牛頓第二定律與圖像結合的綜合性試題賞析

■四川省成都市實驗外國語學校（西區）

涉及牛頓第二定律的問題往往與各類圖像聯系在一起。通過圖像的理解、模型的構建，實現圖像隱含知識與物理規律的接軌，是解決此類問題的關鍵。下面對這類題型進行歸類剖析。

一、牛頓第二定律與v-t圖像綜合

例1“神舟五號”飛船完成了預定的空間科學和技術實驗任務后返回艙開始從太空向地球表面按預定軌道返回，返回艙開始時通過自身制動發動機進行調控減速下降，穿越大氣層后，在一定的高度打開阻力降落傘進一步減速下落，這一過程中若返回艙所受空氣摩擦阻力與速度的平方成正比，比例系數為k，所受空氣浮力恒定不變，且認為是豎直降落的。從某時刻開始計時，返回艙的v-t圖像如圖1中的曲線AD所示，圖中AB是曲線AD在A點的切線，切線交于橫軸上的B點，B點坐標為（8，0），CD是曲線AD的漸進線。假如返回艙的總質量m=400 kg，取重力加速度g=10m/s2，求：

（1）返回艙在這一過程中是怎樣運動的？

（2）初始時刻返回艙的速度v=160m/s，返回艙的加速度是多大？

（3）推證空氣阻力系數k的表達式并計算其值。

解析

（1）返回艙先做加速度逐漸減小的減速運動，后以大小為4m/s的速度勻速運動。

（2）在初始時刻，返回艙的加速度等于曲線AD在A點的切線AB的斜率，即a=20m/s2。

（3）設空氣浮力為F，在初始時刻，返回艙的速度v=160 m/s，加速度a=20 m/s2，由牛頓第二定律得F+kv2-mg=ma。當返回艙做勻速運動時，返回艙的速度v′=4m/s，由平衡條件得F+kv′2=mg。聯立以上各式解得，代入數據得k=0.31N·s2/m2。

例2如圖2甲所示，在傾角θ=30°的長斜面上有一帶風帆的滑塊從靜止開始沿斜面下滑，滑塊的質量m=2kg，它與斜面間的動摩擦因數為μ，帆受到的空氣阻力與滑塊下滑的速度成正比，即f=kv。若滑塊從靜止開始下滑的速度—時間圖像如圖2乙中的曲線所示，圖中的直線是t=0時刻曲線的切線，取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）滑塊下滑過程中的最大加速度和最大速度。

（2）μ和k的值。

解析

（1）由滑塊的v-t圖像可知，t=0時刻滑塊的加速度最大，且；t=3s時刻滑塊的速度最大，且vmax=2m/s。

點評：v-t圖像的斜率表示運動物體的加速度，根據速度—時間圖像可求出加速度，結合物體在該時刻的受力情況，根據牛頓第二定律列式可求解相關物理量。

二、牛頓第二定律與F-t圖像綜合

例3一質量m=40kg的小孩站在電梯內的體重計上。電梯從t=0時刻由靜止開始上升，在0～6s時間內體重計示數F的變化如圖4所示，取重力加速度g=10m/s2。求在這段時間內電梯上升的高度。

解析

由F-t圖像可知，在0～2s時間內，體重計的示數大于mg，故電梯向上做加速運動。設在0～2s時間內體重計作用于小孩的力為F1，電梯及小孩的加速度為a1，由牛頓第二定律得F1-mg=ma1，解得a1=1m/s2，在0～2s時間內電梯上升的高度。在2s～5s時間內，體重計的示數等于mg，故電梯做勻速上升運動，速度為t1=2s時刻的瞬時速度，即v1=a1t1=2 m/s，在2s～5s時間內電梯上升的高度h2=v1（t2-t1）=6 m。在5s～6s時間內，體重計的示數小于mg，故電梯向上做減速運動。設在5s～6s時間內體重計作用于小孩的力為F2，電梯及小孩的加速度為a2，由牛頓第二定律得mg-F2=ma2，解得a2=2m/s2，在5s～6s時間內電梯上升的高度。因此在0～6s時間內電梯上升的總高度h=h1+h2+h3=9m。

點評：F-t圖像展示了力隨時間變化的關系，利用不同時刻力的數據，結合該時刻物體的受力情況，根據牛頓第二定律列式可求解相關物理量。

三、牛頓第二定律與s-v2圖像綜合

例4在交通事故的分析中，剎車線的長度是很重要的依據，剎車線是指汽車剎車后，停止轉動的輪胎在地面上滑動時留下的痕跡。剎車線的長度s既與汽車開始剎車時的速度v有關，也與汽車輪胎和路面間的動摩擦因數μ有關。如圖5所示為某種汽車在地面Ⅰ和地面Ⅱ上剎車時，s與v2的關系圖像。若用μ1、μ2分別表示汽車輪胎和地面Ⅰ、Ⅱ間的動摩擦因數，則關于μ1和μ2的大小關系，下列判斷正確的是（ ）。

A.μ1＞μ2

B.μ1=μ2

C.μ1＜μ2

D.條件不足，無法判斷

解析

由運動學公式得0-v2=2as，由牛頓第二定律得μmg=ma，解得v2=2μgs，因此取相等的速度大小時，位移較大的對應的動摩擦因數較小。

答案：C

點評：根據s-v2圖像找出斜率表示的物理意義，結合牛頓第二定律可求解相關物理量。

四、牛頓第二定律與v-x圖像綜合

例5如圖6所示為汽車剎車痕跡長度x（剎車距離）與剎車前車速v（汽車剎車前勻速行駛）的關系圖像。例如，當剎車痕跡長度為40m時，剎車前車速為80km/h。

（1）假設剎車時，車輪立即停止轉動，嘗試用你學過的知識定量推導并說明剎車痕跡長度與剎車前車速的關系。

（2）在處理一次交通事故時，交警根據汽車損壞程度估計出發生碰撞時的車速為40km/h，并且測出剎車痕跡長度為20 m。請你根據圖像幫助交警確定出該汽車剎車前的車速，并在圖像中的縱軸上用字母A標出這一速度。

解析

（1）設汽車的質量為m，輪胎與路面間的動摩擦因數為μ，由牛頓第二定律得μmg=ma，由運動學公式得-2ax=-v2，解得，即剎車痕跡長度與剎車前車速的平方成正比。

（2）汽車發生碰撞時的速度為40km/h，結合v-x圖像可知，從這個速度減到零，汽車還要向前滑行10m，又因為碰撞前汽車已經滑行了20 m，所以若汽車不發生碰撞，則剎車后滑行30m停下。滑行30m對應的剎車前車速是圖7中的A點對應速度。因此汽車剎車前的速度為68 km/h（66 km/h～70km/h均可）。

點評：根據物體的受力情況結合牛頓第二定律得到v-x的關系式，結合圖像可求出相關物理量。

五、牛頓第二定律與a-v圖像綜合

例6如圖8甲所示，質量m=1kg的物體沿傾角θ=37°的固定粗糙斜面由靜止開始向下運動，風對物體的作用力沿水平方向向右，其大小與風速v成正比，比例系數用k表示，物體加速度a與風速v的關系如圖8乙所示。sin37°=0.6，cos37°=0.8，取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）物體與斜面間的動摩擦因數μ。

（2）比例系數k。

解析

（1）初始時刻有mgsinθμmgcosθ=ma0，解得μ=0.25。

（2）物體速度達5 m/s時刻有mgsinθμN-kvcosθ=0，式中N=mgcosθ+kvsinθ，解得k=0.84kg/s。

點評：a-v圖像往往涉及阻力與速度相關問題，知道不同時刻的速度大小可求出該時刻阻力大小，結合物體的受力情況，根據牛頓第二定律列式可求出相關物理量。

六、牛頓第二定律與F-t、v-t圖像綜合

例7放在水平地面上的一物塊，受到方向不變的水平推力F的作用，力F的大小與時間t的關系如圖9甲所示，物塊速度v與時間t的關系如圖9乙所示。取重力加速度g=10 m/s2。根據這兩幅圖像可以求得物塊的質量m、物塊與地面間的動摩擦因數μ分別為（ ）。

A.m=0.5kg，μ=0.4

B.m=1.5kg，

C.m=0.5kg，μ=0.2

D.m=1kg，μ=0.2

解析

由物塊的v-t圖像可知，0～2s時間內物塊受到的推力小于滑動摩擦力；2s～4s時間內物塊以加速度大小做勻加速直線運動，由牛頓第二定律得F2-μmg=ma；4s～6s時間內物塊做勻速直線運動，由平衡條件得F3-μmg=0。由F-t圖像可知，F2=3N，F3=2 N。聯立以上各式解得m=0.5kg，μ=0.4。

答案：A

點評：v-t圖像的斜率表示物塊的加速度，根據v-t圖像可求出加速度；對物塊進行受力分析，結合F-t圖像中某時刻力的大小，根據牛頓第二定律列式可求出相關物理量。

七、牛頓第二定律與P-t、v-t圖像綜合

例8在水平地面上的一輛汽車由靜止啟動后做直線運動，在開始運動的0～3s時間內汽車的速度—時間圖像和發動機的功率—時間圖像如圖10所示。若在運動過程中汽車受到阻力的大小保持不變，取重力加速度g=10m/s2，則汽車的質量為（ ）。

A.1875kg B.1250kg

C.900kg D.750kg

解析

由汽車的v-t圖像可知，0～1s時間內汽車的加速度a=4m/s2，由牛頓第二定律得F1-f=ma；1s～3s時間內汽車做勻速運動，由平衡條件得F2=f。由發動機的P-t圖像可知，在第1s末有P1=F1v1=3×104W，在1s～3s時間內有P2=F2v2=fv2=1×104W。聯立以上各式解得m=1250kg。

答案：B

點評：v-t圖像的斜率表示汽車的加速度，根據v-t圖像可求出加速度；根據v-t圖像讀出汽車某時刻的速度大小，結合P-t圖像可求出該時刻的牽引力大小，對汽車進行受力分析，根據牛頓第二定律列式可求出相關物理量。

方法與總結

牛頓第二定律與圖像結合的綜合性試題的解題步驟：明確研究對象→正確進行受力分析→挖掘圖像物理意義→建立牛頓第二定律方程式。受力分析仔細，圖像內涵清楚，建立方程準確，解題步驟清晰，是解決此類問題的基本方法。