函數(shù)極限求值的若干方法探究

陳書坤

(山東青年政治學院 信息工程學院，濟南 250103)

關于函數(shù)極限的求解方法，在高等數(shù)學教材中主要介紹了極限的四則運算、兩個重要極限、等價無窮小代換、洛必達法則，等等。為了豐富求函數(shù)的極限方法，現(xiàn)總結(jié)介紹幾種高等數(shù)學教材中不常用的函數(shù)極限求解方法。

1 利用微分中值定理求極限

在利用微分中值定理時需要構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，而函數(shù)可以通過觀察極限的結(jié)構(gòu)來進行合理構(gòu)造。

其中ξ∈(1-4x2,1-x2)。當x→0時，ξ=1

(說明：本題也可用洛必達法則或泰勒展開公式求解。)

2 利用泰勒展開公式求極限

在求解函數(shù)極限時有時需要用到泰勒展開公式，尤其是一些初等函數(shù)的麥克勞林公式，如ex、sinx、cosx、ln(1+x)、(1+x)α等。在使用泰勒公式時，至于需要將所展函數(shù)展開到第幾項還需要根據(jù)具體情況進行相應處理。例如，若求解的是分式函數(shù)的極限，則需要根據(jù)分子、分母的冪次來決定，原則是展開后(去掉高階無窮小)使得分子、分母的最高次冪相等。

所以原式

(說明：本題也可用洛必達法則求解，但由于本題分子中含有根號，求導時會變得較為繁瑣，而使用泰勒展開公式會更簡便。)

3 利用積分中值定理求極限

利用積分中值定理可以求某些含有定積分表達式的函數(shù)極限。

解：由于f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則由積分中值定理可知：

則有：

(說明：本題從結(jié)構(gòu)上來看可以使用洛必達法則求解，但在求解時遇到了不符合洛必達法則條件的情況，因此不能使用洛必達法則。)

4 利用導數(shù)的定義求極限

當在函數(shù)極限出現(xiàn)有關函數(shù)導數(shù)的相關條件時，可以考慮根據(jù)導數(shù)的定義表達式進行求解。

解：由題知

(說明：本題也可以利用洛必達法則和拉格朗日中值定理求解。)

5 利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求極限

當所求函數(shù)極限中出現(xiàn)諸如ex、sinx、cosx、ln(1+x)等類似形式的函數(shù)時，可以考慮將其展開為冪級數(shù)。該方法可以將復雜函數(shù)表示為簡單的冪級數(shù)，從而便于求出函數(shù)極限。

(說明：該題也可以通過換元將其變?yōu)榉质胶瘮?shù)，然后使用洛必達法則求解。)

6 利用函數(shù)與極限的關系求極限

有些函數(shù)的求極限問題可以根據(jù)函數(shù)與極限的關系進行求解：若limf(x)=A，當且僅當f(x)=A+α(x)，α(x)→0

于是f(x)=sin2x·[e(5+α(x))·(3x-1)-1]

而e(5+α(x))·(3x-1)-1～(5+α(x))·(3x-1)(x→0)

則有：

(說明：本題也可以直接根據(jù)四則運算法則及等價無窮小代換求解。)