初中數學常見最短距離問題及解法

歐偉榮

（四川省南充市吉安初級中學，四川 南充 637946）

一、解題基礎

初中數學中，最短距離問題的基本題型主要包含了以下幾種：（1）點與點之間的最短距離解題思路就是點與點之間的直線距離是最短的，兩點之間的所有線段中，直線段最短；（2）點到線的最短距離，解題思路為點與線的垂線段最短，點到直線的距離中，以點為起點，向直線作垂線，垂線段距離最短；（3）線段距離之和，對點進行軸對稱變換處理。在初中階段，最短距離問題多以將軍飲馬、建廠選址為實例。在已知直線上存在一個動點，如果要滿足距離最短要求，同樣利用的是兩點之間線段最短的思路，最終所確定的線段與直線的交點就是最終的動點，而在這一條件下，同樣有效驗證了三角性兩邊之和大于第三邊結論的正確性。

二、基本題型——螞蟻爬行問題

（一）正方體

一為棱長為a的正方體，在頂點A處存在一只螞蟻，如果它想要吃到B點的食物，需沿著正方形的表面開始爬行，那么，在此過程中，這只螞蟻需要爬行的最短距離是多少？

分析：將正方體表面展開，將頂點A與頂點B連接起來，那么，此問題也就轉化為了求線段AB的長度，這一長度也就是螞蟻爬行的最短距離。由于△ABC為直角三角形，AB=2a，BC=a，根據勾股定理，也就可以求得AB的長度。AB=√AC2+BC2=√5a。這一解題思路同樣可以被放在長方體的解題思路中。

長方體的長、寬、高分別為a、b、c，存在a ＞b ＞c ＞0，在頂點A處有一只螞蟻，如果它想吃到頂點B處的食物，沿著正方體表面爬行，則它需要爬行的最短距離是多少？

解：從點A到B有3條不同的路徑可選，如圖1所示，根據不同的展開方式，其路徑長短也有所不同，在連接AB以后，AB的長度也有所不同。

路線①，當長為b、c的邊展開以后在同一條直線時，根據勾股定理，

路線②，當長為a、c的邊展開后在同一直線上時，根據勾股定理，

路線③，當長為a、b的邊展開后在同一直線上時，根據勾股定理，

因為存在a ＞b ＞c ＞0，所以，1l是最短距離。

（二）圓柱體

如圖2，在圓柱體中，在點A處有一只螞蟻，它如果想吃到點B處的食物，沿著圓柱體的表面爬行時，爬行的最短距離是多少？

分析：設該圓柱體的底面半徑為r，高為h，螞蟻從點A沿著圓柱體的表面爬行，到點B吃食物，如何爬行，才能夠使得總體的爬行距離最短？這種情況下，有兩條路徑可以選擇，路徑1如圖3，也就是A-B，路徑2如圖4，也就是A-C-B，其中，哪一條路徑最短？

路徑2下，路徑長度為l2=AC+B=h+2r

（三）圓錐體

如圖5，圓錐的底面半徑為2，母線長12，一只螞蟻從點A出發沿著圓錐側面爬行一周以后再次回到A點，那么此時，螞蟻的最短爬行路徑是多少？

分析：要使得螞蟻在圓錐側面爬行的路徑最短，要首先將圓錐側面展開，利用兩點之間線段最短的原理來找出最短路徑，進而求解。

解：圓錐側面展開以后如圖6所示，在將圓錐側面展開以后，圓錐側面展開弧長與圓錐底面圓的周長相等。因此，存在以下關系：根據這一公式，可以求解得出，n=60°，連接AA＇，存在SA=SA＇，這種情況下，△SAA＇為等邊三角形，AA＇=12。

結束語

近年來，隨著新課程改革的深入進行，在初中數學的教學中，最短距離問題是最為常見的考點，雖然題型多樣，但是，解題思路無外乎幾種，在最短距離的求解過程中，有關人員必須要首先判定題型的具體情況，進而在此基礎上來采取恰當的解題思路，使得能夠在最短的時間內獲得相應的結果，用數學思維來解決實際問題。