導數教學的幾點體會

尹麗蕓

摘 要 導數是微積分的核心內容，教師在課堂教學中規范引入概念，說明法則，明確學習意義，能很好的銜接知識，提高解實際問題能力。

關鍵詞 導數 切線 求導法則 導數的應用

中圖分類號：G633文獻標識碼：A

導數是微積分教學內容中的核心概念，導數教學不僅要使學生掌握微分的知識和技能，加深對初等數學內容的理解，還要使學生通過研究一系列生產實際問題和科技問題，掌握這種有效處理問題的基本思想和方法，充分發展智力和才能.

在導數教學中對以下幾個關系的正確理解，將對導數的本質理解和掌握有著極其重要的作用。

1導數概念問題

導數概念的教學，首先應該從學生已熟悉的圓的切線開始引入。在初等數學中，把圓的切線定義為與圓有唯一交點的直線，如果仍拿這種思想去定義任意曲線的切線，就會出現下列問題：

對于函數=2它與y軸有唯一的交點（0，0），但是我們認為y不是它的切線。

對于函數=32它與X軸交于兩點（0，0），（0，1）， 但我們認為X軸是曲線相切于原點的一條切線。

因此，規范定義，我們把曲線上M點的切線定義為：過曲線的M、N兩點作割線，當點N沿曲線移動趨近于點M時，割線MN的極限位置MT就叫做曲線上點M的切線。進而把切線的求法與極限聯系起來。

在學生掌握導數定義以后，應該著重向學生指明下列三點：

（1）函數=（）在給定點=的導數存在時，它應當是一個完全確定的數;如果函數在定義域上的每個點都有導數，那么它的導數就是一個新的函數，因此仍然能求它的導數，而這個導數稱為原函數的二階導數，它還可稱作導數的一階導數。這種關系要使學生熟悉。它對于將來研究函數的極值問題以及曲線凹凸性的問題，都有極其重要的意義。

（2）如果函數=（）在某一點=上有導數，那么函數在這點上是連續的，但是反過來，函數在這點上連續，卻不一定在這一點處有導數。可舉=||在=0點連續但不可導作為例子說明。

（3）導數的含義雖然因研究的具體問題所表示函數的不同而不同。例如函數表示路程和時間的關系時，導數就是速度;函數表示質量與長度的關系時，導數就是密度;在經濟學中，導數就是邊際函數;函數表示某條曲線時，導數就是曲線上點的切線的斜率。但是函數求導數的方法卻是相同的。

2求導法則的證明問題

（1）關于復合函數導數公式的證明，一般都是采用取極限的方法解決的。但是這個證明是不嚴密的。這個證明沒有考慮到=0時的情形。雖然存在證明上的這種缺陷，但復合函數的導數公式依然成立。在推導過程中，這個缺陷是可以避免的。因為復合函數導數公式是（）點有導數，而函數在點也有導數的條件下成立的。

（2）必須讓學生知道反函=-1（）數的導數存在條件是原函數=（）是（嚴格）單調且連續（即'（）不改變符號），'（）是存在且不為零的。

（3）反三角函數=，它的定義域為[-1，1]。它的導數'=定義域為（-1，1），定義域發生了改變。

（4）說明;。

在進行公式推導的教學中一定適當引導，注意發揮學生的主動性和創造性。

3導數應用的問題

我們知道導數是研究函數性質的有力工具，它可以依據中值定理給出求函數的單調區間、極值，曲線凹凸等方法。進而可以描繪函數的圖形。教學中應該通過例題在描繪圖形上給予一定的示范，然后讓學生做一些綜合性的練習，使學生通過繪圖解決一些有關的應用問題。

例：根據常數的變化求三次方程3212=0的不同實根個數。

分析：因為方程3212=0的實根個數與函數=3212和=的圖像交點個數相同。

所以可以先求出'=62612=6（+1）（2）的實根，然后分析這兩個點是極值點，極大值點（-1，7），極小值點（2，-20）畫圖可得：

（1）當<-20或>7時有一個實根;

（2）當a=-20或=7時有兩個不同的實根;

（3）當-20<<7時有三個不同的實根。

概念明確，方法也就清楚了。再加上教學中配合一定數量的例題、應用題的訓練，學生學習是不會有困難的。最后，在教學中能及時向學生說明研究函數的導數的目的和意義，對于調動學生學習積極性是有好處的。事實上，學習微分法的目的就是采取什么樣的方法去研究函數的變化狀態更容易。從函數圖像在點的鄰近來看，它和該點的切線部分幾乎是密不可分的。因此研究函數在點的鄰近狀態就可以用該點的切線狀態來反映，從而把曲變為直，使問題簡化。如果把點的切線斜率求出，切線方程就能夠寫出，從而也能夠測出函數的曲線在點的臨鄰近變化狀態。例如，物體運動的速度正是以該點上切線的向量來表示，這就可以測出在某時刻上物體運動的方向和速度變化的大小和變化狀態，這樣便把問題統一在研究函數在該點的導數上了。還有這部分的教學中，重點應該放在如何將實際應用題歸結為數學問題上，這對于學生提高解決實際問題的能力，激發學習興趣和積極性都會有好處。