函數“依圖選圖”問題的幾種解法

甘肅省武威市涼州區發展街小學 (733000) 李玉梅

因為函數圖象是高中數學知識的根基之一，所以函數圖象一直是歷年高考選擇題的命題熱點.高考函數圖象選擇題的類型有“依式選圖”和“依圖選圖”兩類.依式選圖是指根據函數解析式選擇函數圖象選項；依圖選圖是指根據圖象或圖形選擇函數圖象選項.其中后者比前者難度大，綜合性強，思維能力要求高，具有高考選拔和區分功能.本文以高考試題為例，說明函數“依圖選圖”選擇題的解題策略，從而達到以例明理之功效.

1.圖象變換法

已知抽象函數在某區間上的圖象，判斷另一抽象函數的圖象問題，通常是比較兩抽象函數在結構形式上的特點，采用圖象變換的方法加以解決.

圖1

例1 (2012湖北卷文)已知定義在區間[0,2]上的函數y=f(x)的圖象如圖1所示，則y=-f(2-x)的圖象為( ).

解析：比較抽象函數y=f(x)與y=-f(2-x)在結構形式上的特點，可先作函數y=f(x)的圖象關于原點對稱的函數y=-f(-x)的圖象，再將函數y=-f(-x)的圖象向右平移2個單位，得到函數y=-f[-(x-2)]=-f(2-x)的圖象.對照選項，故選B.

評注：函數圖象的變換一定要明確兩抽象函數在結構形式上的特點和差異，熟練掌握平移、對稱、翻轉、伸縮等圖象變換的規律和方法，從而靈活、快速地得到正確選項.

2.特例排除法

在解選擇題時，可以通過取一些特殊數值、特殊點、特殊位置、特殊函數等對選項進行驗證，從而可以否定和排除不符合題目要求的選項，得到正確的選項.

圖2

例2 (2015新課標Ⅱ卷理)如圖2,長方形的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點,點P沿著邊BC,CD與DA運動,記∠BOP=x,將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的函數f(x),則f(x)的圖像大致為( ).

評注：本題考查函數的圖象，考查了特殊值排除法，確實是一道基礎知識與思維能力有機結合的好題.特殊數值、特殊點、特殊位置、特殊范圍是一舉突破這類問題的最佳思路.

3.導數幾何意義法

結合圖形，利用函數與對應導數之間的關系、導數的幾何意義確定選項

圖3

例3 (2013浙江卷文)已知函數y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數y=f′(x)的圖象如圖3所示，則該函數的圖象是( ).

解析：函數導數的幾何意義就是原函數圖象的切線斜率.由圖3知，導數大于0，原函數遞增，又注意到導數在(-1,0)上遞增，在(0,1)上遞減，所以原函數在(-1,0)上切線斜率越來越大，在(0,1)上切線斜率越來越小，對照選項，只有B符合.

評注：本題利用導函數y=f′(x)的圖象變化趨勢以及導數在區間上的符號，得到原函數圖象的切線斜率的變化大小，可確定原函數圖象的變化趨勢.

4.圖象變化速度法

對于較為復雜的函數圖象，如果根據函數的單調性等性質仍無法判斷出正確的選項，尤其是一些實際應用題中沒有給出解析式或無法求出函數解析式的問題，那么就要根據已知條件研究函數單調增或減的快慢，即其導函數值的大小變化.

圖4

例4 (2012江西卷理)如圖4，已知正四棱錐S-ABCD所有棱長都為1，點E是側棱SC上一動點，過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記SE=x(0

評注：對于函數圖象的識別問題，若函數y=f(x)的圖象對應的解析式不好求時，作為選擇題，沒必要去求解具體的解析式，可結合函數的定義域、值域、單調性等多角度進行判斷，尤其要注意函數圖象增或減的快慢，這可能就是能否準確判斷函數圖象的關鍵.因此，使用圖象變化速度定圖法，不但求解快速，而且準確無誤.

5.等效轉化法

解題的本質就是轉化.對于背景新穎或難度較大的問題，可以根據題意將其轉化為自己熟悉的問題，或將其分解為幾個較簡單的問題來解決，利用已有的知識作出正確的選擇.這也是轉化與化歸思想在解答選擇題中的具體應用與體現.

圖5

例5 (2013江西卷文)如圖5，已知l1⊥l2，圓心在l1上、半徑為1m的圓O在t=0時與l2相切于點A，圓O沿l2以1m/s的速度勻速向上移動，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令y=cosx，則y與時間t(0≤t≤1，單位：s)的函數y=f(t)的圖象大致為( ).

評注：利用轉化法解決問題的關鍵在于轉化的等效性.本題求解的關鍵是通過探索變量x與t的關系，等效轉化出y與時間t之間的函數關系式，然后再確定其對應的函數圖象.

6.推理分析法

推理分析法是通過邏輯推斷過程，分析四個選項之間的邏輯關系，從而否定干擾項，肯定正確選項的方法.

圖6

評注：通過觀察題目的特征，利用平面幾何和三角知識，巧妙運用邏輯推理的方法.解答中既有嚴密的幾何推理，又有清晰的代數算理，從而確定出正確選項.這樣可以有效地縮短解題時間，達到快速解題的目的.此類題目的設置，能有效地考查學生的邏輯思維能力以及靈活運用數學知識解決問題的能力.

總之，函數“依圖選圖”選擇題的解答，不僅要熟練掌握函數圖象性質的靈活運用，而且要有較強的思維能力，這樣才能有的放矢地解答此類問題.