通過線性規劃優化一類生活問題

蘇彤

【摘 ?要】論文旨在利用線性規化方法為人們提供一個切實可行的膳食方案。在確保每天可以攝入足夠的營養元素以及兼顧個人飲食偏好的情況下，使得成本降到最低，解決膳食一類的生活問題。

【Abstract】This paper aims to provide a feasible dietary plan for people by using linear programming method. Under the condition of ensuring that enough nutrients can be taken in every day and taking into account personal dietary preferences， the plan can minimize the cost and solve the life problems such as diet.

【關鍵詞】線性規劃;優化算法;權重因子

【Keywords】linear programming; optimization algorithm; weight factor

【中圖分類號】R151 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻標志碼】A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文章編號】1673-1069（2020）02-0133-02

1 引言

隨著經濟水平的日益提高，現在人們也越來越重視生活質量，搭配出符合人們日常營養需要的飲食計劃也變得更加重要。因此，論文對人體要攝取的必需的營養元素進行合理搭配。利用線性規劃優化飲食結構，同時，根據個人的身體狀況、飲食習慣、運動情況等因素來確定一周的合理飲食計劃[1]。

2 線性規劃問題模型的建立

2.1 線性規劃模型

線性規劃問題的一般數學模型如下：

max（或min）Z=c■x■+c■x■…+c■x■ （1）

s.t.a■x■+a■x■+…+a■x■≤（=，≥）b■a■x■+a■x■+…+a■x■≤（=，≥）b■ ? ? a■x■+a■x■+…+a■x■≤（=，≥）b■x■x■……x■>0 ? ? ? ?（2）

■

式（1）是目標函數，式（2）是約束條件。

2.1.1 約束條件

模型的創建需要遵從下面四個約束條件：

①基本的各營養元素的需求：為確保能夠汲取充足的營養，存在各種差異的群體對于各種營養元素的吸收量有一個合適的范疇，否則會誘發各種疾病，對人體的健康造成威脅[2]。

因此，有：

minbj≤■a■x■≤maxb■， j=1，2...，m

②食品安全問題：有一些食物由于相互之間的作用，不宜一起進食，所以用0～1變量yi來判定有沒有選擇第i種食品，選擇了第i種食物則為1，否則為零。

滿足yi=（xi>0）

即如果選擇了第i種食品，xi>0，則邏輯表達結果為1，即相對應的0～1變量為1，反之為零。

yi+yj≤1，i， j=1，2...，n，i≠j

③食品種類與數目：為使方案更加切實可行，要謹慎嚴肅地限定每一類食品的數目，而且對食品總數進行限定： ■y■≤N■

可得：

mins■≤■y■≤maxs■

④額外的約束條件：如果第i種食品的判別數yi為零，則xi一定是0，否則xi為小于無窮大的數。設m為一無窮大的數。約束條件如下所示：

xi≤myi

2.1.2 目標函數

在經濟支出最小化的同時，最大限度地滿足群眾或個體的喜好習慣的要求，可創建如下目標函數：

min=■x■c■/max（x■）-■y■l■

其中，xi /max（xi）為歸一化xi。

2.1.3 模型的建立

本文創建了符合上述限制條件的如下的多目標線性規劃模型：

min=■x■c■/max（x■）-■y■l■

s.t.minb■≤■a■x■≤maxb■， j=1，2...，my■+y■≤1，i，j=1，2，...，n，i≠jmins■≤■y■≤maxs■，k=1，2...，k■y■≤Nx■≤my■，i=1，2...，n

2.2 模型的簡化

接下來，將上文中的多目標規劃模型簡化為單目標規劃模型。

①設P1為經濟情況的權重，P2為膳食習慣的權重。可以表現出群眾更傾向于經濟情況還是更傾向于個體喜好。P1越大，P2越小，說明食物的支出重要性越重要。

②系數P1、P2，可以使用隨機試驗的方式來調節試驗和優化，選擇合適的數據。

根據這兩個權重系數P1、P2，把上文中的多目標線性規劃模型簡化為以下的單目標線性規劃模型：

min=p■■x■c■-p■■y■l■

s.t.minb■■a■x■≤maxb■，j=1，2...，my■+y■≤1，i，j=1，2....，n，i≠jminsk≤■yi≤maxsk，k=1，2…，k■y■≤Nx■≤my■，i=1，2...，n

3 實際算例的求解

假定一個成年人每天需要攝取3000kcal的熱量、55g蛋白質和800kg的鈣。市場上只有四種食品可供選擇，根據它們每kg所含的熱量和營養成分以及市場價格，試問如何選擇才能在滿足基本營養的前提下使費用達到最低？

3.1 問題假設

①每個成年人的體質和對營養素的需求一致，且均為正常的健康水平;

②飲食均衡只考慮營養元素攝入量方面的平衡;

③該地域物產豐富，不存在食物短缺的可能;

④當日的情況對后續不會產生影響;

⑤熱量、蛋白質等提供足夠的能量后，剩下的部分不會再提供能量;

⑥每日獲取營養的途徑僅僅是三餐;

⑦各種食物的營養成分和價格保持不變。

3.2 符號說明

Z為購買食品的費用最小量;

X1為第1種食物（豬肉）每天都購入量;

X2為第2種食物（雞蛋）每天都購入量;

X3為第3種食物（大米）每天都購入量;

X4 為第4種食物（白菜）每天都購入量。

建立配餐的線性規劃模型為：

minZ=14X1+6X2+3X3+2X4

s.t.1000X1+800X2+900X3+200X4≥3000500X1+60X2+20X3+10X4≥55400X1+200X2+300X3+500X4≥800X1≥0，X2≥0，X3≥0，X4≥0

3.3 模型求解

目標函數為10，即最優化方案所需要的費用為10元。每周每種菜蔬所需要的份數X1，X2，X3，X4分別為0，0，3.333333，0，合計購入量共3.333333份，成本最小，為10元。

3.3.1 系數價格分析

對于目標函數X3來說，原來費用系數為3.0，允許增加3.75，或者允許減少3.0， 說明它在[3-3，3+3.75）=[0，6.75）范圍變化時，最優解不變。

3.3.2 約束中右端變化的分析

第三行約束條件中右端原來為55，當它在[43.33333，66.66667]范圍變化時，最優解保持不變，最優基即使不再變化，最優解、最優值會產生變化。

4 總結與展望

針對線性規劃問題的求解，提出了一些解決方法，并通過實例驗證了此算法的有效性，但是對于數據量大或復雜問題的求解，這些算法是否能在實際問題中取得良好的效果還有待驗證。

【參考文獻】

【1】陳曉杰.生產問題中單純形解法的改進[J].常熟理工學院學報（自然科學），2011（08）：39-42.

【2】張勁松，李紅.含自由變量LP問題的改進單純形法[J].運籌與管理，2012（01）：53-56.