關注幾何本質，科學備考解析幾何

■甘肅省嘉峪關市第一中學 盧會玉

解析幾何是代數與幾何的完美結合,是代數解決幾何的典范。由于解析幾何蘊含豐富的數學思想(函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想等),所以通過對解析幾何的考查,可以有效檢測同學們的直觀想象、數學運算、邏輯推理、數學抽象和數學建模等數學核心素養。

解析幾何在高考中的考查內容包括：直線與方程、圓與方程、圓錐曲線等內容。題型有選擇、填空及解答題,考查形式有純粹的解析幾何試題,以及蘊含在線性規劃、導數等試題中的直線方程問題。純粹的解析幾何試題基本保持為兩道小題和一道解答題,分值為22分。選擇與填空題常有一道較低起點題,另一道則為較難題或者壓軸題。解答題的第(1)問側重考查圓錐曲線的定義與基本性質;解答題的第(2)問,盡管可能有多種不同的呈現形式,但總離不開直線與圓或圓錐曲線的位置關系這一本質的模式或套路。

通常解析幾何試題的計算量都比較大,導致同學們在學習過程中有恐懼心理,使得很多同學在解決解析幾何問題時只能走三步：求方程,聯立方程,韋達定理,然后就繼續不下去了。其實這種思維主要是由只重視代數運算,而忽視幾何本質所導致的。解析幾何應該以幾何問題為導向,關注幾何本質,以幾何為切入點,這樣更容易找到解題思路。想要快而準確地解決解析幾何問題,應遵循解析幾何三部曲：厘清幾何問題,幾何問題代數化,代數思想解決(方程思想)。顯然第一步是前提,第二步是關鍵,第三步是保障。

考向一、直線方程的求解問題

例1 一條直線經過點A(2,-3),并且它的傾斜角等于直線x-3y=0的傾斜角的2倍,則這條直線的方程是( )。

解析：已知直線x-3y=0的斜率為則傾斜角為30°,故所求直線的傾斜角為60°,斜率為,則所求直線方程為y-,即

總結：求直線方程的常用方法有：(1)直接法：根據已知條件靈活選用直線方程的形式,寫出方程。(2)待定系數法：先根據已知條件設出直線方程,再根據已知條件構造關于待定系數的方程(組)求系數,最后代入求出直線方程。(3)求直線方程時,如果沒有特別要求,求出的直線方程應化為一般式Ax+By+C=0,且A≥0。

考向二、和圓有關的最值問題

例2 平面上兩個點為A(-1,0),B(1,0),O為坐標原點,在圓C：x2+y2-6x-8y+21=0上任取一點P,則|AP|2+|BP|2的最小值為_______。

解析：設點P的坐標為(x,y),則|OP|=因為A(-1,0),B(1,0),所以|AP|2+|BP|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2。

要使|AP|2+|BP|2取得最小值,需使|OP|2最小。

將圓C：x2+y2-6x-8y+21=0化為(x-3)2+(y-4)2=4。

因為P為圓C：(x-3)2+(y-4)2=4上的點,所以|OP|min=|OC|-r(r為半徑)。

由(x-3)2+(y-4)2=4知圓心C(3,4),r=2,所以|OC|-r=-2=5-2=3,即|OP|min=3。

故(|AP|2+|BP|2)min=2×32+2=20。

總結：和圓有關的問題,多數情況下都是利用數形結合的思想方法來解決的。在求圓上的點到直線或者定點的距離時,一般是轉化為圓心到直線或者定點的距離,再加減半徑,分別得到最大值和最小值。涉及圓的弦長或者切線長時,經常用到垂徑定理。

考向三、圓錐曲線的定義和標準方程

解析：由 ∠F2MN= ∠F2NM 可 知,|F2M|=|F2N|。

由雙曲線定義可知,|MF2|-|MF1|=|NF1|-|NF2|=,兩式相加得|NF1|-|MF1|=|MN|=。

總結：(1)橢圓定義的集合語言：P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a＞|F1F2|}往往是解決計算問題的關鍵,橢圓上的一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形。解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理和余弦定理。

(2)在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件,即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數,且該常數必須小于兩定點的距離”。若定義中的“絕對值”去掉,點的軌跡是雙曲線的一支。同時注意定義的轉化應用。

(3)求雙曲線的方程時,一是要注意判斷標準形式;二是要注意a、b、c的關系。

考向四、有關離心率問題

例4 拋物線C：y2=2px(p＞0)與橢圓E=1(a＞b＞0)有相同的焦點F,兩條曲線在第一象限內的交點為A。若直線OA的斜率為2,則橢圓E的離心率為( )。

圖1

解析：因為直線OA的斜率為2,則可設點A(t,2t),代入拋物線C：y2=2px=4cx中,求得點A(c,2c),依此作圖,如圖1,發現△OAF是Rt△,在橢圓中,通徑的一半|AF|=2c=,則2ac=b2,所以e2+2e-1=0,得e=2-1。

總結：(1)求離心率時,由條件尋找a,c滿足的等式或不等式,在雙曲線中,a,b,c的關系為c2=a2+b2,在橢圓中,a,b,c的關系為a2=b2+c2,然后進行變形即可。

(2)求解雙曲線的離心率的范圍,一般是根據條件,結合c2=a2+b2和e=,得到關于e的不等式,求解即得。橢圓問題用類似方法求解。注意區分雙曲線的離心率e∈(1,+∞),橢圓的離心率e∈(0,1)。

考向五、求軌跡方程

例5 在直角坐標系xOy中,A(-2,0),B(2,0),不在x軸上的動點C滿足AC⊥BC,CD⊥AB于點D,P為CD的中點,求點P的軌跡E的方程。

解法一：設點P(x,y)(y≠0),因為CD⊥x軸,P為CD的中點,所以C(x,2y)。

因為AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,即化簡得

解法二：依題意可知點C的坐標滿足設點P(x,y)(y≠0),因為軸,P為CD的中點,所以C(x,2y),所以x2+(2y)2=4,即1,則點P的軌跡E的方程為±2)。

總結：(1)直接法求曲線方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數方程,要注意翻譯的等價性。通常將步驟簡記為建系設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟,但最后的證明可以省略,如果給出了直角坐標系則可省去建系這一步,求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性。

(2)求軌跡方程時,若動點與定點、定直線間的等量關系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,則可直接根據定義先確定軌跡類型,再寫出其方程。理解解析幾何中有關曲線的定義是解題的關鍵。利用定義法求軌跡方程時,還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,如果不是完整的曲線,則應對其中的變量x或y進行限制。

(3)動點所滿足的條件不易得出或轉化為等式,但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x′,y′)的運動而有規律地運動,而且動點Q的軌跡方程為給定的或容易求得的,則可先將x′,y′表示成關于x,y的式子,再代入Q的軌跡方程整理化簡即得動點P的軌跡方程。

考向六、圓錐曲線中的定點、定值問題

例6 已知橢圓方程為x2+=1,射線y=2x(x≥0)與橢圓的交點為M,過M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于A,B兩點(異于M),求證：直線AB的斜率為定值。

所以直線AB的斜率為定值2。

總結：定點、定值問題多以直線與圓錐曲線為背景,常與函數、方程、向量等知識交匯,形成了過定點、定值等問題的證明,難度較大。定點、定值問題是在變化中所表現出來的不變的量,那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數量積、比例關系等,這些直線方程、數量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值,就是要求的定點、定值。化解這類問題的關鍵就是引進變的參數表示直線方程、數量積、比例關系等,根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量。

考向七、直線與圓錐曲線位置關系的判斷及應用

例7 已知拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點為F(1,0),拋物線E：x2=2py(p＞0)的焦點為M。若過點M的直線l與拋物線C有且只有一個交點,求直線l的方程。

解析：由題意知拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點為F(1,0),拋物線E：x2=2py(p＞0)的焦點為M,所以p=2,M(0,1),則拋物線C的方程為y2=4x,拋物線E的方程為x2=4y。

若直線l的斜率不存在,則易知直線l的方程為x=0。

若直線l的斜率存在,設為k,則直線l的方程為y=kx+1,與y2=4x聯立,消去y

可得k2x2+(2k-4)x+1=0。

當k≠0時,Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,此時直線l的方程為y=x+1。

綜上可知,直線l的方程為x=0,或y=1,或y=x+1。

總結：(1)判斷直線與圓錐曲線的交點個數時,可直接求解相應方程組得到交點坐標,也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來確定,需注意利用判別式的前提是二次項系數不為0。

(2)依據直線與圓錐曲線的交點個數求參數時,聯立方程并消元,得到一元二次方程,此時注意觀察方程的二次項系數是否為0,若為0,則方程為一次方程;若不為0,則將方程解的個數轉化為判別式與0的大小關系求解。

考向八、直線與圓錐曲線的弦長問題

(1)求橢圓E的標準方程;

(2)設橢圓E的左焦點和右焦點分別為F1,F2,過F1且斜率存在的直線l與橢圓E相交于A,B兩點,且|AF2|+|BF2|=2|AB|,求直線l的方程。

解析：(1)因為直線PQ與圓x2+y2=相切于點即直線PQ的方程為,所以P(0,1),Q(2,0),即a=2,b=1,故橢圓E的標準方程為

總結：直線與圓錐曲線的弦長問題：

(1)過圓錐曲線的焦點的弦長問題,利用圓錐曲線的定義可優化解題。

(2)將直線方程與圓錐曲線方程聯立,求出兩交點的坐標,再運用兩點之間的距離公式求弦長。

(3)解題過程體現了解析幾何中的設而不求思想,其實質是利用兩點之間的距離公式,以及一元二次方程根與系數的關系。

解答解析幾何問題的關鍵是把幾何問題轉化為代數問題,那么怎樣才能進行合理的轉化呢?筆者認為有幾點值得注意：(1)要主動去理解幾何對象的本質特征,這需要在審題上下功夫;(2)要善于將幾何條件、幾何性質用代數的形式表達出來,這需要對特殊圖形的代數表示非常明確;(3)恰當選擇代數化的形式,這需要很好的大局觀,方便后續的代數研究;(4)要注意等價轉化。

總之,解析幾何題綜合性強、應用面廣,有些題目對運算求解能力要求高、有些題目對推理論證能力要求高,所以在高三復習中,既要注重基礎,又要有所創新提高,既要注重通性通法,又要注意技巧鍛煉,要做到靈活多變,養成良好的學習習慣,自覺地運用數學思想方法進行分析、推理、運算,這樣才能快速準確地解答問題。