一種運(yùn)載火箭時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的確定性演化方法

余 磊，劉 莉,2，崔 穎，岳振江，康 杰

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081; 2. 北京理工大學(xué)飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

0 引 言

運(yùn)載火箭的僅輸出時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)是航空航天工程領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)。運(yùn)載火箭在工作狀態(tài)下由于構(gòu)型變化、模塊化結(jié)構(gòu)調(diào)整、載荷工況變化等過(guò)程，使得自身成為變結(jié)構(gòu)、變質(zhì)量、變參數(shù)的典型時(shí)變結(jié)構(gòu)，獲取結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)等動(dòng)力學(xué)特性對(duì)于實(shí)現(xiàn)高精度控制起著關(guān)鍵作用，并直接影響復(fù)雜空間任務(wù)的順利完成。

運(yùn)載火箭的時(shí)變特性體現(xiàn)在微分方程系數(shù)中[1]，并進(jìn)一步反映在振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)中，即時(shí)變結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)具有非平穩(wěn)特性[2]。針對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的辨識(shí)方法主要分為時(shí)域和頻域，其中時(shí)域辨識(shí)方法直接以時(shí)域信號(hào)為基礎(chǔ)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，物理概念更為清晰。時(shí)域辨識(shí)方法又分為基于狀態(tài)空間的辨識(shí)方法[3-5]和基于時(shí)間序列的辨識(shí)方法，其中時(shí)變自回歸滑動(dòng)平均模型(Time-varying autoregressive moving average, TARMA)是時(shí)域僅輸出辨識(shí)模型，作為一種參數(shù)化辨識(shí)模型，TARMA模型具有許多優(yōu)點(diǎn)[6]：1)表達(dá)的簡(jiǎn)約性；2)更高的精度；3)更好的時(shí)變動(dòng)態(tài)特性的跟蹤能力；4)更高的分辨率；5)更好的靈活性。Spiridonakos等[7]根據(jù)TARMA模型的時(shí)變系數(shù)的演化形式不同，分為三類：無(wú)結(jié)構(gòu)化、隨機(jī)結(jié)構(gòu)化和確定性結(jié)構(gòu)化。

確定性結(jié)構(gòu)化的時(shí)變系數(shù)演化形式即是將TARMA模型的時(shí)變系數(shù)用一組基函數(shù)進(jìn)行展開(kāi)，進(jìn)而將時(shí)變系數(shù)轉(zhuǎn)換為投影空間中的時(shí)不變投影系數(shù)，選擇合適的基函數(shù)可以提高辨識(shí)精度。這類方法統(tǒng)稱為泛函序列(Functional series，F(xiàn)S)TARMA模型。Rao[8]對(duì)TARMA模型的時(shí)變系數(shù)進(jìn)行展開(kāi)，基于時(shí)間多項(xiàng)式首次提出了FS-TAR模型。Mendel等[9]對(duì)一般的泛函時(shí)間序列模型進(jìn)行了研究，討論了時(shí)變系數(shù)的快變與慢變，建立了相關(guān)的理論基礎(chǔ)。Liporace[10]基于任意階多項(xiàng)式對(duì)FS-TAR模型的時(shí)變系數(shù)進(jìn)行展開(kāi)，并將模型應(yīng)用于語(yǔ)音分析。Grenier[11]將FS-TAR模型首次拓展到FS-TARMA模型，并從數(shù)學(xué)上證明了FS-TARMA模型的存在性和唯一性。Walter等[12]研究了模型參數(shù)估計(jì)的精度與基函數(shù)類型的關(guān)系，并指出足夠階數(shù)的任意函數(shù)簇能以任意精度逼近時(shí)變系數(shù)。Zou等[13]采用了Walsh函數(shù)，對(duì)分段時(shí)變系數(shù)進(jìn)行了展開(kāi)。目前，多種多樣的基函數(shù)被用于描述FS-TARMA模型的時(shí)變系數(shù)，如勒讓德多項(xiàng)式、切比雪夫多項(xiàng)式[14]、雅克比多項(xiàng)式[15]、傅里葉級(jí)數(shù)[16-17]、B樣條、無(wú)網(wǎng)格形函數(shù)[18]等。不同基函數(shù)所適應(yīng)的問(wèn)題各不相同，如勒讓德多項(xiàng)式、傅里葉級(jí)數(shù)適應(yīng)于慢變/長(zhǎng)周期信號(hào)，B樣條適應(yīng)快變/慢變信號(hào)，無(wú)網(wǎng)格形函數(shù)適應(yīng)快變信號(hào)。

小波方法因具有“數(shù)學(xué)放大鏡”的作用，近年來(lái)也被頻繁應(yīng)用于頻域模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法中。文獻(xiàn)[19-20]將小波變換應(yīng)用于脈沖響應(yīng)函數(shù)提取和頻率響應(yīng)的估計(jì)，給出了響應(yīng)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法。Staszewski等[21]基于小波變換將傳統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)拓展到時(shí)頻域，利用時(shí)間平均法提高了信噪比。Dziedziech等[22]進(jìn)一步將該方法應(yīng)用于頻率突變系統(tǒng)，結(jié)果表明，小波函數(shù)的多分辨率特性能夠在頻率突變處很好的擬合，得到了更為光滑的時(shí)頻分布圖。小波方法對(duì)快變信號(hào)的良好適應(yīng)性，在時(shí)頻域/頻域模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法上得到了廣泛應(yīng)用[23-24]，卻鮮有在時(shí)域僅輸出模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法上的應(yīng)用。

本文針對(duì)運(yùn)載火箭運(yùn)行工況下的質(zhì)量變化特性，在確定性演化方法上，利用小波函數(shù)能夠較好地反映信號(hào)局部細(xì)節(jié)的特點(diǎn)，選擇墨西哥帽小波函數(shù)作為TARMA模型時(shí)變系數(shù)泛函空間基底，構(gòu)建了基于小波基的FS-TARMA模型。利用分布解耦思想以及TARMA模型與無(wú)限階截?cái)嗄Ｐ拖嗟葍r(jià)的原理，發(fā)展了兩步最小二乘法對(duì)估計(jì)過(guò)程進(jìn)行解耦，得到了時(shí)變系數(shù)的解耦估計(jì)。通過(guò)運(yùn)載火箭時(shí)變有限元模型驗(yàn)證了提出的墨西哥帽小波基FS-TARMA方法具有良好的辨識(shí)精度與時(shí)變跟蹤能力。

1 TARMA模型

TARMA模型是基于非平穩(wěn)時(shí)間序列建立起來(lái)的離散模型，具有隨機(jī)差分方程的形式，不僅可揭示動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)本身的結(jié)構(gòu)和規(guī)律，還可定量地了解觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)性，是解決動(dòng)力學(xué)第一類反問(wèn)題的有效工具。令na和nc分別表示AR階數(shù)和MA階數(shù)，TARMA(na,nc)模型可寫為如下形式。

(1)

式中:x[t]∈Rk×1表示離散的非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)，e[t]∈Rk×1滿足均值為零且協(xié)方差為Σ[t]∈Rk×k的正態(tài)分布，Ai[t]和Ci[t]分別表示TARMA模型的時(shí)變AR和MA系數(shù)矩陣。

TARMA模型總是將輸入信號(hào)假設(shè)為白噪聲，因此保證了模型所表示的等價(jià)系統(tǒng)的固有特性包含了真實(shí)物理系統(tǒng)的固有特性，而沒(méi)有丟失信息。在實(shí)際應(yīng)用中當(dāng)輸入信號(hào)不可知時(shí)，白噪聲激勵(lì)假設(shè)是一種簡(jiǎn)單易行的方式，解決了系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題中輸入信號(hào)未知時(shí)的困難，因此TARMA模型被廣泛地應(yīng)用于僅輸出模態(tài)參數(shù)辨識(shí)領(lǐng)域。

TARMA模型“時(shí)間凍結(jié)”模態(tài)參數(shù)可以通過(guò)在每一時(shí)刻求解如下特征值問(wèn)題[25]獲得

(2)

(3)

TARMA模型“時(shí)間凍結(jié)”固有頻率和阻尼比為

(4)

2 TARMA模型的時(shí)變系數(shù)確定性演化方法

2.1 基于墨西哥帽小波基的TARMA模型

對(duì)于小波展開(kāi)，可構(gòu)造一個(gè)兩參數(shù)系統(tǒng)，使得

(5)

其中,j和d為整數(shù)指標(biāo)，ρj,d(t)是小波基函數(shù)，通常形成一組正交基。展開(kāi)的系數(shù)集aj,d稱為f(t)的離散小波變換。采用墨西哥帽小波函數(shù)作為基本小波，即母小波，對(duì)其進(jìn)行二進(jìn)尺度變換和時(shí)間軸上的平移，為方便運(yùn)算，記小波基最大尺度因子等于時(shí)間基函數(shù)最大維數(shù)，可得其小波基為

(6)

其中，j=0,1,…,m為時(shí)間基函數(shù)的展開(kāi)維數(shù)，m為最大維數(shù)；平移因子d=0,1,…,2j-1。當(dāng)尺度因子j=0,1,…,m時(shí)，ρl,d(t)的伸縮即能擬合慢變和快變的時(shí)變系數(shù)，從而能夠覆蓋低頻到高頻的整個(gè)頻帶。則TARMA模型的時(shí)變AR系數(shù)矩陣和時(shí)變MA系數(shù)矩陣可以用墨西哥帽小波基函數(shù)展開(kāi)表示

(7)

其中，pa為時(shí)變AR系數(shù)擬合階數(shù)，pc為時(shí)變MA系數(shù)擬合階數(shù)。將式(7)代回TARMA模型，可得FS-TARMA模型如下

e[t]?x[t]=

e[t]?x[t]=θTφ[t]+e[t]

(8)

其中，參數(shù)矩陣θT和回歸向量φ[t]具有如下形式

(9)

(10)

其中，“?”為Kronecker積算子，基函數(shù)向量ρ[t]具有如下形式

(11)

由式(9)可知，參數(shù)矩陣θT為常數(shù)矩陣。通過(guò)將TARMA模型參數(shù)矩陣表示為一組以墨西哥帽小波基函數(shù)的線性組合，可將時(shí)變的TARMA模型轉(zhuǎn)化為時(shí)不變的FS-TARMA模型，從而把時(shí)變模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為時(shí)不變模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。

2.2 時(shí)變系數(shù)的兩步最小二乘估計(jì)

根據(jù)參數(shù)估計(jì)原理，對(duì)式(8)中TARMA模型的殘差序列均方誤差(MSE)求和，得到估計(jì)的費(fèi)用函數(shù)為

(12)

利用最小化MSE準(zhǔn)則(MMSE)，獲得待估參數(shù)估計(jì)

(13)

式中:arg min(·)為最小化算子，即當(dāng)費(fèi)用函數(shù)取最小值時(shí)變量的取值。

從式(12)不難看出，由于殘差序列中存在MA部分，即回歸向量φ[t]中包含了殘差的過(guò)去時(shí)刻值，所以估計(jì)參數(shù)θT的過(guò)程是一個(gè)非線性優(yōu)化問(wèn)題。為解決該問(wèn)題，常常需要將非線性優(yōu)化過(guò)程轉(zhuǎn)化為線性求解過(guò)程，鑒于TARMA模型具有截?cái)嘈问降奶攸c(diǎn)，本節(jié)采用兩步最小二乘法對(duì)該非線性優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行線性化求解。

TARMA模型的一個(gè)基本性質(zhì)是：任意階的TARMA模型都可以用一個(gè)無(wú)限階的TAR模型或TMA模型(也稱為逆函數(shù)表達(dá))來(lái)等價(jià)表示[7]。兩步最小二乘法的基本思想是利用TARMA模型的等價(jià)性質(zhì)，將TARMA模型轉(zhuǎn)化為兩個(gè)可以線性求解的TAR模型：第一步將TARMA模型相等價(jià)的無(wú)限階TAR模型進(jìn)行截?cái)?，求出該模型的殘差序列值；第二步利用該殘差序列值?dāng)做先驗(yàn)已知的MA部分，代入到原TARMA模型中。TARMA模型的逆函數(shù)可表達(dá)為

C-1[B,t]°A[B,t]·x[t]=

C-1[B,t]°C[B,t]·e[t]?

H-1[B,t]x[t]=e[t]

(14)

兩步最小二乘的步驟可分為如下兩個(gè)部分：

1) 逆函數(shù)估計(jì)

對(duì)式(14)中H-1[t]取ng階截?cái)?，截?cái)嗪蟮哪婧瘮?shù)模型如式(15)所示。

x[t]=hT·φH[t]+e[t,h]?

(15)

(16)

(17)

2)AR和MA系數(shù)估計(jì)

(18)

同理利用最小化MSE準(zhǔn)則，獲得待估參數(shù)估計(jì)

(19)

2.3 模型結(jié)構(gòu)問(wèn)題的討論

第2.2節(jié)討論了模型結(jié)構(gòu)已知情況下的墨西哥帽小波基FS-TARMA時(shí)變模態(tài)參數(shù)估計(jì)方法，在實(shí)際情況下，模型結(jié)構(gòu)往往是未知的，需要首先解決模型結(jié)構(gòu)的選擇問(wèn)題。對(duì)于確定性結(jié)構(gòu)化TARMA模型而言，模型結(jié)構(gòu)的選擇問(wèn)題可以分為兩個(gè)子問(wèn)題：一是模型的階數(shù)選擇，二是模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)選擇。

對(duì)于墨西哥帽小波基FS-TARMA時(shí)變模態(tài)參數(shù)估計(jì)方法的模型結(jié)構(gòu)選擇問(wèn)題，主要包括對(duì)逆函數(shù)截?cái)嚯A數(shù)ng、AR階數(shù)na、MA階數(shù)nc、時(shí)變AR系數(shù)擬合階數(shù)pa和時(shí)變MA擬合系數(shù)pc的選取。

為了控制模型的過(guò)擬合程度，需要采取一些準(zhǔn)則對(duì)擬合程度進(jìn)行定量描述，常用的準(zhǔn)則包括赤池信息準(zhǔn)則(Akaike Information Criterion，AIC)、貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian Information Criterion)和殘差平方和準(zhǔn)則(Residual Sum of Squares，RSS)[27-28]，本文采用RSS準(zhǔn)則對(duì)TARMA模型的模型階數(shù)進(jìn)行選取。定義TARMA模型的殘差平方和

(20)

殘差平方和在一定程度上描述了TARMA模型對(duì)信號(hào)的擬合誤差，因此可以控制模型的過(guò)擬合程度?；赗SS準(zhǔn)則選取TARMA模型的模型階數(shù)的步驟如下。

值得說(shuō)明的是，較高的模型階數(shù)可以更好地?cái)M合信號(hào)，從而RSS準(zhǔn)則一般相對(duì)較小；較低的模型階數(shù)意味著較高的計(jì)算效率，更低的計(jì)算復(fù)雜度。從信號(hào)擬合的角度來(lái)看，模型階數(shù)偏向于取大，然而在TARMA模型的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中，需要考慮實(shí)際的物理系統(tǒng)。當(dāng)模型階數(shù)大于實(shí)際物理階數(shù)的時(shí)候，系統(tǒng)的特征根數(shù)量增多，辨識(shí)結(jié)果中會(huì)出現(xiàn)大量的虛假模態(tài)，虛假模態(tài)的剔除是十分困難的；當(dāng)模型階數(shù)過(guò)低，極端情況下往往會(huì)無(wú)法辨識(shí)出正確模態(tài)。因此，在模態(tài)參數(shù)辨識(shí)領(lǐng)域，模型階數(shù)的選取不僅是信號(hào)擬合與計(jì)算效率之間的折中，更是物理系統(tǒng)先驗(yàn)知識(shí)和計(jì)算效率之間的折中。

3 算例驗(yàn)證

針對(duì)運(yùn)載火箭的僅輸出模態(tài)分析，本質(zhì)上是對(duì)運(yùn)載火箭動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的分析，運(yùn)載火箭的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)數(shù)據(jù)一方面來(lái)源于實(shí)驗(yàn)/工作條件下的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)；另一方面來(lái)源于運(yùn)載火箭物理模型的數(shù)值計(jì)算，即動(dòng)力學(xué)的正問(wèn)題。運(yùn)載火箭的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)于研究者而言往往代價(jià)高昂，因此研究運(yùn)載火箭的正問(wèn)題不僅能獲得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，基于力學(xué)原理建立的反映系統(tǒng)物理特性的動(dòng)力學(xué)模型對(duì)運(yùn)載火箭結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與驗(yàn)證也具有重要意義。

為了驗(yàn)證本文所提出的墨西哥帽小波基FS-TARMA時(shí)變模態(tài)參數(shù)估計(jì)方法的有效性，本節(jié)將對(duì)運(yùn)載火箭時(shí)變動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題進(jìn)行建模，為方法的驗(yàn)證提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，時(shí)變結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模的流程如圖1所示。

圖1 運(yùn)載火箭時(shí)變結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模流程圖Fig.1 The work flow of time-varying dynamic modelling for launch vehicle

3.1 運(yùn)載火箭時(shí)變有限元模型

根據(jù)振動(dòng)理論，一個(gè)具有nd個(gè)自由度的線性振動(dòng)系統(tǒng)，可以用一個(gè)nd維的二階微分方程組來(lái)描述

(21)

目前，商業(yè)軟件目前并不具備分析時(shí)變結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的功能。因此，針對(duì)運(yùn)載火箭的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題，以阿里安V-versatile芯級(jí)為原型，經(jīng)過(guò)調(diào)研與合理假設(shè)，將芯級(jí)的各部段進(jìn)行分組編號(hào)，并建立幾何曲線。在得到的每段幾何曲線上進(jìn)行站點(diǎn)的劃分，站點(diǎn)劃分的數(shù)目應(yīng)當(dāng)滿足正確描述模型的需求：對(duì)于變截面梁，至少需要三個(gè)站點(diǎn)以上進(jìn)行描述；對(duì)于等截面梁，則根據(jù)長(zhǎng)度進(jìn)行分配，本模型中對(duì)等截面梁?jiǎn)卧?.5 m的尺度進(jìn)行等比例劃分，共得到了96個(gè)節(jié)點(diǎn)，95個(gè)梁?jiǎn)卧Ａ航孛娑x為為薄壁圓環(huán)，芯級(jí)端頭和尾段為變截面梁，將結(jié)構(gòu)質(zhì)量和液體質(zhì)量分別分配到對(duì)應(yīng)的站點(diǎn)上，結(jié)構(gòu)質(zhì)量為集中質(zhì)量，液體質(zhì)量則在相應(yīng)的站點(diǎn)上添加對(duì)應(yīng)耦合質(zhì)量。表1給出了阿里安V號(hào)芯級(jí)的建模信息。

表1 阿里安V號(hào)芯級(jí)建模關(guān)鍵參數(shù)Table 1 The model structure parameters of Ariane V

考慮一種質(zhì)量局部顯著變化工況，如圖2所示。

圖2 芯一級(jí)節(jié)點(diǎn)質(zhì)量特性變化規(guī)律Fig.2 The time-varying mass feature of the first stage nodes

采用有限帶寬白噪聲激勵(lì)作為激勵(lì)源，低通截止頻率為80 Hz，作用位置為頭錐頂點(diǎn)，即整箭幾何原點(diǎn)，作用方向沿y軸正向。

這里引入“時(shí)間凍結(jié)”概念，即在忽略結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化率后，慢時(shí)變結(jié)構(gòu)連續(xù)時(shí)間變化的模態(tài)參數(shù)近似等于“特征凍結(jié)”的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。通過(guò)對(duì)時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行“時(shí)間凍結(jié)”分析，以1000 Hz的采樣率獲得整箭的凍結(jié)結(jié)構(gòu)集合。在凍結(jié)結(jié)構(gòu)集合中，給定底部固支條件，提取阿里安V號(hào)的整箭凍結(jié)結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼橫向振動(dòng)頻率，如圖3所示。

圖3 阿里安V號(hào)“凍結(jié)結(jié)構(gòu)”橫向模態(tài)頻率Fig.3 Frozen structure modal frequency of Ariane V

使用Newmark-beta數(shù)值積分法求解運(yùn)載火箭時(shí)變結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)，并設(shè)置比例阻尼E(t)=a0M(t)+a1K(t)，其中a0=0.1,a1=0.001。提取1,40和80號(hào)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)響應(yīng)信號(hào)如圖4所示。

圖4 加速度響應(yīng)Fig.4 Acceleration responses

圖5 節(jié)點(diǎn)1加速度響應(yīng)自功率譜Fig.5 Auto-power spectrum of node 1

取節(jié)點(diǎn)1的加速度響應(yīng)信號(hào)作時(shí)頻分析，以80 Hz 進(jìn)行重采樣，采用短時(shí)傅里葉變換對(duì)重采樣后的加速度響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分析，得到其自功率譜如圖5所示。由圖5可知，一階模態(tài)的能量與其他階相比很小，在功率譜中只能看到微弱的峰值。較弱的模態(tài)難以用辨識(shí)方法辨識(shí)出，因此，本文后續(xù)只針對(duì)運(yùn)載火箭的第二、三、四階模態(tài)的辨識(shí)效果進(jìn)行討論。為了更加全面地比較墨西哥帽小波基FS-TARMA方法辨識(shí)結(jié)構(gòu)局部特征的有效性，本節(jié)將引入傳統(tǒng)傅里葉基FS-TARMA方法作為對(duì)比。

3.2 辨識(shí)結(jié)果

1)墨西哥帽小波基FS-TARMA辨識(shí)結(jié)果

對(duì)于墨西哥帽小波基FS-TARMA方法，根據(jù)第2.3節(jié)中提到的模型結(jié)構(gòu)選擇方法，首先給定一組較為完備的泛函空間，取pa=pc=35，逆函數(shù)截?cái)嚯A數(shù)ng=20，使得模型結(jié)構(gòu)選擇問(wèn)題簡(jiǎn)化，只需根據(jù)RSS準(zhǔn)則選取AR階數(shù)na與MA階數(shù)nc，由圖5可知，在感興趣的頻帶范圍內(nèi)，具有4階橫向頻率，因此na至少需要為6，設(shè)置初始搜索區(qū)間[6,12]，以節(jié)點(diǎn)1的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)選取模型階數(shù)如圖6所示，na=10和nc=8時(shí)RSS曲線變得平緩，因此選擇其作為模型階數(shù)的推薦值。最終確定的模型結(jié)構(gòu)為pa=pc=35、ng=20、na=10和nc=8，利用節(jié)點(diǎn)1～96共96組振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，基于墨西哥帽小波基FS-TARMA方法的辨識(shí)結(jié)果如圖7所示。

圖6 墨西哥帽小波基FS-TARMA模型階數(shù)選擇Fig.6 Model selection of Mexican hat wavelet basis FS-TARMA

圖7 墨西哥帽小波基FS-TARMA模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Fig.7 Modal frequency estimation results of Mexican hat wavelet basis FS-TARMA

2)傅里葉基FS-TARMA辨識(shí)結(jié)果

對(duì)于傅里葉基FS-TARMA方法，其模型結(jié)構(gòu)與墨西哥帽小波基FS-TARMA方法的模型結(jié)構(gòu)類似，區(qū)別在于其擬合時(shí)變系數(shù)的泛函空間的基函數(shù)不同，本方法采用傅里葉基作為泛函空間的基底，其形式如下所示[7]:

(22)

傅里葉基FS-TARMA方法的模型結(jié)構(gòu)包括截?cái)嚯A數(shù)ng、AR階數(shù)na、MA階數(shù)nc、時(shí)變AR系數(shù)擬合階數(shù)pa和時(shí)變MA擬合系數(shù)pc。同理，根據(jù)第2.3節(jié)中提到的模型結(jié)構(gòu)選擇方法，首先給定一組較為完備的泛函空間，取pa=pc=35和逆函數(shù)截?cái)嚯A數(shù)ng=20，使得模型結(jié)構(gòu)選擇問(wèn)題進(jìn)一步簡(jiǎn)化，只需要根據(jù)RSS準(zhǔn)則選取關(guān)鍵的AR階數(shù)na與MA階數(shù)nc，以節(jié)點(diǎn)1的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)選取模型階數(shù)如圖8所示。最終確定的模型結(jié)構(gòu)為pa=pc=35、ng=20、na=10和nc=8，利用節(jié)點(diǎn)1～96共96組振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，基于傅里葉基FS-TARMA方法的辨識(shí)結(jié)果如圖9所示。

圖8 傅里葉基FS-TARMA模型階數(shù)選擇Fig.8 Model selection of Fourier basis FS-TARMA

圖9 傅里葉基FS-TARMA模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Fig.9 Modal frequency estimation results of Fourier basis FS-TARMA

3)方法的對(duì)比分析

由圖7和圖9可知，兩種方法均能較好地辨識(shí)出時(shí)變結(jié)構(gòu)的第二、三、四階橫向固有頻率。此外，與傅里葉基FS-TARMA的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果相比，墨西哥帽小波基FS-TARMA的虛假極點(diǎn)較少，辨識(shí)結(jié)果較為“干凈”。

為了定量比較不同模型的辨識(shí)精度與時(shí)變跟蹤能力，定義均值絕對(duì)誤差(Mean absolute error，MAE)為[29]

(23)

表2 模態(tài)頻率估計(jì)誤差Table 2 MAE values for different methods

由表2可知，本文所提的小波基FS-TARMA方法，在辨識(shí)精度上要略好于基于傳統(tǒng)的傅里葉基FS-TARMA方法。為了能夠在局部模態(tài)頻率迅速變化處更好地比較兩種方法的優(yōu)劣，這里對(duì)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行局部放大，如圖10所示。

圖10 模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果局部放大圖Fig.10 The local detail of modal frequency estimation results for different methods

由圖10可知，對(duì)于模態(tài)頻率拐點(diǎn)處，墨西哥帽小波基FS-TARMA方法可以更好地?cái)M合局部細(xì)節(jié)特征，而傳統(tǒng)的傅里葉基FS-TARMA方法則只能平滑過(guò)渡。因此，對(duì)于具有局部細(xì)節(jié)特征的非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)的辨識(shí)問(wèn)題，與傳統(tǒng)傅里葉基FS-TARMA相比，本文所提的小波基FS-TARMA時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)估計(jì)方法虛假極點(diǎn)更少，估計(jì)精度更高，并且能夠準(zhǔn)確反映模態(tài)局部特征。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)運(yùn)載火箭時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，基于TARMA模型，在時(shí)變系數(shù)的確定性演化方法上展開(kāi)了研究。利用小波函數(shù)能夠較好反映信號(hào)局部細(xì)節(jié)的特點(diǎn)，選擇墨西哥帽小波函數(shù)作為TARMA模型時(shí)變系數(shù)泛函空間的基底，構(gòu)建了基于墨西哥帽小波基的FS-TARMA模型。利用分步解耦思想以及TARMA模型與無(wú)限階截?cái)嗄Ｐ拖嗟葍r(jià)的原理，采用兩步最小二乘法對(duì)時(shí)變系數(shù)實(shí)現(xiàn)了解耦估計(jì)。通過(guò)建立的阿里安V號(hào)芯級(jí)運(yùn)載火箭時(shí)變有限元模型，對(duì)所提辨識(shí)方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明：針對(duì)非平穩(wěn)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，本文所提墨西哥帽小波基FS-TARMA方法可以準(zhǔn)確地對(duì)時(shí)變系統(tǒng)的模態(tài)頻率進(jìn)行估計(jì)，與傳統(tǒng)傅里葉基FS-TARMA相比，具有更好的辨識(shí)精度，并能夠較好地反映出模態(tài)局部細(xì)節(jié)特征。