動量守恒經(jīng)典好題賞析

■湖南省汨羅市一中

一、建立柱狀模型，應用動量定理解題

例1（2016年高考全國Ⅰ卷）某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中。為計算方便起見，假設水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向上水的速度變?yōu)榱悖谒椒较蛏铣闹芫鶆蛏㈤_。忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g。求：

（1）噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量。

（2）玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度。

解析

（1）在一段很短的時間Δt內(nèi)，可認為噴出的水柱保持速度v0不變。這段時間內(nèi)，噴出的水柱的高度Δl=v0·Δt，體積ΔV=Δl·S，質(zhì)量Δm=ρ·ΔV，解得噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量為。

（2）由玩具受力平衡得F沖=Mg，其中F沖為水柱對玩具底面的作用力。由牛頓第三定律可知，玩具底面對水的反作用力F壓=F沖。設玩具懸停時其底面相對于噴口的高度為h，水柱到達玩具底面時的速度為v′，由運動學公式得。在一段很短的時間Δt內(nèi)，沖擊玩具底面的水柱的質(zhì)量Δm=ρv0SΔt。由題意可知，在豎直方向上，對這部分水柱應用動量定理得（F壓+Δm·g）Δt=Δm·v′。因為Δt很小，所以Δm·g也很小，可以忽略，則F壓·Δt=Δm·v′，解得。

小結(jié)：求解“連續(xù)”質(zhì)點系統(tǒng)發(fā)生持續(xù)作用，物體動量（其他量）連續(xù)發(fā)生變化類問題的思路是先正確選取研究對象，即選取很短時間Δt內(nèi)動量（其他量）發(fā)生變化的那部分物體作為研究對象；再建立“柱狀模型”，即在時間Δt內(nèi)所選取的研究對象均分布在以S為截面積、長為v·Δt的柱體內(nèi)，這部分質(zhì)點的質(zhì)量Δm=ρSvΔt，以這部分質(zhì)量的質(zhì)點系統(tǒng)為研究對象，研究它在Δt時間內(nèi)的動量（其他量）的變化情況；然后根據(jù)動量定理（其他物理規(guī)律）求出相關(guān)物理量。

現(xiàn)學現(xiàn)練：如圖1所示，靜止在光滑水平面上的小車質(zhì)量M=20kg。從水槍中噴出的水柱的橫截面積S=10cm2，速度v=10m/s，水的密度ρ=1×103kg/m3。若用水槍噴出的水從車后沿水平方向沖擊小車的前壁，且沖擊到小車前壁的水全部沿前壁流進小車中。當有質(zhì)量m=5kg的水進入小車時，試求：

（1）小車的速度大小。

（2）小車的加速度大小。

答案：（1）2m/s；（2）2.56m/s2。

提示：（1）流進小車的水與小車組成的系統(tǒng)動量守恒，則mv=（M+m）v1，解得v1=2m/s。（2）質(zhì)量為m的水流進小車后，在極短的時間Δt內(nèi)，沖擊小車的水的質(zhì)量Δm=ρS（v-v1）Δt，設此時水對車的沖擊力為F，則車對水的作用力為-F，由動量定理得-FΔt=Δmv1-Δmv，解得F=64N。由牛頓第二定律得F=（M+m）a，解得a=2.56m/s2。

二、經(jīng)典碰撞，萬變不離其宗

例2（2015年高考全國Ⅰ卷）如圖2所示，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，物體A位于B、C之間。物體A的質(zhì)量為m，物體B、C的質(zhì)量都為M，三者均處于靜止狀態(tài)。現(xiàn)使物體A以某一速度向右運動，求m和M之間應滿足什么條件，才能使物體A只與B、C各發(fā)生一次碰撞。設物體間的碰撞都是彈性碰撞。

現(xiàn)學現(xiàn)練：A、B兩物體在光滑水平面上沿同一直線運動，圖3表示兩物體發(fā)生碰撞前后的v-t圖像，由圖像可以判斷（ ）。

A.兩物體的質(zhì)量之比為3：2

B.兩物體碰撞前后總動量守恒

C.兩物體碰撞前后總動量不守恒

D.兩物體碰撞前后總動能不變

答案：ABD

提示：兩物體碰撞前的速度分別為vA=6 m/s，vB=1 m/s，碰撞后的速度分別為vA′=2 m/s，vB′=7 m/s。兩物體碰撞前后動量守恒，根據(jù)動量守恒定律得mAvA+mBvB=mAvA′+mBvB′，解得mA：mB=3：2，選項A、B正確，C錯誤。兩物體碰撞前的總動能為，碰撞后的總動能為，因此兩物體碰撞前后總動能不變，選項D正確。

三、多運動過程問題的綜合分析

例3（2015年高考廣東卷）如圖4所示，一條帶有圓軌道的長軌道水平固定，圓軌道豎直，底端分別與兩側(cè)的直軌道相切，半徑R=0.5m，物塊A以速度v0=6m/s滑入圓軌道，滑過最高點Q，再沿圓軌道滑出后，與直軌道上P處靜止的物塊B碰撞，碰后兩物塊粘在一起運動，P點左側(cè)軌道光滑，右側(cè)軌道呈粗糙段、光滑段交替排列，每段長度都為L=0.1m，物塊與各粗糙段間的動摩擦因數(shù)都為μ=0.1，A、B兩物塊的質(zhì)量均為m=1kg（取重力加速度g=10 m/s2；A、B兩物塊可視為質(zhì)點，碰撞時間極短）。

（1）求物塊A滑過Q點時的速度大小v和受到的彈力大小F。

（2）若碰后A、B兩物塊最終停止在第k個粗糙段上，求k的數(shù)值。

（3）求碰后A、B兩物塊滑至第n個（n＜k）光滑段上的速度vn與n的關(guān)系式。

解析

小結(jié)：應用力學三大觀點解題時應注意以下四個問題。（1）弄清有幾個物體參與運動，并劃分清楚各物體的運動過程。（2）進行正確的受力分析，明確各運動過程的特點。（3）若物體在光滑的平面或曲面上運動，或物體參與不計阻力的拋體運動，則機械能一定守恒；若是碰撞過程、子彈打擊木塊情景，以及不受其他外力作用的兩物體相互作用問題，則一般考慮用動量守恒定律求解。（4）若是含摩擦生熱問題，則考慮用能量守恒定律求解。

現(xiàn)學現(xiàn)練：如圖5所示，粗糙的水平面連接一個豎直平面內(nèi)的光滑半圓形軌道，其半徑R=0.1m，半圓形軌道的底端放置一個質(zhì)量m=0.1kg的小球B，水平面上有一個質(zhì)量M=0.3kg的小球A以初速度v0=4m/s向著小球B滑動，經(jīng)過時間t=0.8s與小球B發(fā)生彈性碰撞。兩小球均可以看成質(zhì)點，碰撞時間極短，已知小球A與水平面間的動摩擦因數(shù)μ=0.25，取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）兩小球碰前小球A的速度。

（2）小球B運動到最高點C時對軌道的壓力。

（3）小球A最終所停的位置到半圓形軌道最低點的距離。

答案：（1）2m/s；（2）大小為4N，方向豎直向上；（3）0.2m。

四、滑塊—木板模型經(jīng)典再現(xiàn)

例4如圖6所示，在光滑的水平面上并排放著兩個相同的木塊，長度均為L=1 m，在左邊木塊的左端放一個小金屬塊，它的質(zhì)量和一個木塊的質(zhì)量相等。現(xiàn)令金屬塊以初速度v0=2 m/s開始向右滑動，金屬塊與木塊間的動摩擦因數(shù)μ=0.1。取重力加速度g=10m/s2，求右邊木塊的最后速度。

解析

若金屬塊最后停在左邊的木塊上，則兩木塊和金屬塊將以相同的速度運動。設三者最終的共同速度為v，金屬塊最后距左邊木塊左端的距離為x，則0＜x≤L。由動量守恒定律得mv0=3mv，由能量守恒定律得解得，說明金屬塊最后不能停在左邊的木塊上。設金屬塊最后停在右邊的木塊上距離左端為x處，則0＜x≤L。設兩木塊最終的速度分別為v1、v2（v1＜v2），金屬塊到達左邊木塊右端時的速度為v0′，由動量守恒定律得mv0=mv0′+2mv1，mv0=mv1+2mv2，由能量守恒定律得，說明金屬塊最后停在右邊的木塊上，且右邊木塊的最后速度。

小結(jié)：滑塊—木板模型可分為兩類，即單一滑塊模型和多個滑塊模型。求解單一滑塊模型問題主要運用牛頓第二定律、動能定理或動量定理等進行分析。求解多個滑塊模型問題應著重分析物體的運動過程，明確它們之間的時間、空間關(guān)系，并注意臨界、隱含和極值等條件，運用動量守恒定律、機械能守恒定律或能量守恒定律等進行分析。

現(xiàn)學現(xiàn)練：如圖7所示，質(zhì)量m1=0.3kg的小車靜止在光滑的水平面上，車長L=15m，現(xiàn)有質(zhì)量m2=0.2kg的物塊（可視為質(zhì)點），以水平向右的初速度v0=2 m/s從左端滑上小車，最后在車面上某處與小車保持相對靜止。已知物塊與車面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，取重力加速度g=10m/s2。

（1）求物塊在車面上滑行的時間t。

（2）要使物塊不從小車右端滑出，物塊滑上小車左端的初速度v0′不超過多少？

答 案：（1）t=0.24 s；（2）。