凸顯本質，發展代數思維
——“ 方程的意義”教學實踐與思考

江蘇太倉市城廂鎮第一小學 陳 瑛

現行小學數學教材中將方程定義為 “含有未知數的等式是方程”。 不少教師在教學中緊扣定義，從若干等式和不等式中讓學生發現方程的特征，并在定義中尋找關鍵詞“含有未知數” “等式”，認為只要符合以上兩點，這個式子就是方程。這樣的教學片面追求了方程的“形”，忽略了方程的本質。

一、叩問：方程的本質是什么

縱觀蘇教版、人教版、北師大版等教材，幾乎一致定義：“含有未知數的等式是方程。”這句話意味著方程是等式里的一類特殊對象，“等式+含有未知數→方程”。如果教學只停留在這個程度，那只是表層與形式化的理解，但從長遠來看，學生對方程的意義并不理解，這樣的學習是有缺失的，不深刻的。比如，對于2x-x=x 這樣的等式，按照方程的字面含義，學生會默認為這就是方程，但這其實表示的是符號的運算，不是真正意義上的方程，它并未體現“求”未知數的過程。因此，對于方程的本質教師需要有明確的認識，教師的高度將直接決定學生思維的深度。

張奠宙先生也曾質疑這一定義，他認為方程概念的核心是“求”未知數，方程作為一種數學模型是為了去“解”的。為此，張奠宙先生給出了一個替代性定義：“方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系。”筆者對這一定義深表贊同，他把方程的核心價值提煉出來了。方程意義的建構需要建立在對相等關系的理解上，這種相等關系不僅包括已知量和未知量之間的相等關系，也包含未知量與未知量之間的相等關系。這樣的學習方式，不直奔結果，不停留在表象，而是深入本質，是動態深度的學習過程，對學生代數思維的培養及核心素養的提升較有幫助。

二、慎思：如何讓學生對方程概念理解深刻

方程是學生從算術轉入代數的第一次正式系統認識，這種認識的深刻與否將影響到學生后期列方程解決問題及初高中對于一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程，甚至是多元方程的理解與運用。小學階段只學習簡易方程，即只限于ax±b=c,ax±bx=c 的方程。事實上，小學生在學習方程過程中會遇到實際困難，如不能很好理解已知數和未知數之間的平等關系；不能找準等量關系列出方程；不能正確區分恒等變換和同解變換等。鑒于此，方程的意義教學尤為關鍵，筆者認為可以從以下三方面幫助學生對方程概念的理解走向深刻。

1.尋找聯結，孕伏滲透

方程所蘊含的代數思維并不是從這節課才開始建立，早在學生一年級起就已經進行了孕伏滲透，如一年級有形如：8+（ ）=10 的填空。學生可以根據10 的分與合及算加法想減法10-8=2 等方式來解決問題，這是早期代數思維的啟蒙，這種逆向思考對后續的求解方程具有很大的作用。到了五年級系統學習方程時，教師可充分尋找知識間的聯結點，以熟悉的低年級情境引入，通過逆向求解和順向列式的方式，讓學生充分體會到算術和方程的聯系與區別。

2.變逆為順，深入核心

由于長期受算術思維的影響，學生解決問題的常用方式是算術表達。而方程是順著題意，在已知量和未知量之間建立的等式關系。因此，學生只有正確尋找到題目中的等量關系，才能更好地列出方程，從而突破未知數的求解。

3.多元表征，豐富意義

隨著方程學習的不斷深入，練習的選擇需要具有一定的典型性和深入性，直指知識的本質，讓學生不斷走向深度學習。此時，可以將書本習題進行改編重組，挖掘資源，凸顯核心價值。如根據一幅圖列出方程，學生在圖中找到的等量關系不同，列出的方程也不同。此時將情境圖范圍縮減，變成簡易關系圖，讓學生給這幅圖賦予不同的情境，拓寬學生的思維。

三、實踐：凸顯核心的意義建構，讓代數思維走向深入

如何把握方程的本質，讓學生深入理解方程的概念？筆者進行了嘗試：

片段一：勾連創造方程，初步體會屬性

出示情境圖：

師：一年級的題，你會嗎？

生：太簡單了，15-9=6。

師：一年級有個小朋友想不明白，他想順著題目的意思，9 加多少等于15 呢？他想啊想，終于想出來了，9+6=15，但是看著這個算式又覺得怪怪的，答案不是15，是6 呀。你能幫他想個辦法嗎？

（教師引導學生用符號或字母表達，如9+□=15,9+（ ）=15,9+a=15,9+x=15……隨后又呈現幾個熟悉的情境圖，通過逆向思維求解，通過順向思維列出方程）

在這個過程中，學生經歷了逆向思考求解問題、順向思考列出方程的過程，從原有算術思維邁入代數思維，這個過程是學生親自經歷的，因此，對于方程的屬性已有初步認識，同時隨著題目的求解難度提高，越來越深刻地意識到用順向思考列式更加簡單，這無形中解決了學生不愿用方程解決問題的困惑。

片段二：建立等量模型，理解方程本質

學生借助天平先認識了平衡和不平衡兩種現象，并聚焦到平衡關系中。根據天平平衡理解左右兩邊的質量是相等的，從而確定了其中的等量關系：2 個20克砝碼的質量+10 克砝碼的質量=50 克砝碼的質量。

師：你能用一個式子把這種相等關系表示出來嗎？

生：20+20+10=50 或 20×2+10=50

（學生通過這樣的方式明確了如何尋找相等關系，并根據相等關系列出等式。隨后小組內交流課前小研究，先說說相等關系再交流式子）

思考：每幅圖中存在怎樣的相等關系？

學生交流：

圖一：相等關系：蘋果的質量+梨的質量=200 克砝碼的質量+100 克砝碼的質量

式子：x+y=200+100

圖二：相等關系：三本數學故事的價格=15.6 元

式子：3a=15.6

圖三：相等關系：甲車的速度×甲車行駛的時間=乙車的速度×乙車行駛的時間

式子：100×4=80×5

接著，將課始列出的式子與剛才的式子放在一起觀察，明確把表示相等關系的數學式子稱為等式。

師：同樣都是等式，有什么不同？

指出：有些等式表示的是已知數之間的相等關系，而有些表示的是已知數和未知數之間的相等關系。像這些表示已知數和已知數相等關系的式子只是等式，而含有未知數的等式就是方程。

師：我們可以順著題目的意思，帶著一個或多個未知數，把相等關系用等式表示出來，這樣的等式就是方程。

天平不僅體現了不同物體的質量關系，還能具體到稱量物體的質量，將一種模糊的平衡或不平衡的狀態，變得更精確、更具體，具體到可操作、可表達。因此，等量關系的難點突破從天平入手，從已知量間的平衡關系引出相等關系，構建已知量與已知量間的等量關系。隨后出現一些常見的等量模型，讓學生深入理解等量關系。這些圖片中，出現了一些未知量，學生之前已經學過用字母表示數，因此，對于這些字母并不陌生，可借助等量關系列出相應等式。

在對比環節區分了等式和方程，同時結合一開始的順向思維，將方程的概念進行了深入理解，此時，方程的定義呼之欲出，并不僅局限于字面，學生不僅知道方程是含有未知數的，并且是等式，更知道方程是在順著題目意思的情況下，帶著一個或多個未知數，把相等關系表達出來的過程。這也呼應了張奠宙先生對方程本質的理解。

片段三：深化理解意義，發展代數思維

師：看圖先說說相等關系，再列方程。

學生根據圖意依次列出4x=400，發現三幅圖情境不一樣，但卻可以用相同的方程式表達。

師：4x=400 還可以表示什么？

教師引導學生展開想象：汽車每小時行駛x 千米，4 小時共行駛400 千米；一個工廠每小時生產x 個零件，4 小時生產400個零件；一個書架有課外書x 本，4 個書架共400 本……

這一拓展練習既鞏固了相等關系，又從不同情境中尋找相同結構模型，進而引發學生思考，這一方程模型除了可以表示這三種情境，還可以表示什么，讓學生充分展開聯想。學生在尋找同一結構的不同問題情境過程中體會方程模型的普適性，將深度學習落到實處。學生會舉例、會解釋、會運用，才是真正地理解。這一過程不僅發展了學生的數學思維，又提升了數學素養。

方程，不僅是含有未知數的等式，更是體現已知量與未知量、未知量與未知量之間相等關系的等式，它是為解決問題而來。方程意義的理解，著眼點在“相等關系”（即“等量關系”）。它是學生從算術思維方式轉向代數思維方式的一次巨大轉變，學生的代數思維開始發展。挖掘知識的本質，將其凸顯，尋求合理的思維發展過程，以核心問題促概念的深入理解。教學中不斷追求學生從淺層學習到深度理解，最終促進學生核心素養的提升。