數學的本質在于它的自由

姜楚華 胡小英

2019年11月18日，宜昌市五峰縣漁洋關鎮小學數學老師伍愈文一路過關斬將，闖入湖北教育第一屆“教研名師”評選復賽現場，主講了《分數的初步認識》。她將古詩詞、數學文化歷史等巧妙地與學科教學相融合，引導學生在想一想、折一折、畫一畫、說一說的過程中深度思考、充分表達，讓學生在自然而然的狀態下理解了分數的本質，提升了數學思維能力。憑借完美的表現，伍愈文收獲了“湖北教育第一屆‘教研名師”的殊榮。

“數學的本質在于它的自由。”比賽結束后，伍愈文用這句話分享自己對數學的認識。“這句話不是我說的，”看著大家略顯疑惑的眼神，她粲然一笑，“是德國數學家、集合論創始人康托爾的名言，但我一直在嘗試著理解數學家的思想，并把它們化成教學實踐。”

用事業的心態，精心經營職業

伍愈文入職時并不教數學。用她的話說，她教數學是“半路出家”。1992年，伍愈文從枝城師范畢業后被分配到五峰縣實驗小學，教語文。2002年初，一位同事因事請假，她被臨時調劑到數學崗位。這年10月，宜昌市舉行小學數學課堂教學競賽，她脫穎而出，“意外地”獲得了全市一等獎。這次“意外”徹底改變了她的學科方向，一顆數學“新星”即將在五峰的土地上冉冉升起。

對于小學數學課堂教學的認識，伍愈文經歷了艱難的求索過程。

最初，伍愈文認為小學數學教學的要義是“理解”。這種認識，源于她聽過的一節公開課。這節課的教學內容是“18÷6”。課堂上，執教老師告訴學生，“18÷6=3”，商應寫在個位上。“為什么一定要寫在個位上呢？”一名男生迷惑地問。“有18個蘋果，每盤裝6個，需要3個盤子。3是個位上的數，所以寫在個位上。”教師指著教材上的插圖，再次耐心地講解，然后進入下一個教學環節。然而，后半節課，這名男生一直雙眉緊蹙，顯出迷茫的神態。下課后，伍愈文走到男生身邊，問他是不是還沒想明白。男生點點頭。伍愈文在草稿紙上畫出一個簡易計數器，讓他先表示出18，然后按6個一份的方式進行平均分。僅僅分出一個6，男生就發現只有把1個10轉換成10個1才能繼續平均分，而10個1和1個8合起來是18個1，所以商要寫在個位上。這個場景不止一次出現在伍愈文眼前，讓她意識到，如果教師忽視過程的引導，只告訴學生固定的結論，學生就不能真正理解知識，而這樣的教學是低效甚至無效的。

有了這樣的認識，伍愈文在設計、組織教學時，就特別重視“理解的過程”。教學《平行與垂直》時，為了讓學生明白“互相”“相交”的概念，她先通過金箍棒可以無限延長，讓學生進一步感悟直線的特征，然后通過真假美猴王打斗的場面，讓學生體會“互相”是就雙方而言，如果只有一方，就不能稱之為“互相”，而“相交”的概念，學生在真實的場景中，也一看便知了。教學《分一分（二）》時，為了幫助學生認識“多個物體也可以看作單位1”，她開課時就創設小明在家招待好朋友的情景，讓學生把一大一小兩個蘋果平均分給兩個朋友。學生結合生活經驗，很容易想到每人分得每個蘋果的二分之一，從而初步建立了“多個物體也可以看作單位1”的認知。類似的教學，學生很感興趣，記憶得也牢固。這讓伍愈文意識到，小學生尤其是低年級學生以感性思維為主，對于一些抽象性的知識，教師創設適當的情景讓學生切身感受、體驗、探究，學生對知識的理解就會更加透徹。圍繞這樣的思想，伍愈文構建出一套行之有效的“明理教學”策略。其結晶是，2006年，她參加湖北省小學數學優質課競賽，執教的《統計》獲得一等獎。

憑借著對數學教學的獨到認識和自主構建的教學策略，伍愈文在行業內的影響越來越大，各級各類賽課的賽場上、各級各類專業刊物上、送教下鄉的隊伍中、專業培訓的講臺上，乃至電視中，經常能看到她的身影。忙碌讓她感到充實，然而閑暇時，她總是感覺到，自己的教學思想和教學形態仍有提升空間，但從哪里入手，她理不清頭緒，找不到方向。轉機出現在2017年。那年12月，伍愈文經過層層選拔，成為新世紀小學數學第五屆高研班學員。兩年的研修中，她在北師大版數學教材主編劉堅、孔企平等人的指導下，深入開展了“基于二年級學生位值系統理解現狀的教學策略研究”。這次研究讓她幡然醒悟，她面臨的問題是，這么多年一直是以“教書”的心態，而不是以“研究者”的心態在做教學工作。以研究者的心態審視自己，伍愈文發現，僅僅讓學生感受、體驗、探究是不夠的，應該讓學生自主尋找材料、自主設計方案、自主開展探究、自主發現問題并找到解決方案。唯有如此，才能讓學生在理解知識的同時，獲取數學智慧。圍繞這樣的認識，伍愈文在“明理教學”策略的基礎上，正式提出了“睿理數學”教學思想。

思維的深度，決定行動的高度

睿理數學的“理”包含三層意思：理解，理順，理用。

理解針對的是某個單一的知識點。學生在教師的引導下，通過自主學習真正懂得了知識發生的過程及結果，就是理解。理順針對的是知識鏈。任何一個知識點都不會孤立地存在，尤其是數學知識，知識點與知識點之間的聯系非常緊密，相互構成一個知識鏈。學生只有建立起某類知識的知識鏈，才能深入理解相關的知識點。理用強調一個“用”字。明代著名教育家王守仁說：“知是行之始，行是知之成。”數學學習也是這樣，將學習到的知識運用于實踐，會加深學生對知識的理解。三者之間是螺旋上升的關系——理解是基礎性要求，理順是系統認識，理用是綜合實踐。數學教學中，針對某一類知識，教師要盡可能地引導學生完整地經歷這樣一段學習歷程。

如何實現呢？伍愈文認為，教師要訓練宏觀把握教材、解讀教材的能力。數學教材對知識的呈現遵循著“循序漸進、螺旋上升”的原則。教師研讀教材時，不能只局限于某課、某單元、某冊、某年級、某學段，甚至于小學數學教師不能只關注小學階段的教材編排，至少要把義務教育階段的教材作為一個整體，宏觀地進行審視。只有這樣，才能清晰地看出某類知識在這個階段教學的上限與下限，進而準確地確定它在某節課中的位置。

思維的深度決定行動的高度。伍愈文的課堂上，知識的出現從來不顯得“突兀”。學生楊覃杰對此深有感觸：聽伍老師的課，我們能清晰地知道所學的知識“從哪里來”“到哪里去”，所以學起來心里“特有底”“特輕松”。雖然時間已經過去了很久，但楊覃杰仍然清楚地記得上《數的認識》這節課時的情景。一上課，伍老師就給大家出示了一段文字：

五峰是中國名茶之鄉，山地氣候顯著，年最低氣溫-4℃左右，近[12]的耕地種茶，茶園總面積達1.3萬畝。陽春三月，大大小小的茶寶寶在五峰的山間地頭翩翩起舞。劉奶奶聘請了4位采茶人，與他們的約定是賣茶收入各得50%。一天下來，張阿姨采了1斤，采得最多;王爺爺只有0.5斤，采得最少。

大家自主地找出這段文字中的數字，將其分成“整數、分數、小數”三類。伍老師先通過數直線，讓大家清晰地看到整數包括“負整數、0、正整數”;接著借助[12]、50%、0.5，讓大家發現“分數是小數的特殊形式”，進而將“數”細分為正整數、正分數、0、負整數、負分數;然后通過動手測量同桌的身高、展示課外搜集到的負數、小數等，感受這些知識在生活中的廣泛應用;最后通過動畫“數的產生”，讓大家明白負數產生的原因以及在生活中的運用。

短短40分鐘，學生對“數”的來龍去脈及整體構成形成了系統性的認識，而教師在其中只起到了“穿針引線”的作用。這樣的課收放自如，堪稱“大氣”！五峰縣中小學教研培訓中心主任許海蓉如是評價。“大氣”是對伍愈文多年來孜孜以求所取得的成就的贊譽，也是對她的課堂教學風格的中肯評價。

只要存乎一心，世上沒有到達不了的路

睿理數學的“睿”包含四層意思：睿思，睿問，睿行，睿智。四者之中，前三個方面是具體的表現形式，第四個方面是教學的終極目的。就“睿”和“理”兩方面而言，“理”是具體的表現形式，“睿”是教學的終極目的。“睿”是“理”的上位概念，指向學生的數學核心素養。學生經過一個階段的數學學習，只有達到了“睿”的層次，才算得上進行了真正意義的數學學習。這正是伍愈文“睿理數學”的內涵，也是她多年的教學理想和追求。

通向“睿”的路有很多條，伍愈文更看重的是“自由”——教師的自由，學生的自由。

伍愈文教學的“大氣”，除上文提到的方面之外，還有一種表現：無論哪個級別的競賽課、展示課，她的教案都簡簡單單，既沒有寫出對學生各種表現的預測，也沒有寫出相應的處理方案。2018年12月，她參加全國教育系統教育教學成果優質課競賽，教學內容是上文提到的《分一分（二）》。同事們看到她提交的教案時，都替她捏了一把汗，只有校長尹開海不急不躁，一副胸有成竹的神態，因為他知道，伍愈文已經把各種預案都“裝在了心里”。結果不出所料，伍愈文順利捧回了一等獎。伍愈文并不反對教學前要盡可能地把教學預案做詳細，但她同時認為，學生是充滿生機的“生命個體”，即使教師課前預設得再充分，教學過程中仍然可能出現意料之外的情形，所以教師不能讓預設的“筐子”束縛了自己的手腳，而要因時而動、因事而變，以不變應萬變，這樣才能在課堂上“揮灑自如”，讓學生得到最大程度的發展。

在伍愈文的課堂上，學生的身心都是自由的。《分一分（二）》這節課，在學生對“多個物體也可以看作整體1”有了初步認識后，伍愈文把教學推進一步：吃完蘋果，小朋友們都來了，小明拿出一盒漂亮的蛋糕（盒子里裝著9個小蛋糕，藍色的5個，黃色的4個）招待大家。你能從中找到哪個分數呢？學生正確地找出兩個分數、愉悅地品嘗完蛋糕后，伍愈文指著空盒子問大家：里面還能不能裝其他東西、能裝多少;如果不用這個盒子，剛才所說的東西能不能裝到其他地方。在問題的引導下，學生的思維局限被突破，對“整體1”有了更準確的認識。最后，她通過生活中、教室里的隨機情景，讓學生深入地理解了知識點，達成了教學目標。

數學來源于生活，剝離了生活情境，讓學生“干巴巴”地學數學，這樣的教學是無趣的，學生不可能在數學的海洋里自由遨游，獲得身體上和心靈上的愉悅。伍愈文說：數學是人類發現的最美妙的藝術之一。形式的美、應用的美顯而易見，思想上的美更令人神往——人類腳步到達不了的地方，數學卻可以到達，而且到達的方式不止一種，這或許正是“數學的本質在于它的自由”的真正內涵。

“雖不能至，心向往之！”伍愈文的眼神里寫滿憧憬。誰說“不能至”呢？只要存乎一心，世上本沒有到達不了的路，伍愈文分明已走在了通往“自由”的路上，而且一定會越走越遠。

責任編輯 姜楚華