (2011年浙江) 設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值____．

解方法一

看到這類題，學生的第一反應是用基本不等式的知識去解決，這種思路是對的，但是用不等式的方法是有局限性的，如果碰到更復雜的問題，高中的知識就很難“勝任”，這時，我們就可以看到Lagrange乘數法的巨大威力．

例2 要設計一個容量為V的長方形無蓋水箱，試問水箱的長，寬，高各等于多少時，其表面積最小？

解設水箱的長，寬，高分別為x,y,z，則體積V=xyz，表面積S=2xz+2yz+xy．

二、雙約束條件下的最值問題

例3 (2014年浙江)已知實數a,b,c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值____．

解由a2+b2+c2=1，得a2+b2+c2-1=0.

構造Lagrange函數L(a,b,c)=a-λ(a+b+c)-μ(a2+b2+c2-1).

以上例子說明了Lagrange乘數法的巨大作用，它能有效回避不等式中復雜的思維過程和代數變形，對提高學生解題能力，樹立學生學習數學的信心，拓寬學生思路，提高學生分析問題、解決問題的能力有很大幫助．