課堂的精彩源于學生的多元表征

丁媛媛 費嶺峰

丁媛媛，高級教師，嘉興市“高質(zhì)量、高效率”教育教學能手，嘉興經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)（國際商務區(qū)）教學能手。平時認真鉆研教材，教學面向全體學生，基于學生認知起點，善于調(diào)動學生的學習主動性、積極性，課堂深受學生歡迎。工作以來曾多次獲區(qū)級、街道優(yōu)秀教師和先進工作者等榮譽，主持參與市、區(qū)級課題多個，承擔市、區(qū)級公開課及講座10多次，撰寫的教育教學論文獲省、市、區(qū)級獎項及各級各類雜志發(fā)表30多篇。教學理念：上高效的課堂，做有趣的老師。

【摘要】表征是學習者思維活動表達的過程和呈現(xiàn)的形式。不同的表征，反映了學生對認知對象的不同加工水平。學生在表達搭配問題時也展現(xiàn)了許多不同的方式，教師依據(jù)不同的表征方式對學生的思維過程進行解析，認清學生的思維狀況，設計有針對性的教學策略，引導學生的思維從直觀形象層面向抽象概括水平發(fā)展，提升學生思維力。

【關鍵詞】數(shù)學廣角 思維表征 思維水平 搭配

表征是學習者思維活動表達的過程和呈現(xiàn)的形式。學習者對認知對象的表征方式不同，反映的是其大腦加工過程的不同。數(shù)學知識學習同樣如此。有研究者認為：以直觀表征（如動作表征和圖形表征）方式為主的學生，一般形象思維比較強，抽象思維能力較弱;利用符號表征的方式學習思考的學生，思維嚴謹規(guī)范，邏輯性強，抽象思維水平比較高。本文以人教版數(shù)學三年級下冊“數(shù)學廣角——搭配（二）”一課的教學為例，對學生在學習活動中生成的學習材料，從思維表征的維度進行解讀分析，認清學生思維過程的異同，并就有效組織教學提出一些建議。

教師在課始呈現(xiàn)了如下學習任務：

這是教材的原有例題，設計意圖在于：為學生提供生活中熟悉的衣服搭配的現(xiàn)實背景進入學習，易于激發(fā)學生的學習興趣，把握問題結構。同時，也便于學生借助生活經(jīng)驗理解、思考并解決數(shù)學問題。

執(zhí)教班級共有學生42人，現(xiàn)針對學生自主探索后的結果做分析。

學生主要用文字、原實物圖、圖形與數(shù)字等幾種方式來呈現(xiàn)結果。具體人數(shù)比例如下表：

從表中數(shù)據(jù)我們可以發(fā)現(xiàn)，76.2%的學生用文字和原實物圖像來表示結論。表達時，有學生還很細致地把上裝分為長袖、短袖，下裝分為短裙、褲子和長裙，甚至還描繪出了衣服上的花紋。這樣的方式，在教師看來并不直觀和簡約，表達費時也不太方便，但對處于“具體運算階段”的兒童來說，卻是認識的基本方式。數(shù)據(jù)還告訴我們，能夠想到用簡約的圖形或數(shù)字來表達思考過程的學生只有21%，可見這個年齡階段的學生符號意識和抽象表達的意識均不強。

從學生的表達結果中我們還發(fā)現(xiàn)，學生在解決問題的過程中，其思考的過程也存在著明顯的差異。有的學生用直接描述，有的學生是羅列，還有的學生結合符號的連線，而有一部分學生則是直接用算式表示結果。為了對學生的思維過程有更加清晰地了解， 教師又根據(jù)學生例題解答的情況，對學生進行了訪談，最終把學生在解決這個問題過程中體現(xiàn)出來的抽象思維水平分為以下幾個層次：

從上表可以看出，無法全面、有序地解決服裝搭配問題的水平0和水平1的學生總數(shù)占比不足10%;90%以上的學生不僅能解決，還使用了不同的表征（如文字、畫圖、圖形）等方式把自己的想法寫出來、畫出來，水平2的學生采用枚舉法，其思維處于羅列水平;水平3的學生用文字或原圖配合連線的方法來表征，抽象思維水平高于水平2的學生;水平4的學生能利用圖形或數(shù)字代替上裝和下裝并配合連線表征，抽象思維水平更高;有16.7%的學生能根據(jù)具體的表征抽象出數(shù)學模型，直接列式計算解決問題，屬于思維最高層次水平5。由此可見， 搭配服裝的思路和結果已經(jīng)不應成為本課教學的重難點。教學中，讓學生觀察討論抽象思維水平2至水平5中不同表征方式，啟發(fā)學生對比方法的異同，體會抽象化圖形、數(shù)字表征方式的優(yōu)勢，感悟其隱含的思維價值，更能體現(xiàn)本節(jié)內(nèi)容學習的意義。

東北師范大學史寧中教授認為，就抽象的深度而言，大體上分為三個階段：簡約階段、符號階段、普適階段。簡約階段是指把握事物的本質(zhì)，把復雜的問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達的階段;符號階段是指去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關系表達包括已經(jīng)簡化了的事物在內(nèi)的一類事物;普適階段是指通過假設和推理建立法則、模式或者模型，能夠在一般意義上解釋具體事物。這三個階段中，簡約階段最為基礎，也相當重要，因為小學階段學生的思維特點是形象思維占主導的。唯有積累了相當豐富的簡約化經(jīng)驗后，才能更好地進入符號化、邏輯化階段。

由此，筆者針對“數(shù)學廣角——搭配（二）”一課的例題探究后的進一步組織教學提出以下建議：

一、循思而導，經(jīng)歷具體到抽象的過程

“數(shù)學廣角——搭配（二）”中涉及排列與組合的內(nèi)容，對于三年級學生來說，還是比較抽象的。教學中，教師需要把握學生的思維基礎，才能做出針對性的引導。這也是“以學定教”課堂的基本要求。

課堂上，教師可以提出這樣一個學習任務：一共有多少種不同的穿法？同學們能把搭配的過程表示出來嗎？此問題把學生從僅僅關注答案引導到關注尋找答案的過程上，在學習單上把動態(tài)的思考過程呈現(xiàn)出來，既生成豐富的教學資源，又展現(xiàn)了學生的思考過程。此時，教師通過交流，引導學生經(jīng)歷“文字枚舉—實物連線—圖形連線—整體對比”的反饋教學（如圖1），體會表征方式從煩瑣到簡約，從具體到抽象的演變過程。當然，過程中教師需要引導學生學會看懂別人的圖示，體會不同的表征方式所蘊含的不同思維價值。

二、以問聚焦，引導把握知識的本質(zhì)

對于三年級學生來說，其思維更多停留在具體形象思維層面上。此時便需要教師通過質(zhì)疑、追問等方式，引導學生深入思考，關注數(shù)學知識的本質(zhì)內(nèi)涵。

比如，當呈現(xiàn)學生符號化圖示（如圖2）后，教師追問：你是怎么想到用○來表示上裝和下裝的？為什么還要在旁邊標注上裝和下裝？不標注可以嗎？有什么辦法嗎？當呈現(xiàn)圖3時，教師可這樣問：你的△和○分別表示什么？你是怎么想的？還需要加上標注嗎？為什么？學生呈現(xiàn)圖4后繼續(xù)追問：圖上的數(shù)字是什么意思你們看得懂嗎？除了用圖形和數(shù)字組合之外，還可以用什么方式來表示？怎樣的表示方法既能區(qū)分上裝和下裝，又能區(qū)分是第幾件呢？你有什么好辦法呢？目的在于引領學生體會：圖形+數(shù)字、圖形+顏色、字母+數(shù)字等簡約化表達的數(shù)學意義。

在學生學習數(shù)學的過程中，知識技能的理解與掌握是重要的，而充分體會數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、抽象、概括的過程，對學生體悟數(shù)學抽象、發(fā)展抽象思維能力更有意義。

三、回顧比較，體悟數(shù)學抽象的特質(zhì)內(nèi)涵

數(shù)學方法的體悟與習得，并不是一蹴而就的，它需要多次的往復，不斷地經(jīng)歷與體驗。符號化作為本節(jié)課的重要思想，就具有這樣的特點。本節(jié)課結合學習內(nèi)容的回顧與比較，是一種很好地幫助學生體會與發(fā)展符號意識的重要方式。

課堂上，當學生完成例題的學習并把抽象出來的數(shù)學模型應用于解決其他問題后，教師可以引導學生對比解決兩個不同問題的圖示（如圖5）：為什么圖中物品數(shù)量增加了，情況更復雜了，你反而更快地完成了呢？

這樣的問題，更多在于引導學生通過比較，真切體會符號化表達的簡約，更加簡潔地解決數(shù)學問題。如果還有學生不能感受這種特點，教師可再進一步拓展和延伸，再增加一杯飲料或者一份點心，讓學生思考搭配方法和結果，并再次組織學生對比思考：增加一杯飲料與增加一份點心，兩種“搭配的結果”一樣嗎？如果不一樣，它們的區(qū)別又在哪里呢？請用簡潔、清晰的方式展示你的思考過程。如此幫助學生進一步體會采用符號化的思考與運算，使得解決問題的過程與表達更簡潔、思維更清晰的過程，而這也正是數(shù)學抽象的魅力所在。