Pythagorean猶豫模糊交叉熵的多屬性決策方法

張俊芳，周熠烜，周禮剛，肖 箭

安徽大學 數學科學學院，合肥230601

1 引言

自Zadeh 首次提出模糊集[1]以來，人們對其進行了廣泛而深入的研究，并提出了一些新的模糊集，例如直覺模糊集[2]、區間直覺模糊集[3]、二型模糊集[3]等。這些研究不僅豐富和發展了模糊集的理論基礎，而且極大地推廣了模糊集的應用范圍，使之能更多地解決實際問題。在此基礎上，Yager[4-5]提出了Pythagorean 模糊集，Torra[6]提出了猶豫模糊集，這兩者均有著各自突出的優點和應用前景，文獻[7]將兩者結合給出了一種新的模糊集——Pythagorean 猶豫模糊集。將此二者相結合不僅擴充了模糊集的理論基礎，而且對實際問題中決策方案的選取也有非常重要的意義。

交叉熵是模糊集理論中的一個重要課題，它是度量兩個系統間差異程度的重要工具。Shannon[8]首先在信息論中引入了交叉熵。Kullback 和Leibler[9]提出了一種交叉熵距離，用于度量兩個概率分布間的距離。Bhan‐dari[10]給出了一種模糊環境下的交叉熵測度。Shang 和Jiang[11]提出了模糊交叉熵，用于度量模糊集間的差異。范建平[12]也提出了一種Pythagorean模糊環境下基于交叉熵和TOPSIS 的多準則決策方法。Vlachos 和Sergia‐dis[13]引入了直覺模糊交叉熵的概念，并且將其應用于模式識別、醫療診斷和圖像分割中。Ye[14-15]提出了一種基于直覺模糊交叉熵的多屬性模糊決策方法，并將其類比到直覺模糊交叉熵中，引入了區間直覺模糊交叉熵的概念。在區間直覺模糊環境下，文獻[16]基于連續有序加權平均算子，定義了一種新的區間直覺模糊交叉熵，并提出了一種基于區間直覺模糊連續交叉熵的多屬性決策方法；文獻[17]考慮到從隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個參數的角度出發，給出反映這些參數的三個因子：直覺因子、模糊因子和跨度因子，基于這三個因子，提出了一種新的區間直接模糊交叉熵的公式。

多屬性群決策問題是決策分析中的一個重要研究方向，它被廣泛應用于解決社會、經濟和管理等眾多問題中。TOPSIS 法是解決多屬性群決策問題的常用方法，其宗旨是用過度量各方案與正負理想點間的差異來計算貼進度，對方案進行排序和擇優。文獻[18]中，Liang和Xu通過定義一種廣義距離公式，計算各方案與正負理想點之間的距離，最后選出最優方案并通過改變參數α的值，證明方案的有效性。

目前，在Pythagorean 猶豫模糊環境下，有關交叉熵的研究還不多。首先本文給出Pythagorean 猶豫模糊交叉熵概念，并提出一種基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的多屬性群決策方法。最后將新方法應用到光伏電站選址問題中，驗證該決策方法的可行性和有效性。

2 基本概念

定義1[7]設X 為論域，則稱三元組A=為Pythagorean 猶 豫 模 糊集（簡記PHFS），其中MA(x),NA(x)均為[0,1]上的非空有限集合，分別表示元素x屬于A所有可能的隸屬度和所有可能非隸屬度集合，且對任意的x ∈X，滿 足

由于在Pythagorean猶豫模糊環境下，決策者們對某些領域認知的差異，對于他們所給出的幾個Pythagorean猶豫模糊數會出現隸屬度集合和非隸屬度集合長度不等的情況，基于此，Liang 和Xu 采用如下擴充方法解決上述長度不等的問題，具體如下。

定義2[18]設為決策者的風險偏好參數，則稱為可添隸屬 度，為 可 添 非 隸 屬 度，其 中，，分別表示隸屬度集合Mα中 的 最 大 元 和 最 小 元；分別表示非隸屬集合Nα中的最大元和最小元。

由文獻[18]可知，ξ 的取值不同，可添的隸屬度和非隸屬將會隨之變化。ξ 的取值越接近1，表明決策者越樂觀；相反，ξ 的取值越接近0，表明決策者越悲觀；當ξ=0.5時，表明決策者是中立的。

3 Pythagorean猶豫模糊交叉熵

下面定義一種Pythagorean猶豫模糊交叉熵。

定義3 設向量α=(α1,α2,…,αn)，αi均為Pythagorean猶豫模糊數，則稱α為Pythagorean猶豫模糊向量。

（1）0 ≤CE(α,β)≤n ln 2；

（2）CE(α,β)=0當且僅當α=β。

4 基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的屬性權重和專家權重的方法

在決策者lk下，與其他決策者給出的方案評價值之間的平均交叉熵為：

根據交叉熵理論得，在決策者lk下，各屬性下方案評價值之間的交叉熵越大，該決策者給出的決策信息量就越多，決策者應被賦予的權重lk就越大。則決策者的權重可通過以下方法確實其權重lk：

在屬性cq下，方案xp與其他所有方案的平均對稱交叉熵為：

根據交叉熵理論得，在屬性cq下，所有方案在這一屬性下綜合對稱交叉熵越大，則該屬性提供給決策者的信息量就越多，屬性cq應被賦予的權重就越大。

若屬性權重wq完全未知，則可由式（6）計算屬性權重cq的權重：

若屬性權重wq部分已知，令H 表示未知權重滿足的條件集合。并構建如下模型求解屬性權重：

5 基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的多屬性群決策方法

本文運用TOPSIS 法的思想，基于Pythagorean猶豫模糊交叉熵，提出了一種新的基于Theil 不等系數距離的多屬性群決策方法。

這里，經定義2 規范化處理后#M=#Mα=#Mβ，#N=#Nα=#Nβ。

在Pythagorean猶豫模糊環境下根據TOPSIS 原理，定義Pythagorean猶豫模糊正理想點（PIS）和Pythagorean猶豫模糊負理想點（NIS）。其原理是找出最優方案和最差方案，及為正理想點和負理想點。該方法主要是通過計算方案距離正理想點和負理想點之間的距離，之后再通過計算貼進度，對方案進行排序和擇優。

方案xp與負理想點加權的基于Theil不等系數距離為：

其中，wq為屬性cq的權重。

方案xp的貼進度可表示為：

貼進度TJp越大，說明方案xp越好。

在Pythagorean猶豫模糊環境下，本文在Pythagorean猶豫模糊交叉熵以及基于Theil不等系數距離的TOPSIS法的基礎上提出的多屬性群決策方法具體步驟如下：

步驟1 運用定義4 中的方法，對t 個決策者給出的決策矩陣進行規范化處理，規范化后的矩陣為

步驟2 確定專家權重L=(l1,l2,…,lt)。根據專家們提 供 的 Pythagorean 猶 豫 模 糊 決 策 矩 陣，利用公式（2）、（3），計算專家權重。

步驟3 確定屬性權重W=(w1,w2,…,wn)。當屬性權重完全未知時，利用式（6）計算屬性權重；當屬性權重部分已知時，利用式（7）計算屬性權重。

步驟4 利用加權平均算子和式（9）、（10）計算各方案與正負理想點的加權Theil不等系數距離。

步驟5 計算貼進度。利用式（11）計算各方案的貼進度，并對其進行降序排列。

步驟6 排序擇優。對方案進行排序，并選出最優方案。

6 案例分析

近年來，在太陽能大規模開發利用下，我國光伏電站建設項目蓬勃發展。光伏電站選址[20]是光伏電站建設的首要工作，這項工作將直接影響到光伏電站的經濟效益和社會效益。所以在指標選取的過程中，一要滿足光伏電站的基本要求，遵循國家產業政策及地區發展規劃；二要全面考慮選址相關的影響因素；三要選取重要指標，使得選擇的指標具有代表性?？茖W的光伏電站選址決策方法將對光伏電站的良性發展起到促進作用。

現考慮一個關于光伏電站選址的多屬性群決策問題。某公司準備投資建設一光伏電站，現有四個地區x1,x2,x3,x4備選，現在三位高層（決策者）d1,d2,d3從統籌性、適應性、經濟性、環保性、高效性等原則出發，從以下三個角度（準則）c1,c2,c3對這四個地區進行評價：c1：政策條件，主要體現在政府的補貼、稅收優惠和上網電價補助等方面；c2：建設條件，主要體現在開發規模、送出條件及土地性質等方面；c3：上網電量，主要體現在光照資源、系統轉換效率及限電比例等方面。設決策者的的權重向量為：L={0.3,0.5,0.2}，第k 個決策者給出的Pythagorean 猶豫模糊矩陣為R(k)(k=1,2,3)如下：

表1 計算各專家間的Pythagorean猶豫模糊交叉熵

步驟1 運用定義 2 中的方法，對矩陣(k=1,2,3)作規范化處理(ξ=0.5)。

步驟2 運用式（2）計算Pythagorean 猶豫模糊交叉熵得到表1。

步驟3 運用式（3）計算專家權重得：

步驟4 運用式（5）計算,(k=1,2,3)的Pythagorean猶豫模糊交叉熵矩陣CE(R?)3×3：

步驟5 因屬性完全未知，則利用式（6）計算屬性權重得：

步驟6 利用式（9）、（10）計算方案xp與正負理想點的加權Theil 不等系數距離，得到表2，其中正負理想點分別為：

表2 各方案與正負理想點加權的基于Theil不等系數距離

表3 各方案的貼近度

步驟7 利用式（11）計算方案xp的貼進度TJp，得到表3。

表4 各方案與正負理想點的加權距離

步驟8 排序擇優。

表5 各方案的貼近度

由表 3 可得，方案的貼近度排序為：TJ3＞TJ1＞TJ4＞TJ2，說明方案3 最優，即應在地區x3設立光伏電站。

下面將本文的基于Theil 不等系數的距離公式與現有文獻[18]中的距離公式進行比較，當α=2時，各方案與正負理想點的加權距離如表4所示。

基于以上加權距離可得各方案的貼近度如表5。

由表 5 所知，方案的貼近度排序為：TJ3＞TJ1＞TJ4＞TJ2，可得方案3 最優，即應在地區x3處設立光伏電站，說明本文提到的方法是可行且有效的。

7 結束語

本文針對屬性權重完全未知情況下的模糊多屬性群決策問題，提出了一種基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的多屬性群決策方法。通過應用交叉熵對同一決策者及同一屬性下方案的Pythagorean 猶豫模糊矩陣進行分析，得到基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的專家權重和屬性權重；之后結合提出的基于Theil 不等系數的距離公式，逐步對決策者給出的信息進行集結；最后，運用TOPSIS 法求得個各方案的貼近度，并對各個方案的最終決策結果進行排序和擇優。最后以光伏電站選址項目為背景，實例論證了本文提出的Pythag‐orean 猶豫模糊交叉熵的多屬性群決策方法是可行且有效的。

未來，Pythagorean 猶豫模糊交叉熵也將被運用到模式識別、醫療診斷、不確定性決策問題當中。對于Pythagorean猶豫模糊交叉熵概念的界定、計算公式的構造方法仍有許多極具挑戰性的地方，如何規范Pythago‐rean 猶豫模糊交叉熵的概念，使之更符合實際意義是下一步的研究方向。在規范的Pythagorean 猶豫模糊交叉熵定義下，構造簡潔、全面并合理有效的計算公式也是今后的研究難點。