基于隨機函數-譜表示的高階矩結構動力可靠度分析方法

張龍文 盧朝輝

摘要：基于隨機函數一譜表示模型，提出了結構響應極值前四階矩的計算方法，發展了非高斯隨機激勵下的結構動力可靠度分析的高階矩方法：（1）修正了隨機函數單個基本隨機變量的離散點集表達式;（2）根據修正的離散點集生成少量的非高斯加速度時程樣本并進行結構時程分析，從而估計得到結構響應極值的前四階矩（均值、標準差、偏度、峰度）;（3）提出了四階矩可靠指標的完整表達，并應用于計算在非高斯隨機激勵下的結構動力可靠度。最后，以雙自由度系統及八層框架結構的動力可靠度分析為算例，驗證了本文方法的精確性與高效性：在樣本數量明顯減少的情形下，本文方法計算的前四階矩與Monte Carlo模擬結果相比最大相對誤差為5.54%，且動力可靠度分析結果幾乎一致。

關鍵詞：隨機函數一譜表示;動力可靠度;非高斯隨機激勵;前四階矩;四階矩法

中圖分類號：0324;TU311.3;0213.2文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）02-0265-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.006

引言

在工程結構的動力可靠度分析中，為了簡化計算，往往將隨機激勵視為高斯過程。然而，在實際工程中，隨機激勵如地震、風荷載以及波浪力等均表現為非高斯特性，在非高斯隨機激勵下結構的響應即使是線性系統也表現為非高斯特性。此時，利用經典的Poisson模型或Markov模型計算首次穿越概率或動力可靠度將可能產生很大的誤差。研究者們開始探究工程中非高斯隨機過程的動力可靠度問題，但目前只能針對一些特定的非高斯過程，如wiener過程，且計算較為復雜。一般地，計算基于首次穿越破壞機制的結構動力可靠度可以轉換為計算結構響應極值分布的問題。在概率統計分析中，隨機變量前四階矩（均值、標準差、偏度與峰度）具有明確物理意義，能夠反映分布特性且相對容易求解。因此，本文試圖通過求解結構響應極值的前四階矩，進而利用高階矩方法實現非高斯隨機激勵下結構動力可靠度分析。

非高斯隨機激勵模型的選擇直接影響結構響應分析與響應極值前四階矩的計算。非高斯隨機激勵研究已取得了一些進展，例如，sakamoto等基于兩點相關函數以及Karhunen-Lofve（K-L）展開，發展了非高斯隨機過程合成方法，但由于模型較為復雜，利用其進行結構分析時有一定的計算困難。還有一些為某一具體非高斯分布的隨機激勵類型提出的方法，使得結構響應統計矩的計算方法只能適用于某一特定情況而不具有一般性。例如，Grigoriu等基于Shanon的采樣定理和MonteCarlo模擬（MCS）發展的計算矩的方法，在結構分析中，僅考慮了平穩帶限非高斯過程激勵;waisman等利用攝動法對Duffing振子進行了分析，考慮的非高斯激勵類型為濾過Poisson過程多項式。盡管在非高斯隨機激勵下，MCS方法可用于計算結構響應極值的前四階矩，然而，MCS方法計算耗時，當結構系統較復雜且失效概率較小時，計算效率更低。為了提高計算效率，陳建兵等提出了隨機過程的隨機諧和函數表達式，減少了隨機變量的數量。同時，陳建兵等進一步對譜表示方法的隨機過程中的頻率選點進行了優化。近年來，Liu等提出了隨機函數一譜表示方法，僅用1到2個基本隨機變量較為簡單地表示非高斯隨機過程，該方法進一步減少了隨機過程的隨機變量個數，且計算效率明顯提高。同時，該方法為進行隨機激勵下的高效結構反應分析以及統計矩的計算提供了一條新的途徑。然而，該方法所產生的加速度時程的均值可能不為0，原因在于離散點集在0點及其附近對應的正交隨機變量均值取值會發生突變。

鑒于此，本文基于隨機函數一譜表示模型，采用單個基本隨機變量，修正了離散點集的表達式，進而提出了結構響應極值前四階矩的計算方法并結合四階矩標準化函數應用于非高斯隨機激勵下的動力可靠度分析。本文以胡聿賢一周錫元功率譜為例，基于修正的離散點集表達式得到了一系列有限少量輸入樣本時程，并說明了獲取結構響應極值前四階矩的過程;最后，結合雙自由度系統及八層框架結構算例說明了本文方法在結構響應極值前四階矩的計算及動力可靠度分析中的高效性與精確性。

1基于隨機函數-譜表示模型的結構響應極值前四階矩計算

1.1隨機函數-譜表示模型

Shinozuka等提出了用譜表示方法模擬隨機過程的一般原理。該方法算法簡單，但計算工作量較大。為了有效地減少隨機變量的個數，Liu等結合隨機函數，利用1到2個基本隨機變量表示隨機過程，并給出了非高斯隨機激勵的隨機函數表達形式。利用譜表示模型表示的均值為0的隨機過程F（t）表達為

1.3結構響應極值前四階矩

當給定目標功率譜密度函數后，根據式（1），（2），（6）可以獲得一系列的均值為0的加速度時程樣本。將樣本時程輸入結構進行時程分析，可以獲得所需的結構響應極值前四階矩，具體步驟如下：

（1）根據式（6）初步確定基本正交隨機變量的代表點集，初步可設為1000。

（2）模擬非高斯加速度時程樣本。根據步驟（1）得到的代表點集代人式（2），可以得到一系列的{Xn，Yn），再根據Matlab自帶程序得到{Xk，Yk），進一步根據式（1）可得對應的非高斯加速度時程樣本。當計算所得的非高斯加速度時程樣本的功率譜均值、加速度時程均值及標準差與其目標值擬合良好，則說明確定的點數滿足要求。若不能擬合良好，則回到步驟1重新確定點數。在本文中設置計算的均值與其目標值的允許誤差為0.5;標準差、功率譜與其目標值的允許相對誤差為5%。

（3）根據生成的非高斯加速度時程樣本對結構進行時程分析，進而得到各非高斯加速度時程下的結構響應極值樣本。最后，對響應極值樣本進行統計分析，得到結構響應極值的前四階矩。

利用本文建議的離散點集公式（6）以及式（1）計算得到1000條非高斯加速度時程樣本，如圖7所示。圖8給出了1000條加速度時程計算得到的平均功率譜與其目標功率譜的擬合曲線，兩者功率譜的相對誤差控制在5%以內。從圖8可以看出，功率譜密度函數擬合情況良好，曲線基本重合。圖9為根據式（1）計算得到的一條典型的加速度時程樣本，樣本的持續時問為20s。圖10（a），（b）分別給出了1000條加速度時程樣本計算的總體均值、總體標準差與其相應的目標值的擬合曲線，其中均值與其目標值的最大允許誤差為0.5，標準差與其目標值的允許相對誤差為5%，從圖10（a），（b）分別可以看出，均值、標準差與其目標值均擬合良好。

為了說明生成的非高斯加速度過程的非高斯特性，圖11給出了非高斯加速度過程樣本分布與正態分布的概率密度函數PDF，從圖中可以看出，非高斯隨機過程樣本分布與正態分布有一定的差異，差異的原因在于非高斯隨機過程樣本的高階矩如偏度與峰度（三階矩與四階矩）對分布的概率密度函數有一定的影響。

3.2雙自由度體系

考慮一個雙自由度體系（如圖12所示），在上述非高斯隨機激勵下的動力可靠度問題。設體系的質量m1=1000kg，m2=2000kg，K1=K2=K3=10。N/m分別為三段連接彈簧的剛度。

為了與本文方法計算結果對比，圖13給出了m1在不同模擬次數下的位移響應極值前四階矩（均值、標準差、偏度和峰度）的變化曲線圖。從圖中可以看出當模擬次數達到10000次時基本穩定，因此本文選取10000個樣本下的MCS計算值為標準值如表1所示。根據第1節所述的隨機激勵，計算得到m1的位移響應極值，如圖14給出了m1位移響應極值的概率密度函數（PDF），同時給出了正態分布下的PDF。從圖14可以看出，由于響應極值的非高斯特性，m1響應極值的概率分布與正態分布有很大的差異。接著，根據本文方法計算m1的響應極值前四階矩，結果如表1所示。同理，表1也給出了利用本文方法與MCS計算的m2的位移響應極值前四階矩。從表1可以看出，利用1000個點計算得到的前四階矩與10000個樣本下的MCS結果基本吻合，最大相對誤差為2.45%，最小相對誤差為0.08%。

接著，根據計算的前四階矩以及第2節所述方法計算該體系m1，m2在不同界限下的失效概率及可靠指標，分別如圖15及16所示。同時，圖15及16均給出了10000個樣本下MCS方法的計算結果。圖15給出了質點m1從極值位移均值附近開始增大的界限值即R=15至30mm下的失效概率與可靠指標。圖16給出了質點m2從位移極值均值附近開始增大的界限值即R=20至40mm下的失效概率與可靠指標。從圖15和16均可以看出，本文方法計算結果與MCS結果擬合良好，曲線基本重合。由于本文方法只需1000個點就能得到MCS方法10000個樣本下的結果，說明了本文方法的高效性與精確性。

3.38層框架結構

從表2可以看出，本文方法計算得到結果基本與MCS結果吻合：其中，本文方法計算的均值與標準差的大部分數據與MCS計算結果相同（保留4位有效數字），三階矩a3s的最大相對誤差為4.47%，四階矩a4s的最大相對誤差為5.54%。

根據表2各層的前四階矩，圖18給出了各層層問位移角極值的均值曲線，從圖中可以看出第二層的層問位移角極值的均值最大。為了計算該框架結構體系的失效概率，本例以層問位移角極值均值最大的第二層可靠度作為該框架結構的整體可靠度。因此，利用第二層層問位移角極值的前四階矩進行結構的動力可靠度分析。根據表2第2層的前四階矩，利用本文方法分別計算界限R=0.020%，0.021%，0.022%，0.023%，0.024%，0.025%的結構失效概率與可靠指標。

如圖19所示，給出了本文方法計算的在不同界限下的失效概率與可靠指標。同時，圖19也給出了10000個樣本下MCS的計算結果。從圖19（a）的失效概率曲線與圖19（b）的可靠指標曲線均可以看出，本文方法計算結果與MCS計算得到的曲線基本重合，進一步說明了本文方法的高效性與精確性。

4結論

（1）改進了隨機函數中一個基本隨機變量的離散點集表達式，保證了生成的加速度時程樣本均值為0。通過1000個離散點集產生的加速度時程樣本集合能夠很好地擬合目標功率譜、目標均值與目標標準差。

（2）提出了非高斯隨機激勵下結構響應極值前四階矩的計算方法與四階矩可靠指標的完整顯式表達，在此基礎上發展了基于高階矩法的動力可靠度分析方法。

（3）通過對雙自由度體系以及八層框架結構分析，說明了本文方法在非高斯隨機激勵下計算結構動力可靠度的運用。計算結果表明本文1000個點的計算結果與MCS結果吻合，說明了本文方法的高效性與精確性。

（4）在實際工程中，由于地震、脈動風等都具有一定的非平穩性，因此，在后續的研究中，考慮非平穩非高斯隨機激勵下的結構動力可靠度是需要進一步深入的問題。