線電荷與帶有低脊的接地導(dǎo)體薄圓筒所形成的電場及其數(shù)值模擬（上）

王福謙

（西南交通大學(xué)希望學(xué)院，成都610400）

0 引 言

文獻(xiàn)［1-8］中分別運用鏡像法和保角變換分析了接地薄圓筒內(nèi)線電荷的電場，而線電荷與帶有低脊的接地導(dǎo)體薄圓筒所形成的電場的研究，相關(guān)文獻(xiàn)還未見報道。為此，本文擬通過保角變換討論線電荷與帶有低脊的接地導(dǎo)體薄圓筒所形成的電場，給出其電勢分布函數(shù)，并利用數(shù)學(xué)軟件Matlab對場分布進(jìn)行數(shù)值模擬，繪制出電場線和等勢線（面）圖。

1 電勢分布

圖1 帶有低脊的薄圓筒與線電荷的橫截面

圖2 變換后的薄圓筒與線電荷的橫截面

為計算簡便計，本文具體計算線電荷與帶有一條低脊接地導(dǎo)體薄圓筒所形成的電場（圖略），即低脊的數(shù)目n＝1，與此相應(yīng)的變換函數(shù)式（1）可寫為：

上式將z平面上線電荷的位置的z0＝x0＋jy0，變換為w平面上的w0位置，該位置由式（2）給出：

再作將單位圓變換為單位圓并把荷電線所在位置變換在圓心的分式線性變換［10］

經(jīng)此變換后，帶有一條低脊接地導(dǎo)體薄圓筒的橫截面在ζ平面上的形狀映射為圓形，且荷電線位于圓心上，如圖3所示。

圖3 再變換后的薄圓筒與線電荷的橫截面

對與圖3對應(yīng)的無限長的圓柱形區(qū)域，電場的分布具有軸對稱性，而在ζ平面上r＝1的圓周上各點的電勢均為零（因在z平面上圓筒接地）。由此可得該區(qū)域內(nèi)的電勢分布為：

式中，r為觀察點到ζ平面原點的距離。由ln（ρeiφ）＝ln ρ＋ iφ 知，ln＝ln r，則可知ζ 平面上靜電場的復(fù)勢為：

設(shè)復(fù)函數(shù)z＝x＋iy，則ζ（z）＝ ξ（x，y）＋ iη（x，y），由式（2）、（3）得

由式（7），該靜電場的復(fù)勢式（6）可表示為：

式（9）為線電荷與帶有一條低脊的接地導(dǎo)體薄圓筒所形成電場的電勢分布解析式。

2 場分布的數(shù)值模擬

為了給出線電荷與帶有一條或多條低脊的接地薄圓筒導(dǎo)體所形成電場的電場分布直觀圖像，并檢驗本文研究結(jié)果的正確性，下面通過式（1）、（3）及（8），利用數(shù)學(xué)軟件Matlab［12-16］繪制出的線電荷與帶有低脊的接地薄圓筒導(dǎo)體所形成電場的電場線等勢線（面）圖。

圖4～7為接地導(dǎo)體薄圓筒內(nèi)低脊的數(shù)目分別為1、3、4和5時，線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場的電場線等勢線（面）圖。由圖可見，圓筒內(nèi)表面上的低脊的數(shù)目越多，高度越大，對電場的影響越大；電場線垂直于導(dǎo)體表面和等勢線；以上的場線分布特征均科學(xué)合理［12］，為預(yù)期結(jié)果，這說明本文的研究方法正確，結(jié)論可靠。應(yīng)該注意的是，變換函數(shù)式（1）僅適用于低脊的間距較大且其高度很小的情形，當(dāng)?shù)图沟臄?shù)目過多，以至于相鄰低脊間的距離很小，或低脊的高度較大時，均不能應(yīng)用本文給出的方法進(jìn)行研究，也即，本文的研究方法僅適合于低脊的間距較大且高度很小的情形。特別的是，當(dāng)?shù)图瓜r，其內(nèi)部的電場分布又回到線電荷與接地薄圓筒所形成電場的情形［3］（見圖8）。

圖4 線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場（λ＝2.6 C／m，x0＝0.2 m，y0＝0.5 m，a ＝0.1 m）

圖5 線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場（λ＝2.5 C／m，x0＝0.2 m，y0＝ -0.15 m，a＝0.1 m）

圖6 線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場（λ ＝ 1.5 C／m，x0＝ -0.1 m，y0＝0.2 m，a＝0.08 m）

圖7 線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場（λ ＝2.5 C／m，x0＝0.2 m，y0＝0.25 m，a＝0.085 m）

圖8 線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場（λ ＝2.5 C／m，x0＝ -0.3 m，y0＝ -0.4 m，a ＝0）

3 結(jié) 語

本文將理論分析與計算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，研究了線電荷與帶有低脊的接地薄導(dǎo)體圓筒所形成的電場，給出其電勢及場強(qiáng)分布的解析解，并利用Matlab軟件對其進(jìn)行數(shù)值模擬，實現(xiàn)了場分布的可視化，為邊界復(fù)雜的靜電場邊值問題的求解提供了一種思路與方法，可供電線電纜中相關(guān)問題的研究借鑒和參考。