基于數學文化與數學源問題的畢業論文探索

楊新光　李璐　李懷軍

摘要：文章主要是從數學鑒賞的觀點來研究數學論文尤其是畢業論文的選題與撰寫。結合數學文化的產生與發展，從數學源問題的理論與應用發展脈絡出發，詳細探究數學論文的設計與數學的鑒賞八大境界。

關鍵詞：數學文化;數學源問題

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2020）16-0313-02

數學是描述現實世界本質規律的一門學科，數學以其高度的抽象性、嚴密性與規律性奠定了其在基礎學科中的核心地位。一個著名的數學源問題實例為法拉第發現電磁感應定理之后，該定理在19世紀由精通數學的英國數學與物理學家麥克斯韋推導出具有普適性的Maxwell方程，從而有了近代物理學與數學中微分方程方向的進步。本文將基于數學文化與數學源問題，來對畢業論文進行探究，針對數學的鑒賞與境界，數學與應用的關系來展開，詳細說明論文選題、寫作與基本功的重要性。

一、論文的源問題和展現形式的分類

數學論文的創作包括解決問題以及結果的展現和傳播兩個重要方面。

1.就問題的來源來說，從純理論來看包括：①眾所周知的開問題、猜想等。②某一學科或者研究方向的一般問題，這些課題的解決對于核心問題的解決具有核心性促進作用。③某學科或者方向的小問題。這些課題對于本質問題的解決有一定的促進作用，但是不起決定性作用。

2.論文的發表和傳播是成果的重要展現形式，就發表的雜志來說，一般包括：①科技或者社會科學界的綜合性頂級期刊。②研究業界的綜合性頂級期刊。③研究業界某些方向的行業頂級期刊。④研究業界和研究方向的一般期刊。

二、數學研究和論文創作的鑒賞與境界

數學之美與鑒賞，最重要的是簡潔之美與深刻，包括了數學理論、數學技巧、數學應用、數學展示與數學教育?；跀祵W文化來看，好的數學至少具備下面之一元素。

1.深刻的數學：明顯非平凡的結果。

2.嚴格的數學與直觀的數學：自然的容易形象化的結果。

3.明確的數學：如對于一個模型的分類，像液晶。

4.強有力的數學：利用弱的假設得到強的結果，例如數學物理方程中利用靴帶方法可以得出拋物方程在初值不光滑時而解可以是無限光滑的。

5.有用的數學：如本文引入的關于麥克斯韋方程與廣義相對論的例子。

6.創造性的數學，本質上具備新穎的獨創刻畫。

7.優美的數學，如直觀的扭結之美與抽象的恒等式之和諧。

基于數學源問題與數學文化的數學之美，對于數學的研究、數學論文的撰寫，具有下面八個境界。

1.新的原創性思想，新的統一性普適性理論的形成，如阿基米德、牛頓、愛因斯坦、高斯、歐拉、黎曼、龐加萊、萊布尼茨、柯爾莫哥洛夫等大數學家們的杰出開創性工作。

2.新的原創性工具、猜想、方法、技巧的提出，并能夠解決經典的大的開問題，如Hamilton的Ricci流。

3.提出新的問題，能夠綜合運用的經典方法與思想解決大的問題與大的猜想，如張益唐教授的工作等。

4.利用新的思想、方法、技巧解決核心問題。

5.綜合運用已有的方法、思想、技巧來解決核心問題。

6.利用新的思想、方法、技巧來解決一般性問題。

7.綜合已有的思想、方法、技巧來解決一般性問題。

8.利用已有的思想、方法、技巧或者新的思想、方法、技巧來解決一些小問題。

三、數學與應用科學的關系

早期的數學，來源于現實與生活，及至中世紀以后，在自然科學與工程領域的探索中，淋漓盡致地體現了數學的實用之美，數學與應用科學的關系可以總結為以下幾點。

1.數學與應用科學的完美融合與促進，例如天體力學的發展與早年數學中微積分的相互促進，廣義相對論與黎曼幾何。

2.數學作為應用科學的工具，但應用科學的發展未反哺數學。例如熱力學中傅里葉變換的產生與通信中的信號處理。

3.應用科學建立于數學的基礎之上，反過來又啟發了數學的新進展，例如計算機與數學的發展。

四、論文寫作的升華：建立于基本功與心態上，尋找有意義的課題

基于數學文化與數學源問題，在對數學之美與鑒賞、數學與應用科學的關系基礎上，尋找有意義的課題，是論文寫作的起源一環。如何找到合適的課題，并能夠解決呢？

對于課題的發現，要建立在扎實的基本功之上，即對于某一個方向的來龍去脈，逸聞趣事，有一個深入的了解。培養自己的基本功，需要從下面三個方面著眼與著手。

首先要對自己定位，明白自己知識儲備的長處與短處。其次，是對文獻的閱讀與把握。選定一個擅長的方向作為課題，并對該方向的基礎專著、經典論文或者綜述進行精讀。最后，在精讀經典文獻或者專著中，往往需要大量的時間與精力投入，保持一顆平靜的心態尤為重要。

建立在扎實基本功上，明白個人所需，可以從下面幾方面來找出有意義的問題。

1.在對經典問題的揣摩中，細致推敲創作人當時的背景，梳理創始人思索源問題的角度與脈絡，從中對比自己的問題，試圖達到科研八境界中的第七境界，即回顧經典、梳理思想、類比文獻。

2.重溫經典文獻，找出字里行間或者明確提出的開問題，選擇合適的題目作為自己的目標。

3.運用已有的數據庫或者預印本網站，查看最新的預印本，從中尋求新思想、新方法、新技巧，綜合運用來解決經典問題。

4.作為數學學科的論文寫作，特別是畢業論文來說，選取交叉學科或者應用學科中的問題，利用數學理論進行分析，是本科畢業論文撰寫選題的精要。

五、論文的撰寫與展現

在論文的結果初步完成之后，將所得成果形成文字，得以展現，是數學的美的一種好的傳播，尤其是本科或者碩士畢業論文的撰寫與呈現。一般來說，一篇完整的論文包括題目、作者、摘要、正文、致謝與參考文獻這些必不可少的部分。具體來講，基于源問題與數學文化的論文呈現形式如下所示。

1.論文的題目：高度抽象地概括論文的主要問題與結果。

2.作者：論文要區分通訊作者。

3.論文摘要：首先要簡明說清楚所要研究的問題。

4.論文的引言：論文的引言是一篇文章在審稿過程中，審稿人重點關注的部分。

5.正文中主要結果的撰寫部分：本部分作為數學論文來說，來源于平時的基本功。

6.正文中的結語與展望：本部分是對前面工作的總結與斷言，后續工作的預演。

7.參考文獻：要根據不同風格的論文，比如不同雜志的投稿論文或者畢業論文等，來進行撰寫。

綜上部分，論文的撰寫，是課題結果的重要展現形式，也是得到認可的外在表現。

六、結語與展望

本論文基于數學文化與數學源問題，借鑒段金橋教授英文論文寫作的一些技巧，利用數學之美與鑒賞的觀點，來詳細闡述了數學論文尤其是畢業論文的選題、呈現形式等，為本科生撰寫畢業論文提供一種寫作參考的數學觀。如何基于數學文化與數學源問題，或者HPM視角來研究教學問題，也是我們一直以來與未來的重點研究方向。

七、致謝

本文作者感謝河南師范大學教改項目（職前教師數學觀研究：基于HPM的視角）的資助。第一作者感謝2018年1月至12月于北京工業大學訪問期間，合作導師王術教授的指導與鼓勵。

參考文獻：

[1]阿蒂亞.20世紀的數學[J].白承銘，譯.周性偉，馮惠濤，校.數學譯林，2002，（2）.

[2]胡偉文，徐忠昌.數學文化欣賞[M].北京：科學出版社，2016.

[3]Jinqiao Duan，How to Write Better Math[M].Preprint，2012.

[4]王術.數學文化與不等式——探究式學習導引[M].科學出版社，2014.

Research on the Thesis Based on Mathematical Culture and Originate Problems

YANG Xin-guang，LI Lu，LI Huai-jun

（Department of Mathematics and Information Science，Henan Normal University，Xinxiang，Henan 453007，China）

Abstract：This paper is concerned with how to choose and present a appropriate mathematical paper especially the thesis from the viewpoint of appreciation of mathematics.Combining with the generation and development of mathematical culture，based on the originate mathematical problems from theory and application，we pay our attention on the research of the design of papers and eight states for appreciation of mathematic

Key words：mathematical culture;originate problem

收稿日期：2019-06-20

作者簡介：楊新光（1980-），男（漢族），河南平頂山人，副教授，博士，研究方向：非線性發展方程與動力系統，數學文化與數學教育。