三角形“邊分比”性質的應用舉例及其推廣

廣東省廣州市鐵一中學 (510600) 何重飛華南師范大學數學科學學院 (510631) 吳 康

豐富繁雜的平面幾何世界，有一些命題或者結論及其模型簡潔明了，但在解題應用當中卻是一把利器，正所謂“小結論，大應用”.下面筆者介紹一個涉及三角形邊角關系的“邊分比”性質，并對性質的簡單應用及其推廣加以舉例探究.

圖1

利用上述“邊分比”性質或其推論可以證明平面幾何中的多個經典定理.

圖2

圖3

例4 (萊莫恩定理)過ΔABC的三個頂點A,B,C作它的外接圓的切線，分別和BC,CA,BA的延長線交于P,Q,R，則P,Q,R三點共線.

圖4

圖5

例5 (西姆松定理)三角形外接圓上任意一點在三邊(或所在直線)上的射影共線.

例6 (笛沙格定理)若兩個三角形的對應頂點連線交于一點，則對應邊所在直線的交點必共線.

圖6

利用“邊分比”性質或其推論也可以推廣平面幾何中的經典定理.

例7 (塞瓦定理在平面偶數邊形中的推廣)在平面2n(n≥2)邊形A1A2…A2n中，已知B1,B2,…,B2n分別是線段A1A2,A2A3,…,A2nA1上的點，且A1An+1,A2An+2,…,AnA2n,B1Bn+1,B2Bn+2,…,BnB2n交于點O，則有：

(塞瓦定理在平面奇數邊形的推廣)在平面2n-1(n≥2)邊形A1A2…A2n-1中，已知B1,B2,…,B2n-1分別是線段A1A2,A2A3,…,A2n-1A1上的點，且A1Bn,A2Bn+1,…,AnB2n-1,An+1B1,An+2B2,…,A2n-1·Bn-1交于點O，則有：

此推廣命題的證明與偶數邊形命題推廣類似，留給感興趣的讀者完成.

根據上述推廣知，平面四邊形及五邊形中有：

(平面四邊形中的塞瓦定理)如圖7，在四邊形ABCD中，AC交BD于點O，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA邊上的點，且EG,FH交于點O，則有：

圖7

圖8

(平面五邊形中的塞瓦定理推廣)如圖8，在五邊形ABCDE中，F,G,H,I,J分別是線段AB,BC,CD,DE,EF上的點，且AH,BI,CJ,DF,EG交于點O，則有：

另外，“邊分比”性質及其推論在解答各類競賽題中的也是一把“好手”，應用非常廣泛.

圖9

例8 (2018年山西省預賽)如圖9，圓內接四邊形ABCD中，自AD的中點M，作MN⊥BC，ME⊥AB，MF⊥CD，N,E,F為垂足.證明：MN過線段EF的中點.

例9 (“葉軍數學工作站”第78期問題研究A)如圖10，已知菱形ABCD中，∠BCD=60°，E是邊BC上的點，∠FBC=∠EDC，求證：A,E,F三點共線.

圖10

證明：設∠FBC=

圖11

例10 (2017年陜西省預賽二試)如圖11，⊙O1與⊙O2相交于A,B兩點，直線PQ是兩圓距離點B較近的公切線，且分別與⊙O1、⊙O2切于點P,Q.設QB,PB的延長線分別交AP,AQ于點C,D，求證：AC·BC=AD·BD.

三角形“邊分比”性質及推論簡捷對稱，模型結構簡單優美，對于一些涉及長度、角度、三點共線等問題時可以考慮利用這一定理及推論來解決問題.定理的應用十分廣泛，筆者水平有限以及限于篇幅，在此不再一一列舉，感興趣的讀者可以繼續探究.