帶有時(shí)間約束的再入滑翔軌跡設(shè)計(jì)

韓嘉俊, 王小虎, 郝 昀, 張后軍

(1. 北京機(jī)電工程總體設(shè)計(jì)部，北京 100854； 2. 中國(guó)航天科工集團(tuán)有限公司第二研究院，北京 100854； 3. 北京控制與電子技術(shù)研究所，北京 100038)

0 引 言

近年來(lái)，對(duì)臨近空間飛行器的研究投入的資源越來(lái)越多，而其中滑翔式飛行器作為其中的代表更是受到了廣泛的關(guān)注。其具有飛行距離遠(yuǎn)、速度快、機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)等特點(diǎn)，諸多優(yōu)點(diǎn)使得該類(lèi)飛行器執(zhí)行特定飛行任務(wù)成為了可能。時(shí)至今日，針對(duì)特定任務(wù)的飛行約束越來(lái)越多，諸如為滿足探測(cè)需求，必要的地理約束則須被考慮在內(nèi)。在此方面，各國(guó)學(xué)者已經(jīng)開(kāi)展了大量學(xué)術(shù)研究，如文獻(xiàn)[1]中提出了在復(fù)雜約束條件下，一種帶有禁飛區(qū)約束的再入滑翔軌跡在線快速規(guī)劃算法。

然而，現(xiàn)階段單飛行器的任務(wù)能力提高已進(jìn)入瓶頸期。所以，多飛行器協(xié)同問(wèn)題已成為國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)，而作為其中的關(guān)鍵研究方向，帶有時(shí)間約束的軌跡設(shè)計(jì)受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重點(diǎn)關(guān)注。而在此類(lèi)問(wèn)題的研究中，剩余飛行時(shí)間的估計(jì)成為了研究的關(guān)鍵。一方面，一些學(xué)者著重于設(shè)計(jì)對(duì)時(shí)間估計(jì)誤差不敏感的制導(dǎo)律，如文獻(xiàn)[2]。而在文獻(xiàn)[3]在研究具有落角約束的末制導(dǎo)律過(guò)程中，重點(diǎn)分析了剩余飛行時(shí)間估計(jì)誤差對(duì)制導(dǎo)精度的影響。另一方面，現(xiàn)階段時(shí)間估計(jì)方法大都采用剩余航程與近似飛行速度比值進(jìn)行估計(jì)，而不同的導(dǎo)引方法對(duì)以上二者均有較大影響，因此部分學(xué)者針對(duì)不同制導(dǎo)律研究了剩余時(shí)間的高精度估計(jì)方法。文獻(xiàn)[4]針對(duì)傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法(Proportional navigation guidance, PNG)提出了一種剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法，根據(jù)該導(dǎo)引方法特性，在導(dǎo)引末段，軌跡近似于直線，估計(jì)較為準(zhǔn)確，并且對(duì)初始航向角偏差為0的條件下，針對(duì)最優(yōu)制導(dǎo)律推導(dǎo)了其一般剩余時(shí)間估計(jì)方法。文獻(xiàn)[5]在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)PNG方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種帶有剩余時(shí)間估計(jì)并結(jié)合IACG(Impact angle constrained guidance)的制導(dǎo)方法——ITACG，同時(shí)考慮了飛行時(shí)間與落角約束。更進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[6]中提出了彈目視線平均速度法估計(jì)剩余飛行時(shí)間。上述方法均為末制導(dǎo)剩余時(shí)間估計(jì)方法設(shè)計(jì)，此段飛行距離、時(shí)間較短，可以將研究對(duì)象視為勻速運(yùn)動(dòng)或者加速度恒定。而對(duì)滑翔飛行器的再入過(guò)程，其非線性特性較強(qiáng)，上述方法均難以直接應(yīng)用。因此，部分學(xué)者采用了滑?？刂品椒ń鉀Q此類(lèi)問(wèn)題，如文獻(xiàn)[7]中，將該類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)給定時(shí)間的飛行軌跡控制器來(lái)解決。相似地，文獻(xiàn)[8]中，設(shè)計(jì)了滿足落角和飛行時(shí)間約束的末制導(dǎo)方法，文獻(xiàn)[8]是基于傳統(tǒng)終端滑模的滑模導(dǎo)引律只保證有限時(shí)間收斂。然而，在大多數(shù)實(shí)際制導(dǎo)應(yīng)用中，在均勻有限時(shí)間內(nèi)快速收斂到所需的落角是非常重要的。也就是說(shuō)，閉環(huán)收斂時(shí)間可以通過(guò)制導(dǎo)參數(shù)先驗(yàn)估計(jì)。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)快速固定時(shí)間滑模導(dǎo)引律，該導(dǎo)引律可以從任意初始航向角以理想的沖擊角截獲機(jī)動(dòng)目標(biāo)，并解決了系統(tǒng)抖振問(wèn)題。在采用滑模控制方法解決飛行時(shí)間約束方面，文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一種時(shí)變滑模面，針對(duì)靜止或機(jī)動(dòng)幅度較小的目標(biāo)，做了攔截效果分析。文獻(xiàn)[11]中討論了脫靶情況下距離未知或丟失時(shí),利用導(dǎo)引頭測(cè)得的角度和角速度信息預(yù)測(cè)剩余飛行時(shí)間以及其它參數(shù)。以上方法，均為針對(duì)末制導(dǎo)段的導(dǎo)引方法設(shè)計(jì)，其均假設(shè)飛行器速度或者加速度恒定，并且末制導(dǎo)段飛行距離較短，都為飛行時(shí)間的估計(jì)帶來(lái)了方便。對(duì)于飛行環(huán)境更為復(fù)雜，飛行距離更長(zhǎng)，飛行速度變化劇烈的滑翔段開(kāi)展的研究較少，而滑翔段軌跡對(duì)于特定飛行任務(wù)完成起到至關(guān)重要的作用。

文獻(xiàn)[12]提出一種彈道參數(shù)的解析估算方法，該方法從能量的角度出發(fā)，利用準(zhǔn)平衡滑翔條件建立滑翔射程和飛行時(shí)間的解析估算公式；在此基礎(chǔ)上定量地分析研究升阻比、初始速度等彈道參數(shù)對(duì)滑翔射程和時(shí)間的影響規(guī)律；同時(shí)在理論上分析了最小能量橢圓彈道的射程和飛行時(shí)間特性。文獻(xiàn)[13]采用將升力系數(shù)分解的思路獲得了滑翔段高度及射程、彈道偏角、經(jīng)度、緯度和速度的解析解。為實(shí)現(xiàn)在線快速進(jìn)行彈道規(guī)劃奠定了基礎(chǔ)。

文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了一種非線性飛行控制和非線性狀態(tài)觀測(cè)器，將飛行時(shí)間控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性最優(yōu)控制問(wèn)題，通過(guò)攝動(dòng)過(guò)程近似求解相關(guān)的哈密頓—雅可比貝爾曼方程，設(shè)計(jì)了一個(gè)閉式最優(yōu)控制律。進(jìn)而提出了一種基于虛擬目標(biāo)的多飛行器協(xié)同攻擊制導(dǎo)方法。但其研究模型為帶有推進(jìn)動(dòng)力，速度可控的飛行器，其控制方法具有一定的局限性。文獻(xiàn)[15]提出了一種基于態(tài)勢(shì)評(píng)估的多飛行器協(xié)同攻擊多目標(biāo)任務(wù)決策方法,研究了基于D-S證據(jù)理論的態(tài)勢(shì)評(píng)估數(shù)學(xué)模型和基于博弈論的任務(wù)決策數(shù)學(xué)模型，但是并未提出具體導(dǎo)引方法。

在軌跡協(xié)同設(shè)計(jì)方面，文獻(xiàn)[16]復(fù)雜動(dòng)態(tài)環(huán)境下勻速率多無(wú)人飛行器的動(dòng)態(tài)障礙規(guī)避問(wèn)題,針對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的不等式約束引入松弛變量并結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)松弛變量動(dòng)力學(xué)實(shí)現(xiàn)對(duì)一個(gè)或多個(gè)或同時(shí)多個(gè)動(dòng)態(tài)障礙的安全規(guī)避。文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)了一種分布式一體化協(xié)同制導(dǎo)與控制律，保證從彈在位置和速度上協(xié)同一致地趨近于期望空間構(gòu)型并使得從彈有和領(lǐng)彈近乎相同的攻擊角度。文獻(xiàn)[18]針對(duì)吸氣式高超聲速飛行器突防問(wèn)題，提出了以終端橫縱向位置偏差最大和控制能量最小為性能指標(biāo)，基于優(yōu)化模型預(yù)測(cè)靜態(tài)規(guī)劃算法。在滿足控制輸入飽和限制情況下得出了飛行器的突防軌跡，通過(guò)對(duì)控制輸入和期望終端狀態(tài)偏差權(quán)重矩陣的自適應(yīng)調(diào)整，保證了飛行器控制輸入飽和限制情況下的收斂速度，有效增強(qiáng)了不同初始設(shè)置和約束情況下的收斂魯棒性。

基于上述考慮，本文開(kāi)展了帶有時(shí)間約束的滑翔軌跡設(shè)計(jì)研究。首先，將再入模型合理簡(jiǎn)化并對(duì)再入軌跡進(jìn)行分段。而后，推導(dǎo)了剩余飛行時(shí)間與剩余航程的解析估算式，采用預(yù)測(cè)校正的思想，在滑翔段確定傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)時(shí)機(jī)與幅值大小。通過(guò)時(shí)間調(diào)整段與能量管理段配合滿足滑翔段飛行時(shí)間約束與交班點(diǎn)狀態(tài)要求。最后，通過(guò)數(shù)學(xué)仿真校驗(yàn)了本文算法的有效性與魯棒性。

1 問(wèn)題描述與分析

1.1 再入運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

假設(shè)地球?yàn)殪o止圓球模型，描述飛行器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變量包括地心距r、經(jīng)度λ、地心緯度φ、速度大小V、當(dāng)?shù)厮俣葍A角θ、航跡偏角σ、攻角α以及傾側(cè)角υ。以時(shí)間t為自變量的高超聲速滑翔飛行器運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

式中：g=μ/r2為地球引力加速度，μ為地球引力常數(shù)；而L，D分別為升力加速度和阻力加速度的大小，即：

(2)

(3)

且二者滿足關(guān)系：

(4)

式中:M為飛行器質(zhì)量；Sr為參考面積；CL,CD為升力系數(shù)和阻力系數(shù)，通常為攻角α和飛行器馬赫數(shù)Ma的函數(shù)；ρ為大氣密度，有：

(5)

式中:Hs=7110 m,ρ0=1.225 kg/m3，H為飛行器飛行高度。

1.2 再入軌跡分段設(shè)計(jì)

本文將再入軌跡分為如圖1所示各段。AB段為初始下降段，在此階段以較大攻角與0傾側(cè)角飛行，保證飛行器盡快進(jìn)入再入飛行走廊，同時(shí)給后續(xù)飛行時(shí)間留有足夠的調(diào)節(jié)余量。BC段為拉起段，使得飛行器平穩(wěn)過(guò)渡至滑翔段并朝向目標(biāo)飛行。CE段為準(zhǔn)平衡滑翔段，其中，CD段為時(shí)間調(diào)整段，在滑翔末段DE段，本文采取能量管理方法，滿足終端約束要求。EF為下壓段，飛行器轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)階段。本文主要針對(duì)AE段進(jìn)行設(shè)計(jì)。

圖1 再入軌跡分段示意圖Fig.1 Gliding trajectory segmentation

綜上，針對(duì)本文研究帶有時(shí)間約束的滑翔段軌跡設(shè)計(jì)問(wèn)題可以描述為，滿足各項(xiàng)過(guò)程約束的前提下，在滑翔末端(E點(diǎn))滿足位置、高度以及速度大小約束以及飛行時(shí)間約束，即λE=λc，φE=φc，hE=hc，VE=Vc，tE=tc。其中，(λc,φc,hc,Vc,tc)為要求末端約束狀態(tài)。

2 再入段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

首先，在速度系中構(gòu)建以下運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

(6)

(7)

2.1 初始下降段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

在再入滑翔過(guò)程中，飛行器在臨近空間長(zhǎng)時(shí)間高速飛行，借鑒航天飛機(jī)再入攻角剖面的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)。在初始段以大攻角飛行，可以減輕熱防護(hù)的負(fù)擔(dān)，盡快進(jìn)入再入飛行走廊。所以本階段導(dǎo)引律為：

αc=αmax，υc=0

(8)

2.2 拉起段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

該階段導(dǎo)引任務(wù)為：將飛行器平穩(wěn)過(guò)渡至平衡滑翔段，并使飛行器朝向目標(biāo)飛行，因此，需要分別構(gòu)建縱向與側(cè)向制導(dǎo)律。

根據(jù)本文飛行器飛行特性，在拉起段，攻角α=α0，由此，可以得到：

(9)

結(jié)合式(1)及準(zhǔn)平衡滑翔條件，可以得到：

(10)

由此，可以得到期望高度變化率為：

(11)

(12)

結(jié)合式(5)，可以得到：

(13)

將式(13)代入式(12)，可以得到：

(14)

為了消除飛行器飛行過(guò)程中所產(chǎn)生的長(zhǎng)周期震蕩，使飛行器的軌跡傾角變化率小，實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)滑翔引入了高度變化反饋。結(jié)合式(9)，可以得到縱向?qū)б蔀椋?/p>

(15)

2.3 滑翔段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了完成帶有時(shí)間約束的滑翔段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，需要對(duì)剩余時(shí)間有較為準(zhǔn)確的估計(jì)。因此，本節(jié)首先根據(jù)準(zhǔn)平衡滑翔條件推導(dǎo)剩余時(shí)間表達(dá)式，同時(shí)，以剩余待飛距離為指標(biāo)，對(duì)滑翔末段進(jìn)行能量管理，采用預(yù)測(cè)—校正方法可以得到本段到導(dǎo)引律。

由于飛行器高度H遠(yuǎn)小于地球半徑Re，即r/Re≈1,結(jié)合式(1)可以得到：

(16)

即：

(17)

對(duì)上式兩邊進(jìn)行積分，得到：

(18)

由此，可以得到剩余飛行時(shí)間的解析估算表達(dá)式為：

(19)

下面進(jìn)行剩余航程解析估算式推導(dǎo)。由式(1)得到：

(20)

結(jié)合式(17)，可以得到：

(21)

同樣地，對(duì)上式進(jìn)行積分，可以得到：

(22)

由此，可以得到剩余航程的估算表達(dá)式：

(23)

結(jié)合式(19)以及式(23)，可以得到：

(24)

(25)

將式(24)代入式(25)可以得到：

(26)

(27)

(28)

2.4 能量管理段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本段導(dǎo)引任務(wù)為：根據(jù)先前解析預(yù)測(cè)末速度與滿足時(shí)間約束末速度比較，在本段通過(guò)改變傾側(cè)角幅值與大小，消耗多余能量，從而滿足終端約束。與上節(jié)類(lèi)似，首先確定傾側(cè)角大小，而后通過(guò)側(cè)向邊界確定調(diào)整傾側(cè)角符號(hào)。

(29)

根據(jù)上式，需要的傾側(cè)角可以通過(guò)下式計(jì)算：

(30)

(31)

3 仿真校驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文時(shí)間制導(dǎo)律效果，首先在理想情況下，選取了3組初始再入條件不同的飛行器進(jìn)行仿真比較。而后在第3.2節(jié)中，給出存在大氣密度偏差、氣動(dòng)系數(shù)偏差、以及再入質(zhì)量偏差等條件下本文算法仿真計(jì)算結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的導(dǎo)引效果。

3.1 算例一

本算例中主要校驗(yàn)不同初始狀態(tài)條件下，本文方法導(dǎo)引效果。初始點(diǎn)經(jīng)緯高分別為(0°，12.2°，80 km)，(-0.12°，12.0°，80 km)，(0°，12.1°，80 km)。目標(biāo)點(diǎn)為(0°，53.4°，32.5 km)，初始速度大小分別為6000 m/s，6080 m/s，5920 m/s。初始彈道傾角為-3°，初始方位角為0°，要求飛行時(shí)間為1235 s，末速度大小為1450 m/s。

仿真結(jié)果如圖2所示：

圖2 高度隨時(shí)間變化曲線Fig.2 Altitude vs time

圖3 經(jīng)度隨時(shí)間變化曲線Fig.3 Longitude vs time

圖4 滑翔全段緯度隨時(shí)間變化曲線(0～1235 s)Fig.4 Latitude vs time (0～1235 s)

圖5 緯度隨時(shí)間變化局部曲線(430～510 s)Fig.5 Latitude vs time(430～510 s)

圖6 緯度隨時(shí)間變化局部曲線(1129～1132 s)Fig.6 Latitude vs time(1129～1132 s)

圖7 攻角隨時(shí)間變化曲線Fig.7 Attack angle vs time

圖8 傾側(cè)角隨時(shí)間變化曲線Fig.8 Bank angle vs time

導(dǎo)引結(jié)果如表1所示：

表1 本文方法導(dǎo)引結(jié)果Table 1 Guidance results

以上仿真結(jié)果表明,圖2,7表明為了快速進(jìn)入飛行走廊，初始段采用固定最大攻角20°飛行，由于三者再入速度大小差異，導(dǎo)致拉起高度分別為46.06 km，46.54 km，45.95 km。圖3,7,8表明在時(shí)間調(diào)整段，飛行器2由于速度最大，從223.8 s開(kāi)始較先采用大傾側(cè)角40°的制導(dǎo)方案，進(jìn)行側(cè)向機(jī)動(dòng)實(shí)現(xiàn)減速，其他兩飛行器開(kāi)始側(cè)向機(jī)動(dòng)時(shí)間分別為252.7 s、405.6 s，同時(shí)為了滿足末端能量要求，三者均進(jìn)行了側(cè)向機(jī)動(dòng)，最大機(jī)動(dòng)幅度分別為15.85 km、17.81 km、13.39 km且機(jī)動(dòng)幅度呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)，側(cè)向偏差逐步收斂至0。圖5，6分別為時(shí)間調(diào)整段和能量調(diào)整段緯度隨時(shí)間變化圖線，其結(jié)果表明，在滑翔初段，受初始飛行條件不同影響，各飛行器緯度差值最大為0.08°，而在能量調(diào)整段，各飛行器緯度差值最大已不超過(guò)0.01°。同樣地，速度偏差在400～800 s內(nèi)，最大差值為55 m /s；在800～1235 s內(nèi)，最大僅為12 m/s，即在滑翔末段，各飛行器飛行狀態(tài)趨于一致，時(shí)間約束指標(biāo)給定較為合理。從表1可以得到，各飛行器均能精確滿足時(shí)間約束，緯度偏差最大為0.02°，高度偏差最大為80.4 m。此算例結(jié)果表明，本文導(dǎo)引方法能精確滿足飛行時(shí)間約束，并且其他終端約束偏差較小，能順利實(shí)現(xiàn)交班。

3.2 算例二

第3.1節(jié)在理想情況下進(jìn)行了仿真計(jì)算，本節(jié)算例考慮在存在大氣密度偏差Δρ與氣動(dòng)力系數(shù)偏差ΔCL,ΔCD，初始質(zhì)量偏差Δm的情況下，校驗(yàn)本文方法。

表2中的仿真結(jié)果表明,結(jié)合表1，表2導(dǎo)引結(jié)果，飛行器初始狀態(tài)偏差對(duì)飛行時(shí)間以及終端飛行狀態(tài)影響不大，其他干擾項(xiàng)對(duì)導(dǎo)引結(jié)果影響較為顯著。進(jìn)一步由仿真結(jié)果可以看出，在考慮再入質(zhì)量偏差，氣動(dòng)系數(shù)偏出以及大氣密度偏差的情況下，本文導(dǎo)引方法結(jié)果，飛行時(shí)間偏差最大僅為7.0 s，經(jīng)緯高最大偏差分別為0.03°、0.01°、1.41 km。總體而言，本文終端狀態(tài)誤差較小，導(dǎo)引方法具有一定魯棒性。

表2 本文方法導(dǎo)引結(jié)果Table 2 Guidance results

3.3 算例三

在本節(jié)中，首先在剩余時(shí)間和剩余射程估算方面，采用本文方法與文獻(xiàn)[7]方法進(jìn)行了仿真對(duì)比。仿真初始條件及過(guò)程約束均采用3.1節(jié)中飛行器1相關(guān)參數(shù)。仿真結(jié)果如表3所示。其次，針對(duì)具體飛行任務(wù)，應(yīng)用本文和文獻(xiàn)[7]方法進(jìn)行了多組對(duì)比仿真。結(jié)果如表4所示。由表3可以看出，本文剩余飛行時(shí)間和航程估算方法具有較高精度，剩余航程最大相對(duì)偏差為1.20%，剩余飛行時(shí)間最大相對(duì)偏差為3.28%，并且在接近交班點(diǎn)過(guò)程中估計(jì)誤差迅速降低，收斂至仿真結(jié)果。而文獻(xiàn)[7]方法對(duì)剩余航程與剩余飛行最大相對(duì)偏差為24.62%、10.56%。對(duì)比文獻(xiàn)[7]方法，本文估算方法大大提高了解析估算精度，對(duì)滑翔軌跡剩余航程及時(shí)間估測(cè)具有良好適用性，為滿足時(shí)間約束的制導(dǎo)方法設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。從表4也可以看出，本文制導(dǎo)方法可以精確滿足時(shí)間約束，最大相對(duì)偏差在0.1%內(nèi)。而文獻(xiàn)[7]導(dǎo)引結(jié)果最大相對(duì)偏差為13.08%，無(wú)法滿足工程需求。

表3 對(duì)比仿真結(jié)果Table 3 Comparison of simulation results

表4 導(dǎo)引方法對(duì)比仿真結(jié)果Table 4 Comparison of guidance laws simulation results

4 結(jié) 論

本文在復(fù)雜約束條件下，完成了一種帶有時(shí)間約束的再入滑翔軌跡的設(shè)計(jì)方法研究。仿真結(jié)果表明：在可行的給定時(shí)間約束范圍內(nèi)，本文制導(dǎo)方法能滿足各項(xiàng)過(guò)程約束和端點(diǎn)約束，實(shí)現(xiàn)與末制導(dǎo)的順利交班，并且本文提出的制導(dǎo)方法具有一定的魯棒性。相較于文獻(xiàn)[7]提出的方法而言，本文方法具有較高估算精度，并且導(dǎo)引方法可以精確滿足末端約束。更為重要的是，本文方法并沒(méi)有諸如速度恒定或者加速度恒定等嚴(yán)苛假設(shè)，更有利于工程實(shí)現(xiàn)。為無(wú)動(dòng)力滑翔式飛行器協(xié)同飛行制導(dǎo)方法設(shè)計(jì)提供了一定的參考。