受控雙向遠程量子控制

彭家寅

內江師范學院 數學與信息科學學院，四川 內江641199

1 引言

量子物理學的核心原理之一是量子糾纏，它似乎可以瞬間傳輸信息，但實際上并不違反經典光速，因為沒有通過空間的“運動”。量子糾纏被視為量子信息處理和量子計算的一種有用的資源，如量子隱形傳輸[1]、超密編碼[2]、量子對話[3]、量子秘密共享[4-8]、量子態制備[9-12]、量子信息集中[13-14]等。Briegel 和Raussendorf 提出了一種被稱為簇態的新的糾纏態，這種糾纏態可以在任何具有伊辛型相互作用的系統中有效地產生[15]。該簇態可用作隱形傳態[16-17]、量子信息集中[14]、密集編碼[17]等。

1993年，Bennett等人[1]首次發明了量子態隱形傳態（QST），在其傳輸中，任意未知狀態可以在不發送任何物理粒子的情況下被傳輸到空間遙遠的地方，但需借助于先前共享的糾纏和局部操作以及經典通信。此后，QST 在理論和實驗上都引起了人們的廣泛關注[2-12]，它在包括雙向控制隱形傳態（BCQT）在內的許多量子任務中都得到了有效的應用。Zha 等[18]于2013 年提出雙向控制量子隱形傳態，該方案以5 個粒子簇態為量子信道，參與者Alice 和Bob 可以在監控者Charlie 的控制下同時交換他們的未知量子態。不久，Shukla[19]、Chen[20]、Duan[21]和Zhang[22]獨立提出了一系列確定性BCQT 協議。Shukla 等[19]討論了BCQT 方案在量子遠程控制和量子密碼學方面的一些潛在應用。作為BCQT 的推廣，Peng等[23]提出了一種雙向量子態共享協議。

2001年，Huelga等[24]首先提出了量子算子隱形傳輸（QOT）的概念，它可以看作是一個量子遙控器。他們進一步分析了如果去除了一般的要求會發生結果，并描述了可以遠程執行酉算子集，而不需借助雙向QST[25]。在上述初始工作基礎上，一些基于資源消耗和算子限制的其他QOT 協議[26-30]不斷被提出來。例如Dur 等[26]利用線性光學元件探索了非確定性量子邏輯算子的隱形傳輸；Wang[27-28]將處理單粒子算子的原始QOT 協議拓展到涉及多粒子的QOT 協議；Zhao 和Wang[29]提出了一種基于雙向QST[25]和Wang[27-28]協議的混合協議，他們[30]進一步提出了一種塊對角形式的非局域算子的局域與遠程執行協議等。

本文提出了受控雙向酉算子隱形傳輸（CBROT）的概念，它實質上是雙向控制量子態隱形傳態和量子算子隱形傳輸的一種有序融合。本協議的目的是：在監管者Charlie和David的控制下，發送者Alice想對含有Bob的粒子之任意量子態上遠程地執行一個酉算子U，同時，Bob 也打算對含有愛麗絲的粒子的另一個任意狀態上執行另一個酉算子V，整個過程不依賴于雙向QST。首先，提出了一種關于任意酉算子傳輸的方案，然后改進這個方案，接著討論對算子集加以制的方案?？梢园l現：酉算子集合越受限制，所節省的經典資源和量子資源就更多。

2 受控雙向酉算子隱形傳輸

假設有空間分離的四個合法用戶：Alice、Bob、Char‐lie 和David。Alice 是單粒子算子U 的初始執行者，Bob是另一個單粒子算子V 的初始執行者，Alice 和Bob 互為他們的代理商，Charlie 和David 是兩個控制者。此外，在監察者Charlie 和David 的控制下，Alice 可能不了解算子U，但她想在遠程的Bob 擁有的一個粒子態上成功地執行U；同時，Bob 也可能不了解算子V，可他打算在Alice的量子態上實現V，這里x,y,α和β 都是復數，并且滿足歸一化條件和，而U 和V 是任意酉算子。連接四個用戶的是兩個五粒子團簇態：

和

其中下標表述不同的粒子。事先，這些粒子被假定安全地分配四個合法使用者：Alice擁有四粒子組(A,A′,a,a′)，Bob 擁有四粒子組(B,B′,a,a′)，Charlie 有單粒子C，David有單粒子D。該方案被設計為如下五步：

步驟1 Alice和Bob進行Bell態測量

（1）Alice用Bell基

上述測量后，粒子b,a′和D的態塌陷為：

其中，i,j,s,t ∈{0,1}，并且

為單粒子基。

步驟2 Alice和Bob進行酉算子運算

步驟3 Alice和Bob進行第二次測量

（1）Alice 對她的粒子對(A,a′)進行Bell 態測量，同時，Bob也對他的粒子(B′,b)施行Bell態測量。

（2）Alice 和Bob 分別將測量結果(m,n)和(k,l)發送給對方。即，Alice 利用經典信道Alice-Bob 將2 bit 信息(m,n)告知Bob，同時，Bob 用經典信道Bob-Alice 把2 bit信息(k,l)告知Alice。當然，事先約定：信息(m,n)和(k,l)

其中，i,j,k,l,m,n,s,t ∈{0,1}，符號σ(e,f)為Pauli算子。

步驟4 Charlie和David進行單粒子測量

（1）Charlie用單粒子基

對粒子C 進行投影測量，同時，David用同樣的基對粒子D進行投影測量。

（2）Charlie 和David 通過經典信道將兩個1 bit 信息h和r 告知Alice和Bob。自然，兩個1 bit信息h和r 分別對應單粒子態和

步驟5 通過合作重構原始酉算子

如果Charlie和David愿意提供幫助，且Alice和Bob彼此也同意合作，那么他們分別能夠作用在粒子A′的態上的算子V 和B 粒子的態上的算子U。否則，Alice和Bob都不能單獨完成量子任務。

注1 從遠程態制備[11]和QOS[31]的研究來看，如果放寬協議必須適用于任意算子這個一般性條件，那么CBROC任務就可以完成。下面，展示了這一點。

注意等式（1）在Alice 和Bob 的交換下是對稱的，因此只考慮Alice對U 是部分了解的，故她必能得到不難看出，發生這種情況的條件是U 滿足：

其中，W 是對應于任何U 而言，從某些限制集S 中提取的一個有效的通用算子；θ 是一個實參數，它對應同一集合中不同的U 可能會不同，有：

顯然，如果U 與σ(k,l)是交換或反交換的，則這樣的W 可能是存在的。如果Uσ(k,l)=σ(k,l)U 對于k,l ∈{0,1}成立，則：

如果Uσ(k,l)=-σ(k,l)U 對于k,l ∈{0,1}成立，則：

因U2非酉算子，故它不是希望的。盡管U1是最簡單的酉算子，但若把它用于上述方案的話，本方案就失去量子控制作用。這表明如果選取限制集S={U1}于上述方案的話，那將是沒有意義的。

3 改進的CBRQC協議

仍考慮第2章的量子任務，并設計如下的方案。

步驟1 Alice和Bob進行受控非門操作

其中，u為控制粒子，v為目標量子。

步驟2 David、Alice和Bob進行單粒子測量

根據國外技術可知，栽培基質溫度達80℃時，可消滅大多數病原菌、害蟲。病菌和害蟲的殺滅溫度[4]，如圖1所示。無土栽培基質蒸汽消毒機的栽培基質蒸汽加熱溫度可達120～200℃，通過滅菌檢測均達到99.9%以上，消毒效果非常明顯。

其中，i,j,l ∈{ }

0,1。

步驟3 Alice和Bob執行酉運算

（1）Alice 和Bob 根據收到的信息分別對他們的粒子對(a,a′)和(b,b′)施行酉運算和，于是變成：

步驟4 Alice和Bob進行Bell態測量

步驟5 Charlie進行單粒子測量

步驟6 Alice和Bob重構量子態

類似注1 的討論，期望Alice 對U 有部分的了解，那么她就能確實地獲得顯然，可類似地推出下列等式：

顯而易見，當U 與σ(k,l)是交換或反交換的時候，這樣的W 是存在的。如果Uσ(1,1)=σ(1,1)U，則：

這里θ和?是兩個任意實參數。如果Uσ(1,1)=-σ(1,1)U，則

其中，a和b是實參數，使得a2+b2=1 并且ia+b=ei?。U1對應于關于z 軸的任意一個旋轉，U2為在x-y 平面上圍繞任意軸的π旋轉。利用這個協議，限制集S={ }U1,U2中的算子都能被Alice在Bob的粒子B所在的態上確切地執行。這個結論可以應用到Bob 部分了解算子V的情形，也就是當V 取S中的任一算子時，它也能被Bob在Alice 的粒子A′所處的態上執行。因此，Alice 和Bob的算子U和V 都取自S={U1, U2} 時，它們分別在和態上被成功地施行，因此本方案能完美地將兩個特殊但粒子算子完美地雙向傳輸。

注2（1）比較本章與上章的方案，改進的協議的概率提高了一倍，它使一些特殊的算子能夠通過雙向完美地傳輸，但它需要更多的局域操作。

（2）如果直接修改第2 章中描述的方案，可以得到與改進方案相同的結果。事實上，僅需添加操作于等式（1），剩余過程作相應修改就可。

4 資源與限制算子博弈的雙向受控協議

在第3 章中，提出了 基 于算子 族S={U1, U2} 的CBRQC協議，其中U1和U2分別是式（2）和式（3）所示的酉算子。本章將看到：如果把酉算子U 和V 限制到S中，那么就可以設計一個更簡單的CBRQC協議，從而進一步節省資源。不失一般性，假設U=U1且V=U2，其中：

開始前，Alice、Bob 和Charlie 分享第1 章中所示的五粒子團簇態，具體地，Alice 擁有粒子對(A,A′)，Bob 擁 有 粒 子 對(B,B′)，而 粒 子C 屬 于 監 控 者Charlie。注意Alice 和Bob 的粒子A?和B?分別處于未知態和按照這些要求，協議可以設計如下。

首先，Alice和Bob的操作如下：

（1）Alice 和Bob 分別對各自粒子對(A,A′)和(B,B′)施行兩粒子運算NAA′和NBB′，于是聯合態變成：

（3）根據上述測量結果，Alice對粒子A和A′分別施行Pauli運算σ(0,s)和σ(0,t)，對應地，Bob對粒子B和B′執行Pauli運算σ(0,s)和σ(0,t)。這樣變成：

（4）Alice 和Bob 分別對粒子A′和B施行U1和U2運算，則

其次，Alice、Bob和Charlie需做如下操作：

經過上述測量后，粒子A和B′的態坍塌為：

它正是所需要的。因此，借助五粒子團簇態和經典通信，Alice 和Bob 分別對應算子U1和U2能分別在和上被成功地執行。

注3（1）到目前為此，已經討論了有序算子對(U1,U2)被雙向執行，這里U1和U2分別來自等式（2）和（3）。對于有序算子(U1,U1)、(U2,U1)和(U2,U2)的討論是類似的。

（2）本方案僅用了一個五粒子團簇態作為信道，來自控制者的單向經典信息是1 bit，Alice 和Bob 都需要2 bit經典信息。而在第2章和第3章的每個方案中都需要兩個五粒子團簇態、來自控制者的2 bit 單向經典信息，并且Alice 和Bob 都至少需要經典信息。當然，本章方案的代價是U 和V 的取法必須限制在U1或U2上。

5 討論與結論

從以下四個方面來比較本方案：由經典部分和量子部分組成的資源消耗、必要的操作復雜性（包括難度和強度）、方案成功概率和方案的內在效率。比較本方案的四個方面結果總結在表1 中。任何單量子算子共享方案的內在效率為：

其中，Qt為量子信道的量子位數目，Ct為被傳輸的經典比特數目，P 協議成功的概率。在表1 中，QRC 表示這些方案包含量子資源耗費，NO 表示必要運算，CRC 表示經典資源耗費，C5表示五粒子團簇態，BM 表示Bell態測量，SM 表示單粒子測量，CNOT 表示受控非門，PO表示Pauli算子，S及其帶上下標表示方案。

對于雙向任何單量子算子的傳輸，第一個方案本質上是三個過程的有序結合，即BCQST 和Alice 和Bob 的算子之執行以及重構這三個過程的有序結合。第一個方案中的量子操作復雜性明顯簡化。注意，一般來說，Bell 態測量的復雜性可以分解為一個CNOT 和兩個單量子測量。因此，第一個方案的難度大約等于兩個CNOT、兩個Bell 態測量和六個單量子測量以及四個Pauli 操作。與表中的第二行相比，從第一行可以看出所有這些優勢。顯然，第一個方案比第二個方案（S2）少四個Pauli 操作。但第一個方案的成功概率和內在效率都比第二個方案（S2）小得多。當然，如果通過添加適當的局部幺正運算來修改第一個方案，可以得到與第二個方案（S2）相同的結果。此外，方案S2不能簡單地分解為上述三個過程，這一重要的變化將帶來上述的一些差異。盡管它看起來更復雜，但實際上它提供了資源消耗的上限，并顯示了完成CBRQC任務所需操作的復雜性。具體來說，在方案中，兩個五粒子團簇態和10 bit的經典通信耗費是必不可少的，必要的操作是兩個受控非門、兩個Bell 態測量和六個單量子測量，以及八個Pauli 操作，其內在效率為1/20。

表1 四個方案S1、S2、和S3的比較

表1 四個方案S1、S2、和S3的比較

S U 或VQRCNOCRC/bitP η S1任意2C54BM，2SM，4PO101/41/80 S2任意2C52CNOT，2BM，6SM，8PO101/21/40 S#2U1或U22C52CNOT，2BM，6SM，8PO1011/20 S3U1或U2C52CNOT，5SM，6PO511/10

方案的安全性完全取決于四方或三方是否事先安全地分享了量子糾纏信道。借助于類似任務的成熟檢查策略[32-33]，任何惡意的局外、局內攻擊都很容易被發現（為了簡單起見，這里不再重復），這意味著目前的方案也是絕對安全的。另外，本方案是受控的，這意味著沒有監控者的許可，接受者是不能獨自完成重構工作的，這從另一個角度說明了方案的安全性。

為什么要考慮這種量子通道，以方案3 為例說明這個問題。在CBRQC 方案中，有兩個分別具有算子U 和V 的發送方和一個控制者，從而CBRQC 方案3 應至少有五方（兩個發送方、兩個接收方和一個控制方，以確保雙向傳輸和控制），因此，需要至少一個五粒子糾纏信道來執行該CBRQC 方案。更重要的是，除了團簇態同時具有GHZ 態和W 類糾纏態的性質外，還具有一些獨特的特性，如具有很大的糾纏持久性等。此外，團簇態是基于測量的量子計算的關鍵組成部分，并已提出了這種態的產生與應用[34-35]。顯然，本方案雇傭的局部操作是單量子算子、雙量子受控非門和Bell 態測量等，這些操作在諸如腔QED 系統[36]、離子阱系統[37]、光學系統[38]等都可實現。因此按目前的實驗技術，本方案是完全可行的。

綜上所述，本文結合量子算子遠程執行和雙向受控隱形傳態的思想，提出了四種CBRQC 方案。前兩種方案對于任意的單粒子算子對的傳輸是概率的，而其他方案則是確定性的。然而，經過深入研究發現，如果被傳輸的算子對(U,V)選自限制集，則方案成功概率和效率都可以顯著提高。此外，一些局部操作的減少可能會導致上述兩個指標的大幅減少。從量子和經典資源消耗、必要的操作復雜性、成功概率和效率五個方面對不同情況下的方案進行了具體比較，發現最后一種方案是確定性的，且比其他方案更為優化。此外，指出了本方案是安全可行。