空間繩系編隊的動力學及穩定展開控制研究

周 合，張 帆，黃攀峰

(1. 西北工業大學航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072; 2. 西北工業大學智能機器人研究中心，西安 710072)

0 引 言

空間繩系編隊[1]通過系繩將多顆衛星連接起來形成特定結構，不僅具有傳統多航天器系統成本低、性能好、可靠性高、靈活性強的特點，而且具有在精確定位的同時可降低燃料消耗、提高壽命等優點，被廣泛應用于對地觀測和對地定向等空間任務中。

空間繩系編隊的穩定展開是編隊后續運行的重要保障，對其完成特定空間任務具有重要意義。編隊系統穩定展開的難點[2]包括：1)合理的系統動力學模型的建立；2)有效的穩定展開控制方法的設計。現有的關于空間繩系編隊的文獻表明：對系繩的處理情況極大地影響了系統動力學模型的精度，同時會影響編隊穩定展開的控制效果[3]。

以往對空間繩系編隊系統動力學建模的研究中，除了少量文獻將衛星視為剛體[4]、考慮其姿態影響外，多數文獻均將衛星做質點處理。將衛星視為質點時，歸納分析主要的建模方法有以下三種：1)“珠點”模型[5]，僅考慮系繩拉力[6]，或將系繩視為多個由無質量彈性阻尼段連接而成的質點，根據牛頓第二定律[7-8]推導出系統的動力學模型；2)基于Lagrange體系下的系統動力學模型[9-10]，忽略了系繩的影響；3)基于有限元，采用了絕對節點坐標法[11]進行建模。采用拉格朗日法建模時，模型整齊簡潔，但失去了系統的彈性特性；采用牛頓法和有限元法時，為了提高建模的精度需要增加系繩中的質點數，而質點過多時又會增加模型的難度和計算量。針對編隊系統穩定展開控制的研究，主要體現在：Williams[2,12]研究了平面三角構型繩系編隊的最優展開和回收控制；Kumar等[13]采用速率控制對空間繩系編隊的展開過程進行了分析。

同時，分層滑模控制[14]在空間繩系系統中已有應用。Ma等[15]研究了輸入飽和下多衛星繩系系統的自適應分層滑模控制；Wang等[16]基于二階分層滑模研究了一種欠驅動繩系衛星系統的有限時間穩定；王秉亨等[17]基于分層滑模設計了繩系拖曳變軌的欠驅動張力控制律；且仿真結果均表明控制效果良好。

針對以往空間繩系編隊動力學建模中的不足，以及編隊穩定展開控制這一難題。本文首先在傳統Lagrange動力學建模的基礎上，考慮了系繩中的彈性勢能，既保留了系統的彈性特性，又使整體計算量保留在了可接受的范圍內。其次根據得到的動力學模型，對繩系編隊穩定自旋時的自轉角速度進行了定量分析，為之后展開控制時自轉角速度的取值提供了理論依據。最后，由于編隊系統的欠驅動特性，本文對其展開過程采用了分層滑模控制方法，實現了編隊穩定的旋轉展開。

1 動力學建模

1.1 系統描述及建模假設

本文所研究的空間繩系編隊是由三根系繩和三顆衛星相隔串聯而成的平面三角形封閉系統，系繩的長度從幾百米到幾千米不等。該系統在空間運行時，除了整體繞地球的公轉外，還會繞自身質心自轉，從而產生穩定的空間旋轉平面定向。建立該編隊系統的動力學模型時，為了簡化并保證模型的準確程度，采取如下假設：

1)相對于系繩長度，衛星尺寸可忽略不計，將三顆衛星視為質量相等的質點。

2)三根系繩原始長度相等，質量相對于衛星可忽略不計，不考慮系繩阻尼和彎曲變形等，系繩只受拉不受壓，只考慮其中的彈性勢能。

3)除控制力外，整個系統只受到地球的萬有引力，忽略太陽光壓、電磁力等外力。

4)整個系統作用在開普勒圓軌道上，旋轉角速度為ω。

5)只考慮編隊系統的面內運動。

1.2 坐標系定義

為建立編隊系統的動力學模型，首先給定如下的相關坐標系定義，如圖1所示。其中：E-XYZ為地心慣性坐標系；o-xyz為軌道坐標系，原點o始終位于系統質心，x軸始終沿著地心指向質心的方向，y軸在軌道面內垂直x軸并指向系統前進的方向，z軸由右手坐標準則確定。

編隊中相關的物理量定義如下：三顆衛星質量分別為m1,m2,m3，且m1=m2=m3，系統總質量為m=m1+m2+m3。三根系繩長度分別為l1,l2,l3。定義自轉角θ1,θ2分別是系繩1、系繩2與軌道坐標系x軸正向的夾角。

圖1 編隊相關參考坐標系示意圖Fig.1 The formation’s reference coordinate systems

1.3 動力學模型

空間繩系編隊的運動始終位于軌道面內，因此只考慮系統在o-xy平面內的運動。選取繩長l1,l2，自轉角θ1,θ2為廣義坐標。衛星質點在軌道坐標系中的位置矢量ri(i=1,2,3),可表示為：

(1)

(2)

聯立式(1)和式(2)，可得到用廣義坐標表示的衛星質點坐標分別為：

(3)

(4)

(5)

編隊的動能包括三顆衛星質點的動能，可具體表示為：

(6)

式中：R0為地心指向質心的位置矢量。將式(3)、式(4)和式(5)代入式(6)，整理可得編隊詳細的動能公式為：

ω)]sin(θ1-θ2)}

(7)

編隊的勢能可表示為：V=V1+V2。其中：V1表示系統的重力勢能，V2表示系繩的彈性勢能。重力勢能V1可表示為：

(8)

式中：μ為引力常數。對1/|Ri|進行二項式展開并忽略高階項[18]可得：

(9)

由圓軌道特性可知：

μ=ω2R03

(10)

將式(9)和式(10)代入式(8)，整理可得詳細的系統重力勢能公式為：

cos(θ1-θ2)]}

(11)

由于系繩具有受拉不受壓的特性，根據胡克定律，編隊中系繩的彈性勢能V2可表示:

(12)

式中：EA為彈性系數。l0為系繩未形變時的長度;系數ei可具體表示為：

(13)

l3可表示為：

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：qi=[l1,l2,θ1,θ2]T表示廣義坐標，Qqi=[Ql1,Ql2,Qθ1,Qθ2]T表示廣義坐標對應的廣義力，由系統所受控制力產生。

2 動力學分析

繩系編隊完全展開時構型穩定是執行空間任務的前提，文獻[2]指出：三角構型編隊可以在空間自旋穩定。基于此本研究詳細分析了編隊自旋穩定時需要滿足的條件，具體就是自旋角速度θ′對系統穩定性的影響，為后續的穩定展開控制提供理論依據。

2.1 θ′對編隊穩定性影響

系繩具有受拉不受壓的特性，編隊運行時可以通過自身的旋轉，使系繩拉力與自轉的離心力平衡，從而保持編隊構型的穩定。自轉離心力由θ′決定，而系繩拉力與系繩的伸長量有關，只有當系繩實際長度大于原始長度時，系繩中才會產生拉力。

為了得到θ′的值對編隊穩定性的影響，令Qqi=0，各狀態量取為理想值，即：θ″1=θ″2=0，θ′1=θ′2=θ′，L″1=L″2=0，L′1=L′2=0，代入式(16)后化簡可得式(17)。

編隊中系繩長度從幾百米到幾千米不等，因此重力梯度對編隊的影響不可忽略。編隊穩定運行時，系繩拉力與自轉的離心力平衡，又由于重力梯度影響，當系繩方向與x軸平行時，系繩兩端衛星產生的重力梯度達到最大，系繩中拉力達到最大，系繩伸長量最大；當系繩方向與y軸平行時，系繩兩端衛星產生的重力梯度達到最小，系繩中拉力達到最小，系繩伸長量最小。由于編隊構型對稱，三根系繩的長度變化量范圍相同，因此選擇θ1=0(rad)，即系繩1與x軸平行，和θ1=π/2(rad)，即系繩1與y軸平行兩種情況代入式(17)，計算可得各系繩長度變化量ε1,ε2和ε3分別為：

(18)

(19)

由于系統構型穩定時要求系繩中均存在拉力，因此各系繩長度變化量均需大于0，即：

(20)

整理可得編隊自旋穩定時自轉角速度的范圍為：

(21)

2.2 動力學仿真驗證

為驗證式(21)結論的正確性，使用MATLAB對編隊系統進行仿真，衛星和系繩的物理仿真參數設置如表1所示，系統自轉方向與繞地球方向一致。編隊沒有外在控制力，仿真時長為15個軌道數。

仿真時分別選取θ′=0.5,θ′=1，系統初始值均為理想情況，即：L10=L20=1，L′10=L′20=0，L″10=L′′20=0，θ10=π/6(rad)，θ20=5π/6(rad)，θ′10=θ′20=θ′，θ″10=θ″20=0。

表1 仿真參數表Table 1 The simulation parameters

θ′=0.5和θ′=1時整個編隊在軌道坐標系中的運動情況分別如圖2和圖3所示。對比可知：θ′=0.5時，編隊構型隨時間增加出現混亂，編隊不穩定，僅靠自身不能保持正常運行；而θ′=1時，編隊構型始終保持為三角形，整體穩定旋轉，編隊能在自身旋轉的作用下保持整體的穩定。這與式(21)的結論一致。

圖2 θ′=0.5時編隊運動情況Fig.2 The formation’s motion when θ′=0.5

圖3 θ′=1時編隊運動情況Fig.3 The formation’s motion when θ′=1

θ′=1時編隊三根系繩的長度變化如圖4所示，其長度均保持在略大于1的范圍內，這說明系繩均處于拉伸狀態，衛星始終受到系繩拉力的作用。編隊的自轉角速度如圖5所示，θ′1,θ′2均略小于初始值，這是由于系統部分動能轉化為彈性勢能的原因。同時，編隊中各系繩長度和自轉角速度的值均不完全恒定，而是表現為極小幅度的周期性變化，這是由于編隊旋轉時，θ1,θ2的連續變化使得編隊的受力發生小幅變化所致。但這些變化量均非常小，可以忽略不計。

系繩1長度L1隨角度θ1的變化如圖6所示，繩長變化量隨著編隊旋轉呈現周期性變化。L1的長度變化約在θ1=0(rad)時最大，在θ1=π/2(rad)時達到最小，這也與前文的分析一致。

圖4 各系繩長度變化圖Fig.4 The variations of three tethers’ lengths

圖5 編隊角速度變化圖Fig.5 The variations of formation’s angular velocities

圖6 繩長L1隨角度θ1變化圖Fig.6 The variation of length L1 with angle θ1

3 編隊展開控制

空間繩系編隊的展開控制方法是編隊展開的難點之一，其困難之處不僅在于系繩需要在控制作用下完全拉長，而且由于編隊穩定運行的需要，整個系統需要在控制作用下達到合適的自轉角速度。

3.1 欠驅動控制

由于衛星執行機構精度的限制以及編隊所能提供的控制力數量的限制，本文研究的空間繩系編隊是一個欠驅動系統。

(22)

對于該欠驅動系統，參考文獻[19-20]，采用分層滑模控制方法。取系繩長度的期望值為：L1=L2=L，自轉角速度的期望值為：θ′1=θ′2=θ′。控制時共有兩層滑模面，第一層滑模面可定義如下：

(23)

由于僅對角度項進行了控制，因此需要將繩長項的信息考慮在控制里面，第二層滑模面具體可表示為：

(24)

式中：各系數的取值分別為

(25)

3.2 穩定性證明

分層滑模控制方法的穩定性包括每層滑模面的穩定性。首先證明第二層滑模面的穩定性。取Lyapunov函數為：

(26)

對式(26)求導，并代入控制力表達式，可得：

(27)

其次證明第一層滑模面的穩定性。由于第二層滑模面是穩定的，sθ1平方可積，因此有：

2α1s1(α2s2+s3)]dτ<∞

(28)

(29)

綜上，該分層滑模控制方法是穩定的。

3.3 仿真驗證

使用MATLAB對編隊的穩定展開控制過程進行仿真，衛星和系繩的物理參數設置如表1，仿真時間為10個軌道數。編隊未展開時，整體沒有自轉，θ′10=θ′20=0，編隊初始構型為三角形，取θ10=0(rad),θ20=2π/3(rad)，各系繩初始長度很小，取為L10=L20=L30=0.002。編隊展開完成時，L=1，根據式(21)的結論，取自轉角速度的期望值為θ′=3。控制力中各參數選取為：c1=c2=4，c3=c4=1，α10=α20=1，α30=α40=1，k1=k2=0.4，e1=e2=0.6。

圖7中分別表示控制力作用下系繩長度L1,L2和L3的變化情況。圖像表明：約一個軌道數后，三根系繩均可以從初始長度完全展開到期望長度；且穩定后的系繩長度值均略大于1，這說明系繩中均存在拉力；由于拉力的穩定存在，系繩不會松弛，系統構型可以保持穩定。

圖8和圖9分別表示編隊自轉角速度θ′1,θ′2以及角度θ1-θ2的變化情況。圖像表明：兩個角速度的變化大體相同，經過一個多軌道數后，θ′1,θ′2可以穩定在期望值；θ1-θ2的值間接反映了編隊中系繩1與系繩2形成夾角的大小，雖然前期角速度有較大震蕩，但θ1-θ2始終保持為-2π/3(rad)或4π/3(rad)，這說明系統展開過程中系繩1與系繩2形成的夾角是不變的，即編隊構型一直是穩定的。

圖7 各系繩長度變化圖Fig.7 The variations of three tethers’ lengths

圖8 編隊角速度變化圖Fig.8 The variations of formation’s angular velocities

圖9 角度差θ1-θ2變化圖Fig.9 The variation of angle θ1 minus angle θ2

圖10中分別表示編隊展開所需的控制力變化情況。圖像表明：約一個多軌道數后，控制力可以穩定在0附近；同時控制力和自轉角速度均在前一個軌道數內有較大波動，這是系統展開時兼顧系繩拉長和系統自轉的結果。

圖10 各控制力變化圖Fig.10 The variations of control forces

總體來說，本文的展開控制方法很好的達到了期望的控制效果，系繩完全拉長且系統整體自旋，系繩均處于拉伸狀態，系統彈性得以體現。該控制方法為繩系編隊的實際展開提供了一個可行的方案。

4 結 論

本文以三角構型為例，研究了空間繩系編隊系統的動力學與穩定展開控制。使用Lagrange法建立了系統的動力學模型，并充分考慮了系繩的彈性。定量分析了編隊自旋穩定時自轉角速度的取值范圍，為之后的控制提供理論依據，并通過對動力學方程的仿真驗證了所得結論的正確性。研究了空間繩系編隊這一欠驅動系統的穩定展開過程，設計了相應的分層滑模控制律，并通過數值仿真驗證了控制方法的有效性。該展開控制方法為空間繩系編隊的實際展開提供了一個可行的方案。