循標觀聯而整合之　促進數學思維生長

摘 要：“數學思考”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》闡述課程目標的關鍵詞之一，對學生的全面、持續、和諧發展有著重要的意義。它指人們在面臨各種問題時，能主動從數學的角度進行觀察和分析，進而運用數學的知識與方法來解決的思考方式，是一種周到而深刻的思考，其核心在于思維活動。

關鍵詞：數學;循標;思維

下面，以《有幾瓶牛奶（9加幾）》的教學為例，談談如何激活學生的數學思維，依托“遵循目標——借助觀察啟發聯想——達成整合”的過程，促進學生數學思考力的生長。

一、 循標：萌生“湊十”思維，品味計數智慧

準確把握目標，能讓思維更富有目的性和針對性。因此，遵循教學目標為學生數學思維的生長指明了正確方向。

經嘗試發現，在計算進位加法時，最先算出正確結果的并不總是主動運用“湊十”計算的學生。例如，計算“9+2+8”，搶答成功的同學是這樣表述的：“9加2，在9后面接著數2個數，就是11，11+8=19”。這是否意味著《有幾瓶牛奶（9加幾）》的教學無須凸顯“湊十”方法呢？答案顯然是否定的！“湊十”法的運用對以后的口算和筆算都是至關重要的。本節課的教學目標之一是“初步感知計算方法的多樣性，并理解‘湊十方法的簡便性”，從這一目標出發構起學生數學思維起步的生長點，循著目標探索也就成為數學思維的生長線，本環節對此課教學起導向作用。

【教學片斷】

師：請你試著數清屏幕上有幾根小棒。

（出示并于2秒后消失）

生齊答：5根。

師：要提高難度了，瞪大眼睛仔細看哦，請你再試著數清有幾根小棒。

（出示并于2秒后消失）

生1：10根 生2：12根 生3：13根

生4：14根 生5：15根

師：看來，這回大家的意見不太統一啊。（再次出示小棒，實際數一數。）

師：別灰心！還有一次機會，請你數清有幾根小棒。

（出示并于2秒后消失）

指數名學生回答，答案均為14根。

師：咦，奇怪了，這次的小棒比上一次還多，為什么大家反而數得這么輕松呢？

生6：上一次的小棒很快就不見了！

生7：上一次的小棒看不清楚，這次捆在一起看得很清楚。

生8：一捆里面有10根小棒，10+4=14，很容易數清楚。

師：嗯，同學們通過對比發現，把10根小棒捆成一捆，能幫助我們數得又對又快。（板書：很好數）

師：帶上這樣的眼光，說一說怎樣讓別人也能一眼就看出上一次這些小棒有幾根

（出示）

生9：把它們捆起來！

生10：數出10根，捆成一捆，再加上剩下的幾根。（課件動態展示）

……

從“基本數覺→數數階段→實物計數→符號計數”的發展歷程，彰顯著人類創造位值制的大智慧，這是學生在先前學習中已有所接觸和體會的，我試圖讓“湊十”計算的思維啟蒙在十進制計數法的大背景下展開。課伊始，開展“比一比，誰數得快？”的數學活動，新穎、有趣的游戲形式一下子就把學生深深地吸引住了，兩次數小棒（12根、14根）這一游戲情境，指向明確、集中，讓學生置身強烈的對比之中，產生“捆十，很好數”的深刻體驗，基于學生生活現實與數學現實的融合點生長新知。

二、 觀察-聯想：強化“湊十”思維，建構數學模型

數學觀察是展開數學思維活動的前提條件，學生通過觀察來辨認和分析新出現的數學問題特征，找出新舊知識或經驗之間的聯結點，為后續思維提供必要的感性材料支撐，即為思維活動奠基。隨后，依托數學思維最活躍的生長因子——數學聯想，實現從新問題出發回想起相關舊問題的心理活動過程，架設起溝通知識的橋梁，實現經驗的打破和重組，從而建構數學模型。

據前測，95%的孩子已經會算9加幾，所以，本課教學需要思考：作為20以內進位加法計算教學的起始課，我們期待當學生走出課堂時對“9加幾”的認知與進入課堂之前有何區別呢？我想，可以嘗試借助直觀觀察積累感性材料、形成“湊十”的表象，然后，通過參與適宜的數學活動，架設起借助“10的加減法”“20以內數的不進位加法”等原有知識解決新問題（進位加法）的邏輯思路，最終，建立“湊十法”的數學模型，在感受“模型”思想的同時，積累數學活動經驗。

【教學片斷】

師：（課件出示右圖）數一數，說一說：每格裝一個蘋果，一共能裝多少個蘋果？假如已經放入5個蘋果，再裝幾個就滿了？放入6個呢？7個、8個、9個呢？

（課件逐步出示相應的圖片，結合學生的回答，閃爍出示填入的虛線蘋果，小結并板書：湊十）

師：（出示下圖）媽媽又買來了5個青蘋果，你能提出什么數學問題？

生11：兩種蘋果合起來有多少個？

生12：可以用9個紅蘋果加5個青蘋果。（師板書：9+5=）

師：仔細觀察圖，說一說有什么方法可以知道共有幾個蘋果。

生13：有9個紅蘋果，再接著數（青蘋果）10、11、12、13、14個。

生14：把一個青蘋果拿到左邊的盒子里，這一盒就有十個蘋果了，再和右邊剩下的4個

青蘋果合起來，一共有14個。

生15：把左邊上面的那一排紅蘋果都拿到右邊的盒子里，這樣就有十個，再加上左邊下面那一排的4個紅蘋果，就可以知道一共有14個蘋果。

……

師：能不能借助小棒把你的想法擺一擺，擺好后和同桌說一說：你是怎樣移動小棒的？為什么要這樣移？

（交流匯報，略）

師：通過移動，左、右兩邊的小棒各有什么變化？有沒有什么是不變的？

生16：左邊的小棒變多（少）了，右邊的小棒變少（多）了，得數是不變的。

生17：左邊的小棒變少（多）了，右邊的小棒變多（少）了，一共有14根小棒是不變的。

……

師：（結合圖片）嗯，是的，從右邊移動1根小棒到左邊來，左邊的小棒變多了，右邊的小棒變少了，但小棒的總根數是不變的。想知道原來的9+5等于幾，現在只要計算幾加幾就可以了？

生齊答：10+4

師：這樣，我們就把這節課遇到的新問題變成以前已經學會的問題來解答了，這樣的方法稱為“轉化”。（板書：轉化，齊讀）

……

師：我們一起來玩“青蘋果變變變”的游戲，好嗎？

課件出示右圖：

（不斷變換盒子外面青蘋果的個數（3個、4個、6個、7個、8個），讓學生快速搶答出蘋果的總個數。）

通過“把盒子裝滿蘋果”這樣一個簡單、易行的生活事件，學生在“聊天”的過程中不知不覺地形成“十個就滿了”的直覺思維;然后，結合直觀圖片探討“有什么方法可以知道共有幾個蘋果”這一問題，初步建立起“湊十”的表象;緊接著，經歷動手操作、語言表述、與同伴思維碰撞的過程，梳理出“‘9+5可以轉化為‘10+4來計算”的邏輯思路，實現“湊十”經驗的提升和內化;最后，依托快速、有趣的“青蘋果變變變”游戲，不斷強化“湊十”思維。這樣教學，學生不僅能學會計算“9加幾”、能運用“9加幾”的知識解決實際問題，而且能建構“湊十”的數學模型、生長“模型”思想，為形成良好的運算能力奠定堅實的基礎。

三、 整合：融通“湊十”思維，感悟思想方法

把聯想起來的知識（計算9加幾的進位加法的方法）按其內在聯系，依邏輯順序進行整理、加工、優化和重新組合，讓新知識與原有認知結構中的相關知識（“滿十進一”的位值思想、加法算式各部分間的關系等）產生積極的相互作用，進而融合在一起，建構起新的認知結構，并有力促進數學思維的后續生長。整合，在學生數學思維的生長中起至關重要的作用。

【教學片斷】

師：通過玩“青蘋果變變變”的游戲，你有什么發現？

生18：我發現，每次多一個青蘋果，蘋果的總個數就多一個。

生19：我有意見！有一次青蘋果多了2個，蘋果的總個數也多了2個。

師：嗯，紅蘋果的個數有什么變化呢？（不變）

生20：我發現要想知道一共有幾個蘋果，只要把青蘋果去掉一個再加十就可以了。

師：誰聽明白他的意思了？

生21：我聽明白了，比如有9個青蘋果嘛，拿1個和紅蘋果湊成十，還剩8個，8+10=18，一共有18個蘋果。

師：王老師為善于思考和認真傾聽的同學點贊！

師：如果+4=13，那么，+6= ，說說你是怎樣想的。

生22：剛才玩“青蘋果變變變”的游戲時，我就知道9+4=13了，那么9+6=15。

生23：13-4=9，所以兔子=9，9+6=15。

師：嗯，都能利用已經知道的來解決未知的問題，很了不起！

生24：兔子和兔子是一樣的，6比4多2，所以得數也要比13多2，那就是15。

師：祝賀這位同學，他懂得用“推理”這種方法來解決問題！（板書：推理）

師：（出示“9+7=16”）仔細觀察這個算式，想一想，明明是用9加上“7個1”，但是和的個位上卻只有“6個1”，少掉的“1個1”跑到哪兒去了呢？可以和小組里的同學討論一下。

小組1：少掉的“1”跑到（和的）十位去了。

小組2：不對，不對，少掉的是“1個1”，十位上的“1”是“1個十”。

小組3：我們覺得，少掉的“1”跑去和“9”湊成“十”，就變成十位上的“1”了。

（其他小組紛紛表示贊同）

生25：所以，在計算9加幾的時候，和的十位上是“1”，和的個位比9加的那個數少1。

師：嗯，你能有這么深入的想法，一定是因為你學習時非常專注！

師：同學們，受他的啟發，你對如何計算“8+6=”有初步的想法了嗎？

生26：十位上是“1”，個位上的數字比6少2，等于14。

師：呀，他用上了“類比”的方法，這種猜測對不對呢？我們下節課再一起學習“8加幾”。

在玩“青蘋果變變變”的游戲并交流“你有什么發現？”的過程中，學生依托具象的載體，自然迸發出了“（紅蘋果的個數不變）青蘋果比上一次多了2個，蘋果總個數也應該多2個”“要想知道一共有幾個蘋果，只要把青蘋果去掉一個再加十就可以了”的想法，

這不就是“推理”思維和“歸納”思想的雛形嗎？低年級學生所呈現出來的這種難能可貴的思維的火花需要我們去呵護并進一步點燃。此時，教師適時拋出“9+7=16，明明是用9加上‘7個1，但是和的個位上卻只有‘6個1，少掉的‘1個1跑到哪兒去了呢？”這一問題，讓學生進行小組討論，引領他們上升到符號語言的層面來表達自己的認識，從而與原有認知結構中的“滿十進一”的知識及其相應的位值思想相融合，實現思維生長。最后，通過“你對如何計算‘8+6=？有初步的想法了嗎？”這一問題，讓學生展開類比聯想，為思維的再生長插上了希望的翅膀！

作者簡介：

王培明，福建省泉州市，福建省泉州師范學院附屬小學。

本文系2018年福建省基礎教育課程教學研究立項課題《構建富有生長力的數學課堂的探索與實踐》（課題編號：MJYKT2018-015）的研究成果之一。