核心素養導向下的數學閱讀教學*

福建省莆田市教師進修學院 (351100) 林 偉

1.什么是數學閱讀

在當今數學教學中，對于數學閱讀沒有嚴格的概念界定，但國內外專家對數學閱讀的內涵做了很多研究.國外學者貝爾[1]認為數學閱讀和一般閱讀不大相同，數學閱讀要求精確、條理、靈活和精力集中.在閱讀課本時，讀者必須了解每個數學術語和符號的精確含義，沒有含蓄、猜測的余地.邵光華[2]認為數學閱讀過程同一般閱讀過程一樣，是一個完整的心理活動過程，但由于數學語言的符號化、邏輯化及嚴謹性、抽象性等，數學閱讀有不同于一般閱讀的特殊性.辛志強[3]認為數學閱讀理解能力是發揮數學潛能的重要前提，但它有自己的特殊性，數學課應該重視閱讀理解教學，具體教學對策包括建構結構化的知識、適當的元認知訓練等.綜上，筆者認為數學閱讀是指：在一般閱讀中，由于閱讀材料包含著數學符號、數據圖表、遞推關系等數學的語言，必須通過抽象概括、數據分析、推理論證等一系列數學活動才能洞悉理解的閱讀.因而數學閱讀教學是強化數學應用意識，拓展數學思維，培養學生數學核心素養的一個重要途徑.

2.數學閱讀的意義

2.1 數學閱讀是踐行數學文化育人的植入點

數學教學中應當創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.以數學文化為背景的數學閱讀，既體現了數學與生活、科技的聯系，又凸顯了數學文化的美，體現了數學文化育人的價值.在數學課程新教材中常見“閱讀與思考”，“探究與發現”等閱讀教學的內容.

例1 祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積[4]

祖暅，字景爍，祖沖之之子，范陽郡薊縣(今河北省淶源縣)人，南北朝時代的偉大科字家，祖暅在數學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上，于5世紀末提出下面的體積計算原理:祖暅原理:“冪勢既同，則積不容異”.“勢”即是高，“冪”是面積.意思是,如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等,那么這兩個幾何體的體積相等……

利用祖暅原理推導球的體積(圖2.1.3)，取一個底面半徑和高均為R的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，利用祖暅原理可得，所得的幾何體體積和半球的體積相等.

分析：通過材料的閱讀讓學生到領悟在數學文化中蘊含著數學的思想和方法.利用祖暅原理探究空間立體幾何圖形的體積，首先對概念的認識要有數形結合的數學思想，夾在兩個平行平面間的幾何體(圖2.1.1)形象描述了概念的內容；其次對概念的理解隱含著化整為零，以直代曲的數學思想，對比一摞堆放在桌面上的紙所形成的不同幾何體(圖2.1.2)形象解釋了概念的內涵；最后對祖暅原理的運用體現化歸與轉化的數學思想，構造與半球球體積相等的幾何體(圖2.1.3)是圓柱的中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐,所得的幾何體.

圖2.1.3

2.2 數學閱讀是深化數學應用意識的著力點

數學是源于對現實世界的抽象，數學與人類生活和社會發展有著緊密的聯系.數學的應用更是滲透到各個自然科學，融入到現代的生活和人們日常生活的各個領域.通過數學閱讀能幫助學生認識科技應用，掌握現代化生活，深化學生數學應用的意識.

例2 二維碼有用盡的那一天嗎？

進入21世紀，智能手機和互聯網技術飛速發展，讓中國的支付方式邁進了移動支付時代，如今移動支付已成為市民消費的新習慣.我們越來越習慣“掃碼支付”，“掃碼入群”，“掃碼領紅包”…這些都離不開對二維碼的讀取，那么二維碼會有用盡的一天嗎？

首先我們來了解二維碼的基本生成，常見的二維碼是矩陣形式，通過算法中的二進制來進行信息的存儲.如圖2.2.1在分割的小正方形中通過黑、白像素進行編碼，黑點表示二進制“1”，白點表示二進制的“0”.

圖2.2.1 圖2.2.2

當然一個標準合格的二維碼不僅僅只有代表二進制的數據碼，其中還設置了定位碼、校驗碼、糾錯碼等.有的二維碼還設置了特殊的多邊形圖案用來增強二維碼的識別性能.比如筆者微信生成的一個二維碼(圖2.2.2)，以上面這種規格的二維碼為例，里面可以涂成黑白色的格子至少有1000個.這1000個方格任意涂成黑白色的涂法總共有21000種.我們保守估計數據碼只占其中的20%，這相當于是這1000個方格中只有200個格子作為數據碼！那么，二維碼數據碼就至少相當于是200個方格任意涂成黑白色，而這種涂法總共有2200種.因此，這種規格的標準合格的二維碼的數量至少是2200=160693804425899027554196209234116260252220299 3782792835301376個.假設全地球人平均每人每天生成1萬個二維碼，那么用盡這種規格的二維碼需要至少100000000,00000000,00000000,00000000年.

分析：在日常生活的一般閱讀中，往往也滲透著數學閱讀.隨著現代化科技發展，計算機二維碼的產生原理中融入了數學二分法的思想.“二維碼會有用盡的一天嗎？”用數理的運算來回答這個問題，有理有據.通過文章的閱讀，數理的推算也隱含著函數的性質，認識到指數函數的單調性，感受到指數函數的“爆炸式”增長.

2.3 數學閱讀是融入數學高考試題的關注點

隨著新課標的實施，數學高考試題更加的貼近生活實際，編入了體現弘揚數學傳統文化的試題，增加了富有時代氣息的數學實際應用的試題，特別是加強了對以統計素材為依托的數學應用能力的考查.這些試題提高了學生對數學閱讀能力的要求，凸顯了數學工具在解決實際問題中的作用.

例3 (2019年高考數學全國Ⅰ卷·理21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假設α=0.5，β=0.8．

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,…,7)為等比數列；

(ⅱ)求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

分析：在2019年高考數學理科全國Ⅰ卷中，概率與統計的解答題題位后置到第21題，它充分體現了高考對數學閱讀素養的考查越來越重視，對數學閱讀能力的要求越來越高.本題以醫學上的藥物試驗為背景，考查了離散型隨機變量的分布列，等比數證明等知識點，考查了抽象概括，推理論證等數學能力以及數學應用的意識.學生能通過知識背景的閱讀分析，抽象出變量之間的遞推關系式是解決本題的關鍵點.

3.數學閱讀教學

史寧中教授將高中數學學科核心素養歸結為“三會”，即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的的思維思考現實世界，會用數學的語言來表達現實世界.數學閱讀正是通過對文字、符號、圖表等語言的閱讀來獲取信息，認識世界，發展數學思維.數學的閱讀教學根據閱讀內容和考查性質的不同，可劃分為三種類型：數學材料的閱讀教學，數學概念的閱讀教學，數學習題的閱讀教學.

3.1 數學材料的閱讀教學——懂其理得其意

數學材料的閱讀內容豐富，途徑多樣.諸如：必修教材中的“閱讀與思考”，“探究與發現”，選修教材中的“數學史選講”，還有網絡生活中涉及數學的閱讀比比皆是.這些數學材料的閱讀多數是通過學生自主閱讀的方式進行.

數學材料的閱讀教學關鍵是激發學生的閱讀興趣，了解數學的價值.教師可以結合課堂內容引導學生閱讀的方向，布置閱讀的任務，提供閱讀交流的平臺.數學材料的閱讀教學重在引導學生懂材料中蘊含的數學知識的理，得材料中所表達的數學價值的意.如上述教材中“祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積”的閱讀，教學可通過對閱讀目標的設立可引導學生自主閱讀.

(1)知識與技能：理解祖暅原理的內容，了解利用祖暅原理推導柱體、椎體、球體的體積，掌握柱體、椎體、球體的體積公式；

(2)過程與方法：利用數形結合的方法融合信息技術可通過幾何畫板作圖演示祖暅原理的內容，也可以利用小組合作的形式布置制作幾何體的模型，探究幾何體間體積的關系；

(3)情感與價值：通過課外時間收集數學家祖沖之、祖暅的資料，了解祖暅原理形成的背景，對比南北朝時期國內外科學家的數學科技成就，并形成材料交流.

3.2 數學概念的閱讀教學——知其來明其用

中學數學的教學是由概念，定理，推理，公式，法則等形成一條嚴謹的邏輯體系.“樹無根則不穩”，數學的概念、定理、公式等內容往往具有很強的抽象性，不易掌握和學習.對數學概念的教學就需要引導學生經歷概念的生成，知其來方能明其用.從概念到性質，再從性質到應用，體驗數學知識的學習是自然而然水到渠成的過程.

重視數學概念生成的閱讀教學.概念的生成都有豐富的現實意義和歷史背景，如人教A版2019年新編普通高中教科書數學必修第一冊，對函數概念的學習，首先是通過對現實的4個問題：“問題1復興號高速列車路程和時間的關系”，“問題2電氣維修公司工人工資與工作天數的關系”，“問題3北京空氣質量指數和時間的關系”，“問題4居民的恩格爾系數和年份的關系”的閱讀認識數學變量之間的對應關系，再通過對關系式、圖形、表格的閱讀、理解、分析，從而抽象出函數的概念.同時教材在本章末的“閱讀與理解”中還編寫了關于函數概念的閱讀材料“函數概念的發展歷史”，充分體現了函數概念的發展與生產、生活以及科學技術的實際需要的緊密聯系.

重視數學概念定義的閱讀教學.數學的概念都具有高度的抽象性，敘述精煉但含義深刻，所以對數學概念的閱讀教學要通過精讀概念的語句，推敲關鍵的字眼，深挖符號的含義，才能準確的理解概念的內涵.如函數概念閱讀教學中對“對于集合A中的任意一個數”，閱讀要引導學生探討“任意”的含義，并不是“一個，兩個，無數個”能代替“任意”含義，“任意”則必須是集合A中每一個元素都要滿足條件.

3.3 數學習題的閱讀教學——曉其法解其題

高考的核心立場是為了“立德樹人，服務選拔，導向教學”.以2019年高考理科Ⅰ卷為例，增加了大量的數學閱讀題.如，第4題以“斷臂維納斯”圖為背景，第6題以我國古代典籍《周易》為背景，第15題結合時代氣息的七場四勝制籃球賽，還有如上敘述的第21題與醫療技術關聯的藥物檢測.高考試卷中增多了數學閱讀試題，體現了高考加大了對數學閱讀能力的考查.我們的學生對數學閱讀題的反饋是：畏懼數學閱讀題，只要題目的閱讀量大就不明其意，無從下手.因此要重視對數學閱讀題的教學，讓學生熟悉這種題型，知曉對數學閱讀題的處理方法，從而順利解題.

數學閱讀習題的教學關鍵是培養學生數學抽象的能力，如何從題目的文字、圖形、表格等語言中抽象出所需的數據和變量的關系.數學閱讀習題的特點是題目的閱讀量較大，對于閱讀量比較大的習題，我們常根據題目的條件或求解的目標采用分解任務的方法，如上述2019年高考數學試卷理科Ⅰ卷第21題，根據求解的目標可采用分解任務的方法.

(1)求X的分布列；

任務一：X代表什么，其分布的特征是什么？

分析：X為一輪試驗中甲藥的得分，特征為相互獨立試驗.

任務二：X的可能取值是多少？

分析：根據題目信息分析，研究對象為甲藥的得分，所有可能取值為-1，0，1.

任務三：對應變量取值的概率如何求？

分析：試驗為相互獨立的試驗，可根據相互獨立試驗的概率公式分別求出P(X=-1)，P(X=0)，P(X=1)的值.

(2)(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,…,7)為等比數列.

任務一：確定pi、pi+1之間的遞推關系.

分析：pi=api-1+bpi+cpi+1，由α=0.5，β=0.8及(1)中分布列求得a=0.4，b=0.5，c=0.1．

任務二：構造pi+1-pi，pi-pi-1的關系證明其為等比數列.

分析：從證明等比數列的方法入手，欲證{pi+1-pi}(i=0,1,…,7)為等比數列，從等比的定義出發可得(pi+1-pi)=4(pi-pi-1).

(ⅱ)求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

任務一：確定題意中求pi所具備的條件.

分析：由(ⅰ)可知(pi+1-pi)=4(pi-pi-1)，且p0=0，p8=1.

任務二：通過遞推式的關系特點，構造求p4的方法.

數學的表象是生動的.數學的形美如畫，她用1.618的黃金分割成就了蒙娜麗莎的微笑；數學的音美如歌，她是華麗音階背后的等比數列；數學的意美如詩，她是“一去二三里，煙村四五家”的恬靜淡雅.數學的本質又是嚴謹的，她是研究數量關系和空間形式的科學.數學閱讀正是透過她的表象看數學的本質.數學閱讀教學就是數學抽象，邏輯推理，直觀想象,數據分析等數學核心素養的培養.重視數學的閱讀教學，讓數學的閱讀教學走進課堂，融入生活刻不容緩.