基于發展核心素養的概念課教學設計*
——以“等比數列”教學為例

江西省南昌市豫章中學 (330006) 陳 平

概念教學在高中數學中處于核心地位，基于發展核心素養的數學概念教學，需要教師樹立為發展學生核心素養而教的意識，分析教學內容所承載的核心素養內涵，尋求實施策略，精心教學設計.筆者以“等比數列”教學為例，創設問題情境，讓學生在解決問題過程中，深化對等比數列的理解，促進數學核心素養的發展.

1.教學分析

1.1 教材內容分析

數列是高中數學重要內容之一，是刻畫離散現象的函數.等比數列是一種十分重要的數學模型，它起著承前啟后的作用.本節教學內容和教學過程為發展學生核心素養提供了很好的生長點.具體如下:

教學內容涉及的核心素養一覽表

1.2 學生學情分析

高一學生具有一定的理解、分析、概括和推理能力，邏輯思維能力也初步形成，由于年齡原因，思維盡管活躍，敏捷，但缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹.學生對數列及等差數列有了一定認識，對方程和數列公式的應用具備一定技能，但不全面、不透徹.

2.目標分析

2.1 目標設計

(1)通過生活中的實例，理解等比數列的概念；探索并推導等比數列的通項公式；能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題；體會等比數列與指數函數的關系.

(2)堅持問題導向，創設問題情境，開展觀察、抽象、猜測、建模、運算、推理、驗證等探究活動，促進學生數學核心素養的形成和發展．

(3)培養學生積極思考的學習習慣和勇于探索的學習方法，在數學觀念上增強應用意識，在個性品質上培養學習興趣.

2.2 重點與難點

教學重點：理解等比數列的概念；體會等比數列是自然規律的數學模型；探索并掌握等比數列的通項公式；利用歸納、類比的方法及己有知識解決實際問題.

教學難點：對等比數列定義及通項公式深刻理解；分析具體問題情景，建立等比數列模型，應用概念和公式解決新問題.

3.教學方法

(1)激發學生學習興趣和求知欲望.營造民主的教學氛圍，把握好師生的情感交流，讓學生真正成為教學的主體，參與教學全過程，唱主角，老師任導演.

(2)讓學生在實際生活中發現問題、探索規律，經歷知識的形成和發展，力求學會用類比的思想去分析問題，體會獲取知識的途徑和思考問題的方法.

(3)精心設計問題，以啟迪思維為核心，啟發有度，留有余地，導而弗牽，牽而弗達.力求反饋的全面性、及時性,讓學生思維動起來，逐步養成科學嚴謹的學習態度.

4.教學過程

4.1 巧設情境，提出問題

問題1 小實驗：已知一張正方形白紙的厚度為1、面積為1,將白紙一次次對折.看清楚:紙的厚度和面積將怎樣變化?

學生:填表.

折012345…厚度12481632…面積1121418116132…

學生眾說紛紜:可以,不可以,氣氛熱烈.

學生:不可以.因為它是指數函數y=2x，當x取正整數的函數值.由指數函數性質知,當自變量增大時,函數值增大非常快.

教師:很好,是這樣嗎?我們一起來看看:如果一頁紙的厚度按0.04毫米計算,當折到第28次的時候,請大家估算一下紙的總厚度.

0.04毫米=0.04×10-3米,厚度為:228×0.04×10-3=10737.41824米.

眾學生:哦！比珠穆郎瑪峰還要高呀！

有學生：指數“大爆炸”！

問題2 南昌市今年工業總產值為a元，計劃在以后5年中每年比上一年產值增長10%，試列出從今年起6年的產值(單位:元).

學生:這6年的產值分別為:a,1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.

設計意圖:以小游戲開頭,且此結果出乎預料,激發學生學習興趣.通過現實生活中的實例,用數學語言來描述、抽象成數列問題,感悟數列與指數函數的關系，使學生體會數學與生活緊密聯系，發展學生的數學抽象、直觀想象素養.

4.2 共性歸納，生成概念

問題3 觀察剛得到的三個數列有什么共同特點？

學生:從第2項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常數.

教師:對.類比等差數列定義,能得出什么結論?并用準確、規范的語言表述出來.

學生:一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫作等比數列，這個常數叫作等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).

教師:非常準確、規范.這就是我們今天要學的等比數列的定義.等比數列的數學表達式怎樣?

學生1：有序性:從第2項起每項與它前一項的比，而不是與其它項的比.

學生2：任意性:從第2項起任意項與它前一項的比是常數.

學生3：同一性：每一項與它前一項的比都是同一常數.

學生4：確定性：公比q≠0，在等比數列中沒有數值為零的項.

教師:大家歸納的非常好,說明同學們對定義有一定的理解.從等比數列的定義來看,它有四個特點:①有序性;②任意性;③同一性;④確定性.

設計意圖:讓學生充分發表自己的見解，強化學生的主體地位.觀察、分析、挖掘具體數列共性,類比等差數列的概念,提煉出等比數列的定義、數學表達式及特點、抽象出等比數的概念，體會數學知識之間的聯系,培養學生語言表達能力，歸納總結能力，發展學生數學抽象素養.

4.3 自主探究，辨析概念

問題4 以下數列中，哪些是等比數列?

(3)1，2，4，8，12，16，20；(4)a,a2,a3,…,an；

請學生辨析，教師一一點評.

設計意圖:巧設一組含蓋各種情況的問題,讓學生自主探究，辨析概念,進一步加強對概念的理解和認識，建立等比數列有關命題，構建等比數列模型，發展學生的數學抽象素養.

4.4 類比推理，拓展概念

問題5 設數列{an}是首項為a1，公比為q的等比數列，求通項公式an.

學生:an=a1qn-1,n∈N+.可用類比等差數列通項公式推導的方法來推導,如歸納法、疊加法.

教師:很好.下面大家各自推導,請三位同學上來做.

學生1:由等比數列的定義知道：

在這個公式里，如果令n=1，a1=a1q1-1=a1q0=a1.這就是說，當n∈N+時，an=a1qn-1總成立.

教師:這是用不完全歸納法.注意：以上過程不是證明，我們以后可用數學歸納法來完成證明.

將各式相乘，即得an=a1qn-1.由于n=1時，等式成立，所以n∈N+.

教師:這叫疊乘法.

學生3:an=an-1q=an-2q2=an-3q3=...=a2qn-2=a1qn-1.∴an=a1qn-1.由于n=1時，上式成立，所以n∈N+.

教師:這叫迭代法.大家類比等差數列通項公式的推導方法,分別用了三種不同的方法推導出等比數列通項公式:an=a1qn-1,n∈N+.

問題6 類比等差數列,寫出等比數列任意兩項間的關系.

學生:an=amqn-m(n∈N+,m∈N+).

設計意圖:采用類比等差數列的方法，讓學生觀察、分析、猜想、驗證、證明等比數列的通項公式和任意兩項間的關系，培養學生歸納、類比、演繹的推理能力.探索和表述有關代數論證的思路和過程，發展學生的邏輯推理、數學運算素養.

4.5 問題驅動，應用概念

問題7 1.在等比數列{an}中,(1)a2=18，a4=8，求a1和q；(2)a5-a1=15，a4-a2=6，求a3.

學生一邊做,教師逐一點評,看學生完成后.

教師:同學做得非常好.這是等比數列的定義和通項公式的應用,大家做完后有何體會?

學生1:“知三求一”.在等比數列中:首項a1，公比q，項數n，第n項an，若知道其中的三個，那么就可以求出另一個.

教師:很好,這是方程的思想.還有嗎?

學生2:兩個獨立條件，可求出等比數列的各項.與等差數列的解題方法一樣,在等比數列中,己知兩個獨立條件,可以列出兩個方程,解聯立方程組,可以求出首項a1，公比q,根據通項公式可以求出等比數列的各項.

設計意圖:類比等差數列的解題方法，應用等比數列的定義、通項公式解決實際問題，進一步深化對等差數列、等比數列內在聯系的理解.理解等比數列的實質，掌握等比數列通項的運算法則，設計求等比數列通項的運算程式，發展學生的數學運算素養.

4.6 引申鋪墊，遷移概念

問題8 在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，有an=3an-1+2，求an.

全班頓時鴉雀無聲，多數同學臉上愁云密布，思考片刻，看到有同學眼睛放光后,教師提問兩名學生.

學生1:從an=3an-1+2中可以看出{an}并非等比數列但是可以想辦法構造一個新的與an有關的等比數列.

教師：思路非常好！關系式不是等比數列,想辦法轉化成一個新的等比數列來求解,如何變形來轉化？

學生2:把常數2處理掉.

學生3:在關系式兩邊都加1，得an+1=3(an-1+1)，數列{an+1}是以a1+1=2為首項，以3為公比的等比數列，所以有an=2·3n-1-1.

教師：很好,就是在關系式兩邊都加1，有時通過直觀比較難發現,有通法嗎?

學生4:設an+λ=3(an-1+λ)，an=3an-1+2λ，對比an=3an-1+2，得λ=1,于是，得an+1=3(an-1+1).

教師：用待定系數法可解決，非常好.還有不同的做法嗎？

學生5:由已知遞推式，得an+1=3an+2，an=3an-1+2(n≥2).上述兩式相減，得an+1-an=3(an-an-1).因此，數列{an+1-an}是以a2-a1=4為首項，以3為公比的等比數列.所以an+1-an=4·3n-1，即3an+2-an=4·3n-1.所以an=2·3n-1-1.

教師：形如an=pan-1+q(p,q為常數)的數列，可以用以上兩種方法轉化為等比數列來求其通項公式.

設計意圖:根據“最近發展區”理論,設置問題情境，讓學生“跳一跳”，又能夠得著，從而激發學生的探究興趣，把課堂推向高潮.培養學生能依據具體情況，抽象出其中等比數列的數量關系，發展學生的數學建模、邏輯推理、數學運算素養.

5.教學反思

5.1 吃透教材內容，把握概念教學著力點

教學內容是發展學生核心素養的載體和土壤，教材是數學學習重要的資源，吃透教材，理解好教學內容，在教學設計中落實學生的核心素養，就有了固著點，在教學實施中發展學生核心素養就有了生長點. 這兩者結合，就是我們教學的著力點.鑒于等差數列與等比數列有許多類似的特點,本節課牢牢地抓住類比的方法這一著力點，就兩者的定義、性質、公式、解題方法等方面的異同進行類比，建立等比數列的概念，深化對等差數列，等比數列內在聯系的理解，發展學生核心素養.

5.2 堅持問題驅動，設計合理的問題情境

問題驅動是數學教學的基本原則之一.問題應基于概念的本質來精心設計，做到環環相扣,層層遞進，引導學生思考、探索，突出重點，化解難點，幫助學生鋪設通往新知的道路.教學目標，既是課堂教學的起點，又是課堂教學的歸宿，支配著教學的全過程.

5.3 注重過程變化，體現概念“源”與“流”

數學概念的形成過程是一個歸納、概括、抽象的過程.學生對于概念的理解，一般要經歷“了解—理解—應用—見解”逐步深入的過程.所以概念教學也需要分四步走，首先了解概念的形成過程；其次是加強對概念的理解、認識；再次是對概念的應用；最后提出見解，抑或是反思及再創造.要講清楚概念的“源”與“流”.“源”講的是數學知識發生過程，“流”講的是數學知識的發生演變.教師應該引導學生體驗數學概念產生的過程，揭示概念的來龍去脈.