分片響應面法在隨機振動響應分析中的應用

朱思宇 李永樂 向天宇

摘要：在分析結(jié)構(gòu)的隨機振動響應時，響應面法（Response Surface Method）可有效地降低隨機仿真的計算代價。然而，當隨機變量存在大變異系數(shù)時，傳統(tǒng)的響應面法無法滿足所要求的精度。分片響應面基于對隨機變量變異系數(shù)進行合理分塊的原則，縮小響應面的近似范圍，并對分割后的響應面進行獨立分析，從而提高了響應面在該空間的近似精度。首先采用分塊響應面法結(jié)合蒙特卡洛MC抽樣技術，以單質(zhì)點振子模型的隨機振動響應為算例，對分塊響應面法的正確性進行驗證。計算結(jié)果表明，在隨機變量的變異系數(shù)不大時，分片響應面法的計算精度不低于傳統(tǒng)響應面法，而當隨機變量具有大變異系數(shù)時，分片響應面法的近似精度遠高于傳統(tǒng)響應面法。此外，以隨機地震動作用下的橋墩隨機振動為背景，將該方法進行了進一步地推廣及應用。

關鍵詞：隨機振動;響應面法;蒙特卡洛方法;分片響應面法;變異系數(shù)

中圖分類號：0324;P315.9 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0105-06

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.012

引言

對于經(jīng)典隨機振動分析理論來說，往往采用結(jié)構(gòu)響應的方差值作為響應結(jié)果統(tǒng)計量的目標值進行求解。然而，當不確定性參數(shù)參與隨機振動計算中時，經(jīng)典的隨機振動理論將不再適用于求解工作，僅僅得到結(jié)構(gòu)響應的方差結(jié)果也不再能夠滿足計算要求。針對大型復雜結(jié)構(gòu)的隨機振動問題，蒙特卡洛（Mc）方法存在著計算耗能過大的缺點，無法適用于求解工作。

響應面法是一種常用的近似技術，它通過對函數(shù)的一系列已知點進行擬合從而推測函數(shù)的變化趨勢。Faravelli以最小二乘法來估算響應面的系數(shù)建立了以實驗設計為基礎的響應面法;Das等對響應面含交叉二次項的二次多項式展開討論，通過保留對可靠度計算影響較大的交叉項改進的響應面法，與不含交叉項的二次多項式進行相比，其計算精度有所提高;Gupta等提出改進的響應面函數(shù)，當某些變量貢獻比較小時用一常數(shù)代替變量值，進行模型轉(zhuǎn)換。Der Kiureghian等提出了基于概率配點法的隨機響應面方法，并首次運用于環(huán)境和生物系統(tǒng)的不確定性分析。在國外，響應面法已在結(jié)構(gòu)可靠度分析領域得到了廣泛的應用。

近年來，響應面的改進方法取得了長足的進步，均能夠有效地提高其計算的精度和效率。但是，隨機變量存在大變異系數(shù)情況下，響應面模擬精度問題的相關研究較少。本文對傳統(tǒng)響應面法進行改進，并提出了分片響應面法，旨在解決大變異系數(shù)隨機變量的模擬精度問題，并提供一定的數(shù)據(jù)支持。運用所提出方法，以單質(zhì)點振子在高斯白噪聲激勵作用下的隨機振動響應為例，與直接MC抽樣結(jié)果進行對比，驗證了分片響應面法的正確性。此外，將分片響應面法結(jié)合MC抽樣技術運用于隨機地震激勵作用下的橋墩結(jié)構(gòu)的隨機振動響應分析。

1理論方法

1.1不確定性虛擬激勵算法

響應面擬合過程中的樣本分析采用了不確定性虛擬激勵法，該方法以虛擬激勵算法的核心思想為基礎，將所模擬的虛擬激勵轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂须S機特性的輸入激勵（稱之為不確定性虛擬激勵），有別于確定性結(jié)構(gòu)的隨機振動響應分析過程。本文以多自由

2單質(zhì)點振子隨機振動響應分析

本文首先采用平穩(wěn)白噪聲激勵下的單自由度振子隨機振動響應進行驗證。其線性振子運動方程可表示為

分析結(jié)構(gòu)的隨機振動時，考慮功率譜密度函數(shù)的對稱性，按單邊譜計算。由于圓頻率隨機性對結(jié)構(gòu)響應方差影響相對于阻尼比隨機性來說較小，本文選取圓頻率均值1.0，圓頻率變異系數(shù)0.05，阻尼比均值0.03，阻尼比變異系數(shù)0.2-0.8進行響應面擬合。根據(jù)阻尼比變異系數(shù)，繪制得到了相應的概率密度曲線，并對其進行分片處理，如表1所示。基于所劃分的概率密度函數(shù)子區(qū)問，帶人式（15）進行求解后并整合得到最終結(jié)果。不同阻尼比變異系數(shù)下的直接響應面法和分片響應面法計算的結(jié)構(gòu)響應的標準差與直接MC抽樣計算結(jié)果比較如表2所示，概率密度曲線擬合如圖1所示。

從表2分析得出，當阻尼比變異系數(shù)小于0.4的時候，采用直接響應面法求解所得結(jié)果滿足工程精度要求，但當阻尼比逐漸增大，直接響應面法所得結(jié)果與MC抽樣結(jié)果的匹配度不斷降低，無法滿足工程精度要求。但是，無論阻尼比變異系數(shù)如何變化，分片響應面法運算結(jié)果均能滿足精度要求。

從圖1可以看出，當阻尼比變異系數(shù)較小時，直接響應面法計算的概率密度曲線結(jié)果與直接MC抽樣可以較好地吻合，當阻尼比變異系數(shù)取0.4時已經(jīng)出現(xiàn)吻合偏差，隨著阻尼比變異系數(shù)逐漸增大，直接利用響應面擬合結(jié)構(gòu)的響應誤差也越來越大。當阻尼比變異系數(shù)取0.6-0.8時，已經(jīng)明顯不滿足工程精度。本文提出對阻尼比大的變異系數(shù)取值進行區(qū)問劃分重新擬合響應面的方法可以較好地解決該問題。經(jīng)過對阻尼比進行區(qū)問劃分（本文劃分成5個區(qū)問）之后，再進行響應面擬合，可以較好地與直接MC抽樣吻合。

3橋墩結(jié)構(gòu)在地震作用下隨機振動響應分析

3.1橋墩工程背景介紹

計算所用的橋墩是某鐵路特大橋梁的混凝土橋墩，該橋墩高度為60m，橋墩采用變截面，頂端5m采用實心截面;底端5m采用實心截面，截面面積（9×6.5）m²;中問采用空心截面，壁厚從0.5m變化到1.2m。該橋墩采用C30混凝土材料，場地類型按Ⅱ類場地計算，地震強度So=0.01m²/s，具體結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3所示。

3.2不同阻尼比變異系數(shù)對橋墩在地震隨機振動下響應的影響

對該橋墩的阻尼比變異系數(shù)取0.2-0.8進行研究，其他參數(shù)選取如表4所示。地震的加速度功率譜采用日本學者Kanai和Tajimi建議的過濾白噪聲模型，即

分片響應面的區(qū)問劃分規(guī)律依然采用表2劃分的結(jié)果，將阻尼比劃分子區(qū)問與其余隨機變量相結(jié)合，帶人橋墩模型中進行隨機地震動分析，結(jié)構(gòu)響應的標準差如表4所示，結(jié)構(gòu)響應的概率密度曲線比較如圖3所示。

從表4分析得知，在地震隨機振動的激勵下，隨著結(jié)構(gòu)阻尼比變異系數(shù)的增大，結(jié)構(gòu)響應方差也明顯呈增大趨勢。而阻尼比的大變異性導致了響應面的極度不光滑，以致采用直接響應面法擬合響應方差呈現(xiàn)明顯偏差;采用分片響應面法時，根據(jù)阻尼比變異系數(shù)劃分響應面，盡可能精確模擬結(jié)構(gòu)響應標準差，從結(jié)果看，結(jié)構(gòu)響應的標準差也是平滑增大。

從圖3可以看出，在地震隨機振動的激勵下，當阻尼比變異系數(shù)較小時，采用直接響應面法與分片響應面法擬合吻合較好，隨著阻尼比的變異系數(shù)增大，兩種方法吻合偏差逐漸增大，尤其當阻尼比變異系數(shù)達到0.8的時候，吻合偏差無法滿足工程精度要求，因此分片響應面法在具體工程中具有實際工程意義。

4結(jié)論

（1）結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機性對結(jié)構(gòu)響應影響較大，例如阻尼比變異系數(shù)取0.8時，考慮結(jié)構(gòu)隨機性進行結(jié)構(gòu)響應標準差分析，比不考慮結(jié)構(gòu)隨機性分析增大28.66%。而實際結(jié)構(gòu)參數(shù)由于多種因素必然存在隨機性，因此研究結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機性對結(jié)構(gòu)隨機振動的影響具有一定的工程實際意義。

（2）提出了一種分片響應面方法，該方法旨在對變異系數(shù)較大的隨機變量進行區(qū)問劃分，并根據(jù)該參數(shù)取值大小在計算所得的子區(qū)問響應面上進行近似插值。該方法不但具有響應面法的連續(xù)性，而且能夠在較大范圍內(nèi)對結(jié)構(gòu)響應進行近似模擬，并且計算簡單、準確。計算結(jié)果表明，分片響應面法能夠滿足工程精度的要求。

（3）阻尼比變異系數(shù)對橋墩結(jié)構(gòu)在地震隨機激勵下的結(jié)構(gòu)響應影響較大，采用分片響應面法可以很好地解決大阻尼比變異系數(shù)對結(jié)構(gòu)隨機振動的影響。