再談“弧度制”教學(xué)

石志群

筆者在1994 年曾經(jīng)寫(xiě)過(guò)一篇關(guān)于“弧度制”教學(xué)的文章，提出了一個(gè)弧度制教學(xué)的建議，現(xiàn)在想來(lái)，還是存在一些問(wèn)題，而且是比較重要的問(wèn)題。下面是筆者經(jīng)過(guò)多年的學(xué)習(xí)和研究后的一點(diǎn)體會(huì)。

一、對(duì)“角度制”的認(rèn)識(shí)

角度制是一種常用的角的度量制，究其原因，可能與其產(chǎn)生的背景有一定關(guān)系。據(jù)查相關(guān)數(shù)學(xué)史料，角度制起源于古巴比倫，可能與歷法有關(guān)。我國(guó)數(shù)學(xué)史專家李文林認(rèn)為，取圓周的三百六十分之一弧所對(duì)圓心角為角度制的單位（1°）的原因可能是因?yàn)椤?60”的因子較多，便于細(xì)分，其中角度制的進(jìn)位標(biāo)準(zhǔn)“60”就是其因子之一。

應(yīng)該說(shuō)，角度制能夠解決與角有關(guān)的很多問(wèn)題，這種制度已經(jīng)深入我們生活的方方面面，以否定角度制的價(jià)值作為引入弧度制的理由是不恰當(dāng)?shù)摹２粌H如此，角度制反而是引入弧度時(shí)說(shuō)明其合理性的理論依據(jù)，是思維的基礎(chǔ)，并且通過(guò)角度制與弧度制的互化，也可以進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)弧度制的認(rèn)識(shí)與認(rèn)同。

二、為什么要引入“弧度制”

首先，作為度量制，本身就應(yīng)該是豐富多樣的，以適應(yīng)不同狀態(tài)下使用的方便。比如，長(zhǎng)度的單位有毫米、厘米、分米、米和公里，這是現(xiàn)實(shí)生活中常用的長(zhǎng)度單位；而在微觀世界，卻需要納米這樣的長(zhǎng)度單位，在天文學(xué)中又需要光年作為度量距離的單位。因此，在角的度量方面也需要不同的度量制，以適應(yīng)不同狀態(tài)下的使用便利。事實(shí)上，度量角的制度并不是只有角度制和弧度制兩種，比如密位制、百分制都是角的度量制度。

其次，在弧度制下，許多數(shù)學(xué)結(jié)論的結(jié)構(gòu)形式顯得非常簡(jiǎn)單，而在角度制下卻比較復(fù)雜，而且從推導(dǎo)過(guò)程看，前者也比后者要容易得多。比如，在弧度制下，我們有下面的結(jié)論：

而在角度制下，對(duì)應(yīng)的關(guān)系是

而像sinx，cosx 等三角函數(shù)的泰勒展開(kāi)的級(jí)數(shù)表示式，角度制下的形式比弧度制的形式更加復(fù)雜，推導(dǎo)的難度也更大。

出現(xiàn)上述區(qū)別的原因就在于，在兩種不同的度量制下，式子中出現(xiàn)的不同量的量綱的差異。在角度制下，角的量值的進(jìn)位制為60 進(jìn)位，圓的半徑、弧長(zhǎng)的量值是實(shí)數(shù)，其進(jìn)位制為十進(jìn)位。而“統(tǒng)一”是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本審美追求，這也成為引入弧度制的一個(gè)重要的依據(jù)。

三、“弧度制”的教學(xué)定位

“弧度制”作為“三角函數(shù)”一章的組成部分，其教學(xué)定位取決于它在章節(jié)中的功能、目的（價(jià)值）。

如果從量綱考慮，這些式子中表示角的大小的α 在角度制下為60 進(jìn)位，而實(shí)數(shù)x，y，r 卻以10 進(jìn)位，不同的進(jìn)位顯然不利于數(shù)學(xué)的研究。而作為函數(shù)，是在數(shù)集之間建立的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將角度制下的自變量α 作為函數(shù)研究必然遇到麻煩。因此，“弧度制”一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)定位應(yīng)該是“建立一種角的度量制，將表示角的大小的值‘?dāng)?shù)量化’（變成十進(jìn)制）”。

四、“弧度制”的認(rèn)知難點(diǎn)

“弧度制”經(jīng)常被一些教師稱為“糊涂制”，就是指學(xué)習(xí)的認(rèn)知難度比較大，學(xué)生常不知其所以然。筆者經(jīng)過(guò)多年觀察和分析后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的認(rèn)知困難主要有以下幾個(gè)方面：

一是與已有的度量制的習(xí)慣不一致而導(dǎo)致認(rèn)知困難。長(zhǎng)度、質(zhì)量等度量制是學(xué)生比較熟悉的，而這些量的度量體制有一個(gè)共同特點(diǎn)，就是用“自己”度量“自己”，即用長(zhǎng)度度量長(zhǎng)度、用質(zhì)量度量質(zhì)量。具體地說(shuō)，用一個(gè)長(zhǎng)度作為度量單位，在度量時(shí)以其為基礎(chǔ)進(jìn)行“整除”，對(duì)于余數(shù)，再用單位的十分之一進(jìn)行“整除”，……如此下去。角度制盡管不是十進(jìn)制的，但其仍是用“自己”度量“自己”的定義方式，學(xué)生容易理解，但是，弧度制卻是用“長(zhǎng)度”度量“角”（單位圓時(shí)，即弧長(zhǎng)），這是學(xué)生第一次接觸到這樣的定義方式，認(rèn)知有困難是可以理解的。

二是角度制是用一個(gè)確定的“單位”（1°的角）進(jìn)行度量，容量理解，而弧度制中對(duì)不同的圓，度量的直觀意義不明顯，學(xué)生有一種半徑大小不同，度量的單位就不一樣的感覺(jué)，從而覺(jué)得弧度制下好像沒(méi)有“單位”一樣，由此產(chǎn)生困惑。

三是學(xué)生不理解為什么要引進(jìn)弧度制，因?yàn)樗暮锰帲▋?yōu)點(diǎn)）要在學(xué)習(xí)過(guò)微積分等內(nèi)容后才能體現(xiàn)出來(lái)，現(xiàn)在教學(xué)中教師通常由弧長(zhǎng)與半徑之比只與圓心角的大小有關(guān)就直接下定義，學(xué)生產(chǎn)生疑問(wèn)：為什么可以用這個(gè)比表示大小就一定要建立一種新的度量制呢？?jī)?yōu)越性、必要性沒(méi)能體現(xiàn)，學(xué)生對(duì)弧度制有一種不太愿意接受的抗拒心理。

五、怎樣自然地引入“弧度制”

在《從“弧度制”一課談概念課教學(xué)原則的實(shí)施》一文中，筆者是在復(fù)習(xí)角度制（角度制的建構(gòu)方法與過(guò)程）的基礎(chǔ)上，由學(xué)生熟悉的圓周率發(fā)現(xiàn)“圓的周長(zhǎng)與半徑之比為常數(shù)”，進(jìn)而推出“周角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與圓的半徑之比為常數(shù)”的結(jié)論，再提出一般性的問(wèn)題：對(duì)一個(gè)確定的圓心角，其弧長(zhǎng)與半徑之比是否為定值？通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)確有此結(jié)論，從而為引入弧度制建立了理論基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上提出問(wèn)題：能否根據(jù)這一性質(zhì)，建立一種新的度量角的“制度”。現(xiàn)在想來(lái)，這個(gè)方案還是沒(méi)有解決“為什么要建立弧度制”這個(gè)非常重要的問(wèn)題。

筆者在蘇教版高中數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)過(guò)程中，受到教材組專家們的啟發(fā)，對(duì)“三角函數(shù)”一章的內(nèi)容，特別是弧度制這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，得出了上文中的一些認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：既然三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，其反映的其實(shí)是α，r，x，y 之間的關(guān)系，那么現(xiàn)在要解決的問(wèn)題其實(shí)就是如何在“構(gòu)建刻畫(huà)周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”這個(gè)大的框架下，明確弧度制在其中的地位和作用，明確其與三角函數(shù)概念建構(gòu)之間的內(nèi)在聯(lián)系，換言之也就是將與α大小有關(guān)的量弧長(zhǎng)l 也放到與α，r，x，y 一致的位置，探尋它們之間的關(guān)系。這就是蘇教版教材“三角函數(shù)”一章章首語(yǔ)的內(nèi)容：周期現(xiàn)象→圓周上一點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)→點(diǎn)P 的數(shù)學(xué)刻畫(huà)→α，r，l，x，y 之間有著怎樣的關(guān)系？由此得到本章的研究路徑：任意角（要能“周而復(fù)始”，角的概念就要推廣）→弧度制（α，r，l 之間有著怎樣的關(guān)系，角的度量要實(shí)數(shù)化）→三角函數(shù)的概念（α，r，x，y 之間有著怎樣的關(guān)系，由α 為銳角時(shí)想到了三角函數(shù)，從而推廣到任意角的情形，得到刻畫(huà)周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型）→這個(gè)模型是如何刻畫(huà)周期現(xiàn)象的，具有怎樣的性質(zhì)……

再考察第2 節(jié)中所研究的引入弧度制的必要性，抓住兩個(gè)關(guān)系要素——求簡(jiǎn)和求統(tǒng)一，進(jìn)而設(shè)計(jì)出本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程。以下為本節(jié)課的主體部分，供各位同行參考。

1.問(wèn)題情境。

師：在章首語(yǔ)中，為了刻畫(huà)周期現(xiàn)象，我們選擇了最簡(jiǎn)單的原型：圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。為此我們分別用（r，α）、（r，l）（α，l，r 分別為圓心角的大小、所對(duì)弧長(zhǎng)、半徑）及（x，y）來(lái)刻畫(huà)圓周上點(diǎn)的位置（見(jiàn)章首語(yǔ)中圖），并提出了本章初始問(wèn)題：α，l，r，x，y 之間具有怎樣的關(guān)系？

為了刻畫(huà)“點(diǎn)P 在圓周上‘周而復(fù)始’的運(yùn)動(dòng)”，我們對(duì)角的概念進(jìn)行了推廣。今天我們一起來(lái)考察r，l 與α 之間具有怎樣的關(guān)系。

2.數(shù)學(xué)建構(gòu)。

（1）關(guān)系分析。

師：這個(gè)式子反映了r，l 與α 之間的何種關(guān)系？

由學(xué)生探求。

（2）建構(gòu)新知。

由學(xué)生根據(jù)推導(dǎo)過(guò)程發(fā)現(xiàn)：系數(shù)中的“360”是由角度制的單位的選定所決定的。

（板書(shū)：角度制下，關(guān)系比較繁）

師：在這個(gè)式子中，弧長(zhǎng)、半徑都是實(shí)數(shù)，它們是多少進(jìn)位制？圓心角α 是多少進(jìn)位制？

……

師：這說(shuō)明，在角度制下r，l 與α 之間不僅關(guān)系繁，而且進(jìn)位制也不一樣。

（板書(shū)：α 與l，r 的進(jìn)位制不同）

師：那么，能否建立一種新的角的度量制度，使得r，l 與α 之間的關(guān)系顯得更加簡(jiǎn)單，而且三個(gè)量的進(jìn)位制又得到統(tǒng)一呢？如何使得關(guān)系“簡(jiǎn)單”？

師：如果這樣定義，這個(gè)角的度量制度的單位是什么？

由學(xué)生獨(dú)立思考，完成建構(gòu)。

師：角度和弧度都可以表示角的大小，那么它們之間有著怎樣的關(guān)系呢？比如：60°的角是多少弧度呢？1°的角是多少弧度？1 弧度是多少度？-60°是多少弧度？……

（完成弧度制的完整概念）

學(xué)生獨(dú)立完成后，說(shuō)明：較角度制，這兩個(gè)公式均顯得簡(jiǎn)單，弧度制確定起到了化繁為簡(jiǎn)的作用。那么：

師：弧度制下，α 與r，l 進(jìn)位制是否統(tǒng)一？

由學(xué)生思考，可以發(fā)現(xiàn)，進(jìn)位制統(tǒng)一了。

師：這里，r，l 分別表示線段與弧的長(zhǎng)度，請(qǐng)大家思考一下，是否存在某個(gè)特殊的圓，使得圓心角的弧度數(shù)也是某線段或弧的長(zhǎng)度呢？

教師基于學(xué)生的討論，構(gòu)建圖1。

通過(guò)單位圓及圖1，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：角的概念推廣以后，在弧度制下，角的集合與弧度數(shù)的集合之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即角的集合與實(shí)數(shù)集R 之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)角都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)角。通過(guò)圖1，讓學(xué)生建立弧度制下的“角”的大小的“實(shí)像”——單位圓上對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)——這對(duì)克服認(rèn)知困難有一定的幫助。

上述過(guò)程，以“使角的度量值為十進(jìn)制的實(shí)數(shù)”為目標(biāo)，以求簡(jiǎn)和求統(tǒng)一的數(shù)學(xué)審美觀為導(dǎo)向，以學(xué)生為建構(gòu)的主體，將“弧度制”一節(jié)的內(nèi)容置于全章的統(tǒng)一框架下，不僅使本節(jié)課的內(nèi)容構(gòu)成一個(gè)完整有機(jī)整體，而且凸顯了單元的整體結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生從整體中感受到“弧度制”在“三角函數(shù)”一章中的奠基作用。