螺紋載荷分布計算方法研究及有限元分析*

顏庭梁,李家春

（貴州大學 機械工程學院，貴州 貴陽 550025）

0 引 言

眾所周知，螺栓是機械基礎件中應用最廣泛的緊固件聯接零件之一，螺栓具有較強的通用性、可靠性、互換性，已成為標準化零件。在螺栓承受重載時，由于螺紋結構的特點，極易從螺紋結合第一扣發生裂紋。隨著循環載荷次數的增加，裂紋不斷擴大，可能導致螺紋牙的斷裂，極大影響了螺栓在重載機械上的可靠性。保證螺栓的可靠性就是保證機械系統的可靠性。因此，螺栓的設計與選擇不當，會導致聯接失效等故障出現，造成停機、停工、停產，甚至導致機毀人亡。

螺栓在受軸向載荷時，螺栓受拉發生軸向拉伸，從而使螺距增大，螺母受壓發生軸向的壓縮，使其螺距減少，因而產生了螺距差，導致了螺紋部分的應力集中[1]。在螺栓連接中，其應力集中主要分布在螺栓螺紋不完整處以及螺栓頭部圓角位置。但是，螺紋嚙合尾部的應力集中系數較大，因此，螺紋斷裂通常發生在螺紋嚙合的第一扣[2]。

我國的高速列車正處于高速發展階段，制動盤作為高速列車制動系統的核心部件，對其性能要求很高。而螺栓作為高速列車制動盤最主要的標準件之一，起著緊固制動盤的作用。隨著列車運行速度的提高，制動盤螺栓承受越來越大的載荷，因此，對于緊固件用螺栓的可靠性有著十分嚴格的要求。

現有螺栓螺紋的設計都是以經驗設計為主，本文提出一種新的螺栓螺紋承載分布公式，為提高螺栓的可靠性與螺栓精確設計提供一定的參考。

1 現有的研究方法

現有的螺紋副載荷分布的研究方法主要包括：理論分析法、光彈冷凍應力實驗法和有限元法。

1.1 螺紋副載荷分布的理論分析法

為解決螺紋牙載荷分布不均的問題，SOPWITH[3]與YAMAMOTO[4]將螺紋牙看作懸臂梁結構，對螺紋牙載荷進行了理論分析，從理論上得出了螺紋載荷分布不均的原因。

SOPWITH法得出的螺母徑向任意截面的載荷為:

（1）

YAMAMOTO法得出的螺母徑向任意截面的載荷與軸向載荷的比例為:

（2）

式中：x—距離螺母頂面的距離；θ—螺栓軸向力分布系數；λ—螺栓軸向力分布系數。

BRETL J L等[5]提出了單自由度的彈簧系統，建立了平衡方程，模擬螺紋聯接中的負載位移。張鵬等[6]通過ANSYS分析了動載激勵下的預緊螺栓軸向應力的分布特征，并采用YAMAMOTO法進行了驗證，但未提出準確螺栓軸向應力分布公式。

徐靜等[7]運用ANSYS對螺栓法蘭連接結構應力進行了分析，得出了內測螺栓受到的影響較大，確認35CrMoA合金鋼材作為螺栓法蘭結構的整體材料符合使用要求。

1.2 螺紋副載荷分布的光彈冷凍應力實驗法

通過光彈實驗，可對螺紋載荷分布進行研究，采用環氧樹脂材料進行螺栓建模[8-9]，對模型進行加載、應力凍結，制作成螺紋切片，在偏振光場下觀察，利用透明材料（環氧樹脂材料）在受力變形時產生光學各向異性的特點，可得到螺紋的應力狀態和分布。

光彈實驗可以得到螺紋副載荷分布結果。但是，由于切片制造工藝、加工與配合精度等原因，實驗結果會出現一定誤差。

1.3 螺紋副載荷分布的有限元分析法

陳海平等[10]建立了不同參數的螺栓二維模型，通過有限元法得出了螺紋承載比例的分布規律；ZHAO等[11]提出了一種三維簡化模型的有限元分析方法，考察了螺紋副3種節點載荷分布情況；RIDONG L等[12]提出了一種新的非線性加載-卸載過程的收斂準則，采用有限元模型，根據收斂準則得出了軸向載荷和應力在螺紋中的分布對施加載荷的規律。

2 螺紋副載荷分布理論分析

2.1 螺紋副受力分析

由內外螺紋受力分析可得：

（1）軸向載荷會導致螺栓拉長和螺母的壓縮；

（2）垂直于螺紋面的力F/cosα，使螺栓和螺母的螺紋發生了變形（螺紋牙的彎曲變形和剪切變形）；

（3）徑向力使螺栓螺紋徑向壓縮，使螺母發生整體的徑向膨脹，也可能存在徑向的應變。

在通常的螺紋牙受力分析計算時，假設為載荷施加在中徑d2處的載荷，若將旋合狀態下的螺栓與螺母沿旋合線展開，其結構可以看作類似于斜齒輪雙齒嚙合的情況（嚙合線為螺紋螺旋線），采用類齒輪齒牙彈性變形分析方法即可對螺紋變形進行分析。

2.2 螺紋牙的彈性變形

螺紋牙的彈性變形如圖1所示。

梯形部分的彎曲變形為：

（3）

剪切變形為：

（4）

螺紋牙牙根部分傾斜產生的變形為：

（5）

接觸變形為：

（6）

將內外螺紋的變形進行累計，可得：

（7）

2.3 螺紋副載荷分布規律

將螺母與螺栓沿嚙合線展開，將得到一個直角梯形與一個長方形，水平面為直角梯形下底，斜線上為螺栓，螺紋嚙合線與支承面存在一個角度為β的螺紋升角，嚙合線所在的平面與水平面存在一個夾角α為螺紋牙型半角。

旋合螺紋的展開說明如圖2所示。

圖2 旋合螺紋展開說明圖

根據圖2旋合螺栓的展開圖，可知螺栓桿受軸向載荷Q的作用。

將螺母左端設置為原點，在X處的軸向力為F，則位于z處的螺栓的伸長量εs和螺母的壓縮量εb可由下式得出，即：

（8）

式中：As—螺栓橫截面積；Ab—螺母橫截面積；Es—螺栓材料彈性模量；Eb—螺母材料的彈性模量。

取Z=z，可得出εs,εb,δs,δb之間的關系為：

（εs+εb）z=z=（δs+δb）z=z-（δs+δb）z=0

（9）

把式（7～8）代入式（9），對z進行微分可得：

（10）

將式（10）轉變，可得：

（11）

由螺母承載比例式（11）可得：

（1）Es/Eb、導程角β對螺母各螺紋牙載荷分布有所影響；

（2）由于螺距P與螺栓大徑D決定了螺栓的導程角β，是影響螺紋承載分布的直接因素；

（3）梯形牙型螺紋各螺紋牙載荷均布性將優于三角形牙型螺紋。

在下文中，筆者用三維有限元分析法對此結論進行驗證。

3 螺紋副載荷分布有限元分析計算

螺紋結構復雜，在進行三維有限元分析時，有較復雜的螺紋接觸以及數量龐大的網格數量問題，一般在進行有限元分析時，常常使用無螺紋結構的簡化模型，會導致分析結果出現誤差。

為更準確地得到螺紋載荷例分布規律，筆者將使用ANSYS Workbench靜力學模塊對三維實體螺紋模型進行有限元分析。加入影響球控制模型網格數量，在螺母上施加旋轉，當螺母旋轉一定角度時，使螺栓擰緊，則可得到實體螺紋副載荷分布的規律。對比二維模型的有限元分析，其結果更加直觀準確。

此外，ANSYS Workbench提供了強大的后處理功能，螺紋牙應力、螺紋牙的變形量、螺紋軸向載荷都可以由后處理或者計算得到。

筆者運用SolidWorks建模軟件建立實體螺紋模型，通過ANSYS Workbench進行有限元分析。

3.1 實體建模

選取M8螺栓作為研究對象，筆者建立螺紋聯接件三維模型，其中螺栓模型主要參數如表1所示。

表1 螺栓模型主要參數

3.2 有限元分析前處理

（1）導入模型。定義正確的單位，選取合適的坐標系，得到所需要的模型。

（2）定義材料屬性。螺栓的材料為材料鋼，材料參數如表2所示。

表2 材料參數表

（3）網格劃分。為了簡化模型，提高電腦運算速度，筆者對螺紋旋合處引入影響球控制，以提高螺紋副接觸的網格精度；同時，減少整體模型的單元數量，通過影響球控制的三維有限元模型單元數量為163 915個，節點個數為53 273。

3.3 有限元分析求解

（1）邊界條件的設定。螺紋副摩擦系數為0.15，在螺栓頭部施加固定約束，夾件兩端施加支撐約束；

（2）加載。將螺母軸向與軸向旋轉的自由度約束打開，添加65°使其旋轉，載荷施加時間為65 s;

（3）求解。采用Mechanical求解器進行求解。

3.4 結果后處理

螺紋連接范式等效應力分布如圖3所示。

圖3 螺紋連接范式等效應力分布圖

由圖3所示的螺紋連接范式等效應力分布圖可以看出：螺紋的應力集中主要在旋合第一扣、螺栓頭下圓角處、不完整螺紋處；最大等效應力與最大接觸應力出現在旋合第一扣螺紋牙處；螺紋牙接觸應力隨著螺紋牙數增加，接觸應力逐漸減小，符合螺紋副載荷分布特點。

筆者將螺母軸向按螺距等分成5個截面，計算各截面部分軸向力之比的分布。

螺紋截面應力如表3所示。

表3 螺紋截面應力

3.5 結果驗證

筆者用SOPWITH 法和YAMAMOTO法對三維有限元分析結果的可靠性進行驗證。

根據三維模型參數，可計算SOPWITH法螺栓軸向力的分布系數θ=23.55；YAMAMOTO法螺栓軸向力分布系數λ=0.42，取：x5=6.25，x4=5，x3=3.75，x2=2.5，x1=1.25計為螺紋牙i5，i4，i3，i2，i1可得旋合螺紋部分軸力之比的分布。

旋合螺紋部分軸向力之比分布如圖4所示。

圖4 旋合螺紋部分軸向力之比分布圖

由圖4所示的旋合螺紋部分軸向力之比分布圖可知：三維有限元法分析得到的旋合螺紋部分軸向力之比與兩種解析法有較高的擬合度，趨勢相同；其中，第一扣系數最為接近。

根據三維模型的內外螺紋牙型參數，將其代入式（11），通過計算可得Ks=3.73，Kb=4.02，β=3.2；等效截面積As=0.23，Ab=0.22；螺紋嚙合數N=5；并取點z1=22.36，z2=44.72，z3=67.08，z4=89.44，z5=111.8計為螺紋牙i1，i2，i3，i4，i5，可得各螺紋接觸力與軸力比為：K1=35.7%，K2=15.17%，K3=10%，K4=7%，K5=5.6%。

可以看出：三維有限元法與螺母展開法得到的螺紋載荷分布趨勢相同，尤其第一扣螺紋承載比最為吻合；通過螺母展開法，可得前三扣承載比例為60.87%，也符合現有的研究結論。

3.6 實驗結果對比

筆者采用彈性韌性較好的PC+材料（彈性模量為2.32 GPa），通過3D打印建立實體螺栓；采用三角形牙型與梯形螺紋，螺桿大徑14 mm,螺距2.5 mm，螺母螺紋牙數為5；施加1.1 N/m預緊扭矩。

筆者運用SolidWorks進行三維建模，通過3D打印得出的模型與三維模型尺寸在1∶1的比例下能很好地重合；對螺栓3D打印結構進行鑲樣，在5 mm處做切面；同時，對三維模型在同一螺紋面處做剖面；選取對應的螺紋剖面，調節三維模型截面的透明度與3D打印螺紋結構剖面重合，可得到螺紋牙變形圖。

螺紋變形試驗步驟如圖5所示。

圖5 螺紋變形試驗步驟

對螺紋牙變形圖進行圖像處理，螺紋軸向平鋪間隔為0.02 mm的直線，以螺紋旋合第一牙為例，可以得出第一螺紋牙軸向變形量δ1為0.08 mm。可得出螺母變形量為δ5=0.01 mm，δ4=0.02 mm，δ3=0.036 mm，δ2=0.046 mm，δ1=0.08 mm，得出螺紋變形試驗得到各螺紋牙承載比例。

螺紋中面各螺紋牙承載比例如表4所示。

表4 螺紋變形試驗得到各螺紋牙承載比例（%）

3種方法各螺紋牙載荷分布對比如圖6所示。

圖6 3種方法各螺紋牙載荷分布對比圖

由圖6所示的螺紋牙承載比例圖可以看出：梯形螺紋牙承載分布優于三角形螺紋；第一個螺紋牙的承載的比例最大，并且隨著螺紋牙序號的提高螺紋牙承載比例逐漸降低，并趨近于0。

螺紋變形試驗法得出的數據與三維有限元法數據基本吻合，其結果與SOPWITH 法、YAMAMOTO法和螺母展開法理論分析法基本吻合，尤其第一扣螺紋承載比例最為吻合，因此可知，螺母展開法具有一定的可靠性，對重載螺紋聯接件選型與設計有重要的作用。

螺紋變形試驗模型制樣優于光彈試驗切片制備，通過3D打印螺栓模型精度較高，采用扭矩加載做鑲樣保證螺紋內部變形量的誤差較小。由此可見，試驗結果比光彈試驗結果更加直觀。

4 螺栓參數對螺紋副載荷分布的影響

將式（11）變形可得：

（12）

由式（12）可得到螺栓的參數牙型、導程角β、內外螺紋材料彈性模量比值Es/Eb等，以上參數都將影響螺紋牙載荷的分布。

采用三維有限元分析法，在加載不變的情況下，作出不同參數的分析，可得出螺栓參數對螺紋牙載荷分布的影響。

4.1 彈性模量對螺紋載荷分布的影響

筆者分別取Es/Eb為10，5，1，0.2，0.1，建立三維模型進行有限元分析，可得出不同彈性模量之比的螺母載荷分布，如圖7所示。

圖7 不同彈性模量之比的螺母載荷分布圖

從圖7可以看出：隨著螺紋材料彈性模量之比增大，螺母承載比例曲線越來越平穩，所以當外螺紋材料的彈性模量大于內螺紋的彈性模量時，螺紋承載分布情況較為均勻。

4.2 螺距P對螺紋牙載荷分布的影響

d2一般由螺栓大徑D確定，所以在螺紋參數中P/D確定了螺紋的導程角，筆者分別取1.25/8，1.3/8，1.4/8，1.5/8進行三維有限元分析，得出不同螺距的螺母載荷分布，如圖8所示。

圖8 不同螺距的螺母載荷分布圖

由圖8可以看出：在D確定的情況下，螺距P越大，螺母承載比例分布越不均勻；當螺栓大徑D很大時，螺距P的變化對螺紋承載比例分布影響很小；螺栓大徑越小，螺距P對螺紋承載比例分布影響就越大。

4.3 摩擦系數μs對螺紋牙載荷分布的影響

以M8螺栓為模型，筆者分別取μs=0.25，0.2，0.15，0.1，0.5進行有限元分析，得出不同摩擦系數的螺母載荷分布，如圖9所示。

圖9 不同摩擦系數的螺母載荷分布圖

從圖9可以看出：螺紋副的摩擦系數對螺紋載荷分布的影響并不顯著，螺紋連接前3扣載荷分布改變并不大。由此可見，螺紋副的摩擦系數并不是影響螺紋載荷比例分布的關鍵參數。

4.4 牙型角對螺紋牙載荷分布的影響

筆者分別選擇牙型角60°三角形螺紋與梯形螺紋的M8螺栓進行三維有限元分析，得出不同牙型的螺母載荷分布，如圖10所示。

圖10 不同牙型的螺母載荷分布圖

從圖10可以看出：梯形螺紋的載荷分布情況好于三角形螺紋載荷分布情況。

5 結束語

針對國內現有的螺紋設計沒有系統的理論，為提高螺栓的可靠性與螺栓精確設計，本文采用螺紋展開法進行分析，推導出了沿螺紋嚙合線方向的載荷比例公式，分別討論了螺栓參數對螺紋承載比例的影響。結論如下：

（1）通過螺紋展開法得出了螺紋牙載荷分布規律，得出螺栓參數Es/Eb、P/D、牙型是影響承載分布的主要參數，并通過三維有限元分析法進行了系統的分析與驗證；

（2）螺距P與螺紋彈性模量之比是影響螺紋載荷分布的主要參數；螺紋副摩擦系數μ對螺紋載荷分布影響較小；螺栓大徑D很大時，螺距P的變化對螺紋承載比例分布影響越小，螺栓大徑越小，螺距P對螺紋承載比例分布影響就越大；

（3）梯形螺紋的載荷分布情況優于三角形螺紋；

（4）外螺紋應選用彈性模量較大的材料，內螺紋應選用彈性模量較小的材料，這樣可以相對減小螺紋載荷的分布不均。

基于ANSYS Workbench的三維有限元分析，本文得到了螺栓螺紋牙的應力分布規律，得出了各項螺紋參數對螺紋副載荷的分布規律，這對提高螺紋聯接的可靠性有重要的意義。