淺析基于小波包變換的時變系統振動頻率參數識別

摘 要 本文以小波包變換為基礎，提出一種自適應地提取非平穩振動信號瞬時頻率的方法。首先提取小波包時頻塊中的有效成分，用Hilbert變換進一步求出有效時頻塊內的瞬時頻率，再使用最小二乘法擬合出一條近似的時頻函數，以該時頻函數為廣義解調的相位函數，多次迭代下，將非平穩信號逐步轉化為近似平穩信號。對于平穩信號與近似平穩信號，每一個小波包分解層級上的信號都是窄帶信號甚至是單分量信號，具有較明確的物理意義，可以方便地使用Hilbert變換求出其瞬時頻率。仿真結果證明，該方法可以有效處理頻率變化較快的信號，也適用于處理具有多分量尤其是存在密集模態的振動信號。

關鍵詞 小波包變換;瞬時頻率;時變系統;廣義解調;參數識別

Abstract Based on wavelet packet transform， an adaptive method for extracting the instantaneous frequency of non-stationary vibration signals is proposed. Firstly， the effective components in the time-frequency block of wavelet packet are extracted， and the instantaneous frequency in the effective time-frequency block is further calculated by Hilbert transform. Then an approximate time-frequency function is fitted by the least square method and taking the time-frequency function as the phase function of generalized demodulation. Under multiple iterations， the non-stationary signal will be gradually transformed into approximately stationary signal. For stationary signals and nearly stationary signals， the signals at each wavelet packet decomposition level are narrow-band signals or even signal component signals， which has a clear physical significance. It is very convenient to calculate the instantaneous frequency by using Hilbert transform. The simulation results show that this method can effectively deal with the signal with fast changing frequency， and also can be used to deal with the vibration signal with multi-component， especially with dense mode.

Keywords Wavelet packet transform; Instantaneous frequency; Time-varying system; Generalized demodulation; Parameter identification.

引言

隨著航空航天技術的發展，結構的輕量化、智能化、大型化對結構的時變特性的研究提出了越來越高的要求。時變結構的動力學參數隨時間變化，因而其振動信號是非穩態的，這導致振動信號的頻率隨時間改變，經典的傅里葉變換由于不含有時間信息而失效，此時必須采用具有時頻分析能力的工具[1-2]。

短時傅里葉變換通過引入時間窗的概念，使得自身具備一定的時頻分析能力，但由于窗的大小固定，對不同頻率信號的自適應性較差。小波變換通過改變母小波的尺度因子與平移因子，使得該方法在高頻段具有較好的時間分辨率，在低頻段具有較好的頻率分辨率[3]。小波包變換則繼承小波變換的優點，針對小波分解樹只對低頻信號作進一步分解的缺點，對高頻信號也作進一步的分解，這樣做一方面提高了信號高頻的分辨率，另一方面使得整個小波樹的分辨率保持一致[8-10]。目前小波分析方法已在時變結構的頻率識別中獲得了廣泛的應用。同時該方法也具有一定的缺陷。對于頻率變化緩慢的、各信號分量在頻域相距較遠的信號，小波分析方法可以將某一分量的信號完整地用某一層級的分割來覆蓋，這樣每一層級的分解結果都是一個窄帶信號，具有一定的物理意義[4]。但對于頻率變化較快的信號，單個分解層的子頻帶無法覆蓋信號分量，如果能提取有意義的子時頻塊，或者能夠將快變信號轉化為慢變信號，將極大提高小波變換的分解效果。

本文基于小波包變換對振動信號作分解，依據分解結果的能量、瞬時頻率與幅值，提取有意義的分量，通過最小二乘法預估信號分量的頻率，再通過廣義解調與廣義逆解調，提取信號的頻率，具有較好的頻率識別效果，且具有一定的自適應性和抗噪聲干擾能力。

1小波包變換

小波包變換是小波變換的一種改進，與小波變換相比，小波包變換對小波變換得到的高頻信號作進一步分解，且沒有下采樣過程，這樣做不僅能提高高頻分辨率，也可使得整個分解樹的每一個層級與節點的時間分辨率保持一致。

3廣義解調

廣義解調可以看作是廣義傅里葉變換的另一個解釋。對給定信號，它的廣義傅里葉變換定義為，，其中，是一個關于時間的函數。該式既可以理解為是對的廣義變換，也可以理解成對的傅里葉變換。對作逆廣義傅里葉變換，得到。即：

特殊地，當，那么有，這個式子有著明確的物理意義。假設原信號的瞬時頻率為，由于總可以寫成一個常量和一個變量之和的形式，即，特殊地，當不包含常數項，即所有的常數部分都包含在內。合適的廣義傅里葉變換可以將其相位函數變成平行于時間軸，我們選取的相反數作為廣義解調的相位函數，對原始信號作Hilbert變換變成解析信號，再對解析信號作廣義解調，那么從理論上講，我們得到的信號的頻率為。此時，信號是一個平穩信號，對該信號作小波包分解，那么分解出的結果將具有非常理想的效果。

本文對振動信號采用小波包分解的方法，將原始的振動信號分解到小波樹的時頻塊中，用Hilbert變換計算各個時頻塊中各個信號分量的信號能量與瞬時頻率，通過預先給定的閾值、，提取滿足條件的時頻塊，給定信號頻率的階次，用最小二乘法求得頻率隨時間的變化函數，以作為解調變量，對原始信號作廣義解調，直到小波分解樹在第J層的每一個時間段內都滿足提取條件為止。

具體流程如圖1所示。

4仿真算例

算例1：對于給定的包含密集模態的仿真信號：

仿真信號的頻率是線性變化的，其中，，采樣率250Hz。其原始信號如圖2所示，

直接用小波包分解方法進行分解，不僅需要手動截斷，并且具有較強的端點效應，如圖3所示，

由于兩個分量的頻率在頻域有部分重疊，因而使用小波包分解時，各個信號分量會互相干擾。同時，由于信號的時頻分布本身不平行與時間軸，而在確定的一個小波時頻塊中的小波包的中心頻率是一個確定的值，所以當信號段實際頻率遠離小波中心頻率時，小波包變換不能理想地提取信號特征，這也是端點效應產生的一部分原因。

使用本文所述方法進行分解，取為信號最大幅值平方的10%，取，經過多次迭代得出相位函數為：，與真實的時頻函數接近。頻率提取結果如圖4所示，

通過迭代進行小波包分解，可以保證大部分時候的每一次迭代的相位函數更加接近于真實的時頻分布函數，也使得振動信號的頻率更加平行于時間軸，其非平穩特性降低，而平行于時間軸的平穩信號容易被小波包分解到一個完整的分解層級上，每一層級的信號均為窄帶信號，具有較好的物理意義。除此以外，小波包分解的端點效應也得到了遏制，原因在于對于非平穩信號，端點信號的瞬時頻率距離小波函數的中心頻率距離較遠，小波分解時，端點位置往往不能較好地被投影到小波包空間中，且易受到噪聲的影響;而本文方法是將非平穩信號逐步轉化為平穩信號，不存在端點信號頻率遠離小波中心頻率的問題，因而端點效應得到了遏制。

算例2： 對于一個三自由度彈簧阻尼系統，其物理模型如圖5所示：

假設質量塊上的剛度發生線性變化，剛度隨時間的變化為，，。初始時刻在質量塊3上施加的脈沖激勵，使用算法，計算在150s內的質量塊2上的加速度響應信號，加速度響應信號如圖6所示：

質量塊2加速度信號理論上的三階頻率如圖7所示，

容易看出，加速度信號的二、三階模態為密集模態，在這種情況下，常見的短時傅里葉變換、連續小波變換和EMD方法均無法將二、三階頻率分離。

直接對該加速度信號做小波包分解，提取其頻率結果如圖8所示，

可以看出，第一階頻率由于遠離第二、三階頻率，因而有著比較好的分解效果。但由于第二、三階的密集模態特性，對其直接做小波包分析的結果并不理想，混疊嚴重。使用本文提出的方法，取為信號最大幅值平方的10%，取，經過多輪迭代，其相位函數分別約為，，，與實際的信號分量的時間-頻率函數基本相符。其頻率提取結果如圖9所示，

由圖9可以看出，盡管第二、三階模態混疊嚴重且幾乎無法分辨其頻率，但由于其有著大致的上升趨勢，因而從統計學的角度看，仍然可以擬合出一個斜率為正的直線時頻分布函數。也可以看出，小波包分解方法依然有著一定的端點效應現象，即在信號兩端誤差較大。但由于端點在整個時間軸上點數較少，因而占比較小，因而對相位函數的更新時的影響較小，當信號分量的頻率從不平行于時間軸解調成平行于時間軸時，小波包分解的能力大大加強，端點效應明顯減弱[11-13]。

為了定量說明識別結果的精度，我們定義平均絕對百分誤差MAPE（Mean Absolute Percentage Error）：

為了測試噪聲對頻率識別的影響與該方法的抗噪聲干擾能力，分別在質量塊2的加速度響應上加入信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）為100dB，50dB，10dB的高斯白噪聲，其識別結果如表2所示：

在不同信噪比的高斯噪聲干擾下，該方法的識別精度都很高，誤差也沒有隨著信噪比的增大而由明顯的增加，因而可以認為該方法具有良好的抗噪能力。

5結束語

對仿真信號與質量塊系統的振動響應信號的分析結果表明，使用本文所述方法可以有效地提取出小波包分解中的有效時頻塊，通過對有效時頻塊的分析，提取出有意義的頻率，再通過最小二乘法擬合出一個時頻分布函數作為廣義解調的相位函數，對原始信號的解析信號作廣義解調，對解調結果重復上述流程，以達到自適應提取頻率的目的。一般而言，第一次擬合得到的相位函數并不是真實的時頻函數，但的大致方向不會有很大的差距，此時，盡管解調的結果不完全平行于時間軸，但相對初始信號，其頻率的斜率將更小，即非平穩性減弱。經過多次迭代分解，最終使得振動信號的分量信號幾乎完全平行于時間軸，此時信號再做小波包分解，那么該分量將完全被某一個層級的小波包覆蓋，則該層級的小波包內的信號為窄帶信號，可以很好地提取出其頻率特性。

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作者簡介

周航（1992-），男，江蘇沭陽人;畢業院校：南京航空航天大學，專業：工程力學，學歷：碩士，現就職單位：中國直升機設計研究所，研究方向：起落架設計、計算與動力學。