關于Sylvester矩陣方程的可解性及其多項式解

陳佳宏，鄧 勇

(喀什大學 數學與統計學院，新疆 喀什 844006)

設K是一個域，用Μn,m(K)(Μn(K))表示域K上的全體n×m(n×n)矩陣環。令A∈Μn(K)，B∈Μm(K)，C∈Μn,m(K)。方程

AX-XB=C

(1)

稱為Sylvester矩陣方程，其中X∈Μn,m(K)。在式(1)中，當C=O時，即

AX-XB=O

(2)

稱為對應于式(1)的齊次矩陣方程;特別地，當B=-AT時，即

AX+XAT=C

(3)

稱為Lyapunov矩陣方程。

在控制論、信號處理、神經網絡、模型降階、圖像恢復等領域經常會涉及到Sylvester矩陣方程的數值求解問題。關于Sylvester矩陣方程的求解和數值計算，目前已有很多討論[1-9]。例如，文獻[2]討論了Lyapunov矩陣方程的公共解，給出了其無公共解的一個充要條件；文獻[3]利用Jordan標準形和最小多項式理論，討論了Lyapunov矩陣方程有非零解的充要條件，并得到其非零解空間的維數定理；文獻[4]利用四元數矩陣的實分解和循環矩陣的特定結構，借助Kronecker積，得到了四元數體上Sylvester矩陣方程循環解的存在條件及其通解形式；文獻[5]給出了Sylvester矩陣方程的一種基于梯度的迭代算法；文獻[6]改進了傳統的梯度迭代法，給出了求解Sylvester矩陣方程的松弛梯度迭代法，有效地提高了收斂速度。

本文利用Sylvester算子的性質，給出了Sylvester矩陣方程(1)在任意域K上的可解性判定，并介紹求其多項式解的一般形式的一種新方法。

1 Kronecker乘積

1.1 Vec算子

顯然，Vec(X)是一個nm維列向量，并且對?X,Y∈Μn,m(K)，有Vec(X+Y)=Vec(X)+Vec(Y)。

1.2 Kronecker乘積

定義2[10]設X∈Μn,m(K)，Y∈Μp,q(K)。定義矩陣X和Y的Kronecker乘積為

式中，xij是矩陣X的(i,j)元。顯然，X?Y是(np)×(mq)矩陣。

定理1[10]設矩陣X,Y,Z的乘積XYZ有定義。于是，Vec(XYZ)=(ZT?X)Vec(Y)。

1.3 Kronecker乘積的應用

設In表示n階單位矩陣。利用Kronecker乘積，可將Sylvester矩陣方程改寫為

(Im?A-BT?In)Vec(X)=Vec(C)

(4)

的形式。事實上，由AX-XB=C，有Vec(AX-XB)=Vec(C)或Vec(AX)-Vec(XB)=Vec(C)。因此，Vec(AXIm)-Vec(InXB)=Vec(C)。再由定理1可得

(Im?A)Vec(X)-(BT?In)Vec(X)=Vec(C)或(Im?A-BT?In)Vec(X)=Vec(C)。

2 Sylvester算子

設K是任意一個域，多項式f,g∈K[x]。用gcd(f,g)和res(f,g)分別表示f和g的最大公因式和結式；用pA表示方陣A的特征多項式；mA表示A的最小多項式。

定義3 設A∈Μn(K)，B∈Μm(K)。線性變換

ψ(A,B):Μn,m(K)→Μn,m(K),TAT-TB

稱為關于矩陣A和B的Sylvester算子。

記φA:Μn,m(K)→Μn,m(K),TAT和TB

定義4 稱C(A,B)={T∈Μn,m(K)|AT=TB}為矩陣A和B的Sylvester(或中心化子)空間[11]。

(i)f(φA)=φf(A);

證明對自然數k和矩陣T∈Μn,m(K)，分別有

(iii)ψ(T·f(B))=ψ(T)f(B)

成立，所以定理2正確。

成立。

3 引理

記號同前，引入以下引理：

引理1 設A∈Μn(K)，B∈Μm(K)。下列陳述等價:

①算子ψ(A,B)=ψ是同構的;

②C(A,B)={O};

③在K[x]中，pA和pB無公共的素因式;

④pA和pB的結式res(pA,pB)≠0;

⑤mA和mB的結式res(mA,mB)≠0。

證明參見文獻[12]，在此從略。

引理2 式(1)的通解可表示為其特解和式(2)的通解之和。

證明設X和X0是式(1)的通解和特解，即

于是，有A(X-X0)-(X-X0)B=O，即(X-X0)是式(2)的通解。故式(1)的通解可表示為其特解和式(2)的通解之和。

引理3[13]設f∈K[x]是一個n次多項式，x是域K上的未定元。于是

1)對所有0≤k≤n，都有Δkf(x)∈K[x];

2)k!Δkf(x)=f(k)(x)，其中f(k)(x)是f(x)的k階導數。

4 Sylvester矩陣方程的可解性

4.1 可解性判定

設K是一個代數閉域，A∈Μn(K)，B∈Μm(K)。用σ(A)表示矩陣A的所有特征值集合(譜)。文獻[3]指出，C(A,B)={O}?σ(A)∩σ(B)=?。下面，將此結論推廣到任意域K上，即

定理3 Sylvester矩陣方程(1)有唯一解?pA和pB無公共的素因式。

證明首先，式(1)有唯一解?關于A和B的Sylvester算子同構[11-12]。然后，利用引理1即可得證。

推論2pA和pB無公共的素因式?mA和mB無公共的素因式。

推論3 式(1)的解空間是一個仿射空間，并且維數等于dimKC(A,B)。

推論4 式(1)有唯一解?式(2)有唯一解并且為零。

4.2 多項式解

證明因μ=η-ξ，故有η=ξ+μ。在上述f(x+y)的表達式中，用μ代替x，ξ代替y后即可推出結果。

定理5 設A∈Μn(K)，B∈Μm(K)，ψ是關于A和B的Sylvester算子。若矩陣A和B的特征多項式無公共的素因式，則

(a)ψ是一個同構。

證明(a)由引理1即可得證。

于是，有