構造直角三角形解代數最值問題

江蘇省泰州中學附屬初中 (225300) 劉興龍

構造法是一種重要的數學思想方法，它可以根據問題的條件結構，構造出一個載體把所給的數學元素及其關系全面準確地載入，實現將已知問題轉化的目的.此法新穎獨特，對培養學生的聯想、遷移、轉化等思維有著十分重要的作用.本文主要介紹如何構造直角三角形解代數最值問題，供師生教學參考.

圖1

評注:本題難度較大，用一般方法不易求解，且過程十分繁瑣.于是考慮構造直角三角形將數轉化為形，其構思精巧，令人耳目一新.

圖2

評注：本題是一道數形結合的綜合題，解題關鍵是應用勾股定理，相似三角形及不等知識，通過構造直角三角形，使代數問題得以轉化，從而化復雜為簡單，化抽象為直觀.

圖3

評注：有些代數題，用代數方法很難解決，但如果抓住“數”與“形”之間的內在聯系，就可賦“數”以“形”意，把抽象的數學關系轉化為構造直角三角形.用幾何圖形的直觀性，可使已知和結論間的關系變得更明確、更形象，從而使問題變得簡單明了.

解：構造直角三角形ΔABP和ΔDCP，使CP+BP=12,AB⊥BC,CD⊥BC,AB=2,CD=3.并設

圖4

綜上所述，構造直角三角形求代數式的最大值和最小值問題，其關鍵在于要從問題的背景出發，根據題設的結構特征，構造出相應的圖形求解，有助于培養邏輯推理和直觀想象能力.并且這種數形結合的方法，充分體現了數學的和諧美，實現了抽象思維與形象思維之間的轉換，符合新課程改革的理念要求，對于啟迪學生思維，開拓學生視野，提高綜合解題水平大有益處.運用數形結合思想，不僅能直觀發現解題捷徑，而且能避免大量的計算和復雜的推理，大大簡化解題過程，因此，在平常解題過程中，要多給學生滲透這種思想方法，多加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度，從而開拓學生的思維和視野.