選對解題方法 妙解變力做功

■江蘇省江都中學

功的計算問題包括恒力做功和變力做功兩大類，同學們在求解做功問題時，正確進行受力分析，判斷出所求功是恒力（力的大小和方向都不變）做的功還是變力做的功是前提。若所求的功是恒力做的功，則可以直接利用公式W=Flcosα計算，其中α為恒力F與位移l的夾角。若所求的功是變力做的功，則需要靈活選用微元法、圖像法、能量觀點等技巧完成求解。顯然，求解變力做功問題是同學們學習中的難點和易錯點，只有選對方法，才能順利求解。下面通過實例展示一些行之有效的求解變力做功的方法，希望能夠幫助同學們突破這一難點。

一、利用微元法“化曲為直”求變力做功

當物體做曲線運動或往復運動時，受到的力的方向始終與速度的方向在同一直線上，可以把曲線分成無數小段，把每一小段曲線看成直線，把作用在每一小段曲線上的力看成恒力，先求出作用在每一小段曲線上的力對物體做的功，再累計求和。這是“累積”的思想，也是“化曲為直”“化變為恒”的思想。

例1如圖1所示，一磨桿長為L，在桿的末端施以始終與桿垂直且大小不變的力F，當桿繞軸轉動一周時，求力F做的總功。

解析

因為桿在轉動，力的方向始終與力的作用點的速度方向相同（都沿切線方向），所以可以把圓分成無數個小段（每一小段的弧長都足夠小），這樣每一小段的弧長都可近似為力在該小段上的位移，且力的方向與該小段的位移方向相同，在每一個小段上就可以看成是恒力在做功，則WFi=F·Δsi，再累計求出各個小段上的力做功的總和W=F·Δs1+F·Δs2+…=F·（Δs1+Δs2+…）=2πLF。

警示：有的同學會因為沒有仔細分析桿的運動過程，或沒有考慮力F是恒力還是變力，或對求功的公式W=Flcosα的適用范圍搞不清楚，而亂套公式導致出錯。

二、利用圖像法“數形結合”求變力做功

在直角坐標系中，用縱坐標表示作用在物體上的力F，用橫坐標表示物體在力的方向上的位移s，作出F-s圖像可以直觀展現物體受到的力隨位移的變化關系。利用F-s圖像求解做功問題更簡捷。

若作用在物體上的力是恒力，則其F-s圖像如圖2所示。經過一段時間物體發生的位移為s0，則直線與坐標軸所圍成的面積（陰影部分面積）在數值上等于力對物體做的功W=F0s0，s軸上方的面積表示力對物體做正功（如圖2甲所示），s軸下方的面積表示力對物體做負功（如圖2乙所示）。

若物體的F-s圖像是一條傾斜的直線（如圖3所示），經過一段時間物體發生的位移為s0，則直線與坐標軸所圍成的面積（陰影部分面積）在數值上等于力對物體做的功，s軸上方的面積表示力對物體做正功（如圖3甲所示），s軸下方的面積表示力對物體做負功（如圖3乙所示）。

若物體的F-s圖像是一條曲線（如圖4所示），則表示力的大小隨位移不斷變化，曲線與坐標軸所圍成的面積在數值上等于變力所做的功，在曲線下方作階梯形折線，則折線下方每個小矩形的面積分別表示對應恒力做的功。當階梯形折線越分越密時，這些小矩形的總面積越趨近于曲線下方的總面積。

例2放在地面上的木塊與一勁度系數k=200N/m的輕彈簧相連?，F用手水平拉彈簧，拉力的作用點移動x1=0.2m時，木塊開始運動，繼續拉彈簧，木塊緩慢移動了x2=0.4m的位移，求上述過程中拉力所做的功。

解析

根據題意可知，拉力與木塊受到的彈簧彈力相同。在木塊運動之前，木塊受到的彈簧彈力隨彈簧伸長量的變化呈線性關系，即F=kx（0＜x＜0.2m）；當木塊緩慢移動時，木塊受到的彈簧彈力不變，即F=kx1=40N（x≥0.2 m）。作出F-x圖像如圖5所示，圖像與橫軸所圍梯形的面積在數值上等于拉力所做的功，即W=×（0.6+0.4）×40J=20J。

三、利用能量觀點“化繁為簡”求變力做功

1.動能定理法：應用動能定理只需考慮初、末狀態，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質和物理過程變化的影響，因此凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時間的動力學問題，都可以運用動能定理分析解答，且往往會比用牛頓運動定律求解更簡捷。面對無法應用牛頓運動定律解決的變力做功問題時，可以巧用動能定理進行求解。用W變表示變力做的功，則動能定理的表達式為W恒+W變=Ek2-Ek1或Flcosα+W變=Ek2-Ek1。

例3攝制組在某大樓邊拍攝武打片，要求特技演員從地面飛到屋頂。如圖6所示，若特技演員的質量m=50kg，攝制組在房頂離地H=12 m處架設了輪軸（輪與軸有相同的角速度），輪和軸的直徑之比為3：2（人和車均可視為質點，且輪和軸的直徑遠小于H）。若軌道車從圖中A處勻速前進到B處，速度v=10m/s，細鋼絲繩BO與水平方向間的夾角為53°，則由于繞在輪上細鋼絲繩的拉動，演員由地面從靜止開始向上運動。在軌道車從A處運動到B處的過程中（取重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（ ）。

A.演員上升的高度為3m

B.演員的最大速度為9m/s

C.以地面為重力勢能的零勢能面，演員的最大機械能為2400J

D.細鋼絲繩在這一過程中對演員做的功為4275J

解析

將軌道車的速度v分解到沿繩和垂直于繩兩個方向上，則在B處繩的伸長速度v1=vcos53°=6m/s。設演員的上升速度為v3，輪的半徑為R，軸的半徑為r，由輪和軸的角速度相等得，解得v3=9 m/s，選項B正確。在軌道車由A處運動到B處的過程中，設演員上升的高度為h，由輪和軸轉過的角度相等得，解得h=4.5 m，選項A錯誤。細鋼絲繩在這一過程中對演員做的功等于演員具有的最大機械能（以地面為重力勢能的零勢能面），由動能定理得，解得W=4275J，選項C錯誤，D正確。

答案：BD

2.機械能守恒定律法：當物體系統內只有重力或彈力做功時，系統的機械能守恒。如果重力和彈力中有一個力是變力，那么這個變力所做的功就可以用機械能守恒定律求解。

例4如圖7所示，質量為m，總長為L的光滑勻質鐵鏈跨過一個光滑的輕小滑輪，開始時底端相齊。當略有擾動時其一端下落，則從鐵鏈一端開始下落到鐵鏈剛脫離滑輪的過程中重力所做的功為多少？

解析

3.能量守恒定律法：當除重力或彈力之外的其他力對物體也做功時，系統的機械能與其他形式的能發生轉化，但能量的總量保持不變。如果這些力中只有一個變力做功，而除變力外的其他力對物體做的功和系統機械能的變化量容易求得，那么就可以用能量守恒定律求解變力做功問題。

例5如圖8所示，將一個質量為m、長為a、寬為b的矩形物體豎立起來的過程中，人最少需要做多少功？

解析

在人把這個矩形物體豎立起來的過程中，人對物體的作用力的大小和方向均為未知量，也不知道其大小和方向的變化情況，因此需按變力做功問題求解。在人把物體豎立起來的過程中，物體重心升高的高度，因此物體機械能的增量ΔE=ΔEp+ΔEk。根據能量守恒定律得W人=ΔE=ΔEp+ΔEk，當ΔEk=0時，W人最小，因此人最少需要做的功等于