任務(wù)設(shè)計：重在促進(jìn)學(xué)生對概念的內(nèi)化
——觀摩“弧度制”同課異構(gòu)教學(xué)引發(fā)的思考

華志遠(yuǎn)

(江蘇省無錫市第一中學(xué) 214031)

2019年10月，江蘇省高中青年教師優(yōu)秀課評比活動在常州舉行，“弧度制”是其中的課題之一.此次活動中共有14位青年教師展示了自己的教學(xué)風(fēng)采，給筆者留下印象較深的是以下三點：一是創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境富有個性，能為師生互動提供較好的平臺；二是幾乎所有教師都以HPM視角來設(shè)計教學(xué)，發(fā)掘數(shù)學(xué)史的教學(xué)價值；三是打破例題與練習(xí)的界線，使教與學(xué)融會貫通．一些教學(xué)形式較為新奇的課堂并沒有得到同行認(rèn)同，而那些看似平實、內(nèi)涵卻豐富的教學(xué)設(shè)計受到評委的青睞，從而體現(xiàn)了良好的課堂教學(xué)評價導(dǎo)向．在評課活動中，教學(xué)專家也提出了一些教學(xué)上的不足．例如，有些課堂的引入離課題較遠(yuǎn)，明顯帶有“去數(shù)學(xué)化”現(xiàn)象；有些設(shè)計在角度制復(fù)習(xí)或角度制數(shù)學(xué)史記載等方面的教學(xué)用時較多，從而沖淡了本節(jié)課的主題，導(dǎo)致教學(xué)前松后緊，影響了課堂效果．蘇州大學(xué)數(shù)科院的徐稼紅教授一針見血地指出：幾乎所有選手對弧度制概念引入的必要性都缺乏有說服力的解釋，這樣學(xué)生很難體驗角度制與弧度制相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)價值．

本文試圖通過若干弧度制概念發(fā)生階段的教學(xué)片段的比較，談一談如何優(yōu)化數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)任務(wù)的設(shè)計，理清教學(xué)主線，提出數(shù)學(xué)觀點，滲透思想方法，引導(dǎo)認(rèn)知方略，促進(jìn)概念內(nèi)化，從而實現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)．

1 初始任務(wù)：讓學(xué)生找到認(rèn)知的固著點

任務(wù)設(shè)計1 (1)度量長度既有國際公制又有中國市制．例如，南京到常州約132千米，一位同學(xué)身高1.8米，當(dāng)然也可以說南京到常州約132 000米，但說該同學(xué)身高0.001 8千米，明顯不妥．不同的單位會給不同環(huán)境下解決問題帶來方便．

(2)復(fù)習(xí)提問：1度角是如何定義的？在角度制背景下，弧長公式和扇形的面積公式是怎樣的？

任務(wù)設(shè)計2 (1)目前，蘋果公司發(fā)布了A13手機(jī)芯片，華為公司也面向全球發(fā)布了麒麟990系列手機(jī)芯片．從麒麟910到990，從A4到A13，芯片發(fā)展的共同點是希望尺寸更小、運算更快、性能更強．?dāng)?shù)學(xué)中也有類似的發(fā)展．

(2)在半徑為r的圓中，填寫圓周長、半圓周長、圓周長、n°的圓心角所對的弧長．教師：該弧長公式反映了弧長、圓心角、半徑之間的關(guān)系，但運算不夠簡潔．

任務(wù)設(shè)計3 (1)在章首語中，我們學(xué)到周期現(xiàn)象最簡單的例子就是：圓周上一點的運動．設(shè)P是半徑為r的圓O上一點，為了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來刻畫點P在圓周上的周期運動，首先要將點P表示出來：(r,α), (r,l), (x,y)都可以表示點P，那么α,l,r,x,y之間具有怎樣的關(guān)系？今天我們先來研究l,r與α之間具有怎樣的關(guān)系.

(2)記圓心角α=n°，l,r與n有怎樣的等式？這反映了l,r與α之間具有怎樣的關(guān)系？

點評上述三種任務(wù)設(shè)計開始時有差異，第一位主要創(chuàng)設(shè)類比情景，說明長度單位因適切性而不同，聯(lián)想到角度的單位制也可不同；第二位的引入主要說明數(shù)學(xué)與其他行業(yè)一樣都要追求發(fā)展，意味著角度制具有局限性，明顯與主題相去較遠(yuǎn)，此外，弧度制的引入也不是因為弧長公式不夠簡潔產(chǎn)生的；第三位利用章首語導(dǎo)入，具有大單元的意識，引入自然，但學(xué)生不知道問題的去向，后續(xù)提問也不夠直接．三種設(shè)計最終都回歸到復(fù)習(xí)初中學(xué)過的角度制背景下的弧長公式，這是新舊知識鏈接點，只是設(shè)計1更簡潔明了，直奔主題．

2 探究任務(wù)：在實驗與思考中逐步完成

3 核心任務(wù)：在高水平示范中實現(xiàn)遷移

也有選手介紹了1837年James Thomson教授首次使用了弧度一詞，當(dāng)時他將半徑(radius)的前四個字母與角(angle)的前兩個字母合在一起，構(gòu)成radian，并被人們廣泛接受和使用，從而加深了學(xué)生對弧度符號的理解．

4 反思性任務(wù)：在質(zhì)疑釋疑中促進(jìn)理解

點評發(fā)掘?qū)W生熟悉的知識背景，一方面引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，并在分析、解決問題的過程中，建立起良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；另一方面簡要再現(xiàn)了弧度制的發(fā)展史，減少了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“冰冷性”，促進(jìn)了學(xué)生的理解和思考；同時也為后續(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)作認(rèn)知心理的準(zhǔn)備． 縱覽數(shù)學(xué)發(fā)展史，弧度制的建立主要是由于變量數(shù)學(xué)的興起，尤其是函數(shù)、微積分等近代數(shù)學(xué)的發(fā)展． 此外，物理學(xué)、天文學(xué)、工程學(xué)及測量學(xué)等也起到了較大的推動作用． 教學(xué)中，由于時間和學(xué)生認(rèn)知等原因，我們不能一一向?qū)W生介紹，但是有了這樣的數(shù)學(xué)史學(xué)觀，教學(xué)才能駕輕就熟，高屋建瓴．

各參賽教師在例題、練習(xí)、歸納、小結(jié)等方面各顯神通，體現(xiàn)了良好的專業(yè)素養(yǎng)，不再贅述．

當(dāng)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在兩種錯誤傾向：一種是常態(tài)教學(xué)中受應(yīng)試觀念影響，許多教師忽視概念發(fā)生階段的教學(xué)，通過所謂的學(xué)案編制大量的基礎(chǔ)題讓學(xué)生練習(xí).這樣,短期的成績較好，但由于沒有理解概念的來龍去脈，數(shù)學(xué)思想方法的滲透也兼顧較少，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)遺忘現(xiàn)象較為嚴(yán)重，獨立分析解決問題的能力下降，學(xué)生的認(rèn)知水平并沒有提高.另一種是公開教學(xué)中教學(xué)設(shè)計追求新穎奇特，課件追求華麗炫酷，課堂教學(xué)氣氛追求熱鬧，知識發(fā)生階段的教學(xué)漫無邊際、盲目擴(kuò)張，多數(shù)教學(xué)活動僅停留在知識的外圍，沒有涉及數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，同時由于課堂的拖沓，影響了后續(xù)的例題、習(xí)題教學(xué)，加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).這樣的“偽探究”并沒有真正提升學(xué)生的能力和素養(yǎng)． 這兩種極端的教學(xué)思潮，都是課堂教學(xué)缺乏品質(zhì)的表現(xiàn)．

教師只有依據(jù)學(xué)生的學(xué)情，設(shè)計科學(xué)合理的數(shù)學(xué)問題和任務(wù)，才能驅(qū)動學(xué)生認(rèn)知的探索熱情，并在教師高水平的示范引領(lǐng)下，促進(jìn)學(xué)生對概念的內(nèi)化、思想方法的領(lǐng)悟和認(rèn)知能力的提升． 怎樣評價數(shù)學(xué)問題和任務(wù)的有效性和高品質(zhì)？從認(rèn)知能力維度分類，可把數(shù)學(xué)任務(wù)分為高認(rèn)知水平、中等認(rèn)知水平和低認(rèn)知水平任務(wù)三個層次． 高認(rèn)知水平任務(wù)核心是培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)，如數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、直觀分析、建模用模、質(zhì)疑探究和數(shù)學(xué)交流等，中等認(rèn)知水平任務(wù)則注重學(xué)生對數(shù)學(xué)認(rèn)識和理解水平的提高，而低認(rèn)知水平任務(wù)則主要依賴概念的記憶和應(yīng)試的訓(xùn)練． 由于教學(xué)理念的區(qū)別，數(shù)學(xué)任務(wù)的設(shè)計具有明顯的差異． 高認(rèn)知水平任務(wù)對學(xué)生的感悟、理解、思考、探索、推廣等具有積極地推動作用，并能引領(lǐng)學(xué)生通過自身的努力，構(gòu)建優(yōu)質(zhì)的認(rèn)知生態(tài)，提高學(xué)生的能力和素養(yǎng)．