探析分段函數零點問題類型及解題策略*

福建省莆田第二中學 (351131) 謝新華

近年來，分段函數零點問題在高考中越來越頻繁地出現，并且經常處于客觀題的壓軸位置，解決此類問題需要綜合應用“方程的根與函數的零點”等基礎知識．本文匯集了動直線型、絕對值型、遞推分段型、內外復合型、對稱型等五種類型，通過探析這五類分段函數零點問題的解題策略，以期學生可以輕松解決此類問題，進而加深對分段函數的零點問題的理解．

一、動直線型

例1 已知函數f(x)=

圖1

二、絕對值型

例2 已知函數f(x)=

(1)若g(x)有4個零點，則實數k的取值范圍是;

(2)設a,b,c,d是g(x)的4個零點，則abcd的取值范圍是.

解析:若函數g(x)=f(x)-k有4個零點，則y=f(x)的圖象與y=k有4個交點，作出函數y=f(x)的圖象，如圖2，所以實數k的取值范圍是(0,2).

圖2

不妨設a

評析:本題(1)已知分段函數零點的個數求參數范圍，通過對g(x)的解析式變形，把已知函數g(x)零點有4個零點轉化為直線y=k與函數f(x)圖象的交點的情況即可．本題(2)進一步探求四個零點乘積的取值范圍，是含多變元的問題，通過數形結合，尋找變元之間的等量關系達到了減元的目的，從而求得參數的范圍．

三、遞推分段型

圖3

解析:若函數g(x)=f(x)-kx有4個零點，則y=f(x)的圖象與y=kx(k>0)有4個交點，作出函數y=f(x)的圖象，如圖3.

評析:本題已知分段函數零點的個數求參數范圍，通過對g(x)的解析式變形，把已知函數g(x)零點有4個零點轉化為動直線y=kx與遞推分段函數f(x)圖象的交點的情況即可．

四、內外復合型

圖4

解析:作出函數y=f(x)的圖象，如圖4.

圖5

解析:作出函數y=f(x)的圖象，如圖5.

令f(x)=t，設關于t的方程t2+t+m=0的兩根為t1,t2.因為關于x的方程f2(x)+f(x)+m=0有三個不同實數根，所以t1<1≤t2.此時y=f(x)圖象與y=t1有1個交點，y=f(x)圖象與y=t2有2個交點.

評析:本題已知內外復合型函數零點個數求參數范圍，通過換元，轉化為一元二次方程根的分布問題，通過函數y=f(x)圖象與直線y=t1和直線y=t2的交點的情況，結合二次函數的圖象列式，求出參數的取值范圍．

五、對稱型

圖6

解析:作出函數y=f(x)的圖象，如圖6.

當x<0時，f(x)=

-ln(-x)，由f(x)的圖象關于原點對稱，得g(x)=lnx(x>0).

評析:本題已知函數圖象的對稱情況求參數范圍，通過函數圖象的對稱變換，轉化為動直線y=kx-2(x>0)與函數g(x)圖象的交點的情況即可．