研究性學習：學會學習的有效突破*
——以雙絕對值不等式恒成立問題為例

甘肅省永昌縣第一高級中學 (737200) 張得南

學會學習是學生發展核心素養之一.開展研究性學習，也是培養學生學會學習的有效方法之一，而對學科課程教學內容中的問題、方法、規律的探究是研究性學習的形式之一.因此，我們在平時的教學中，要把研究性學習滲透到學科課程教學中，就要幫助學生樹立正確的學習觀念、激發學生學習的濃厚興趣、培養學生良好的學習習慣、使學生掌握科學的學習方法，通過學習實踐、自我審視，達到學習的最終目的.本文通過復習雙絕對值不等式恒成立問題為例，立足發展學生核心素養，助力學會學習,在此拋磚引玉，供同仁和學習者借鑒.

一、教學素材(不等式模塊復習結束后布置的課外作業，也是學習小組3提出的問題)

1.(2018年高考數學全國1卷)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

2.(2018年高考數學全國2卷)設函數f(x)=5-|x+a|-|x-2|.

(1)當a=1時，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)≤1，求a的取值范圍.

作業要求：分析題目考察的主要知識點；探索雙絕對值不等式問題的解題思路；總結解決恒成立問題的規律與方法.

點評：1.教學素材的確定，是不等式模塊復習完成后，學生對這一階段的所學內容已經有了較為全面的理解和掌握之后進行的.準確確定有研究價值的教學素材，是復習課的關鍵之一，內容豐富的教學素材，對復習能起到事半功倍的效果.

2.選擇學生提出的問題為研究對象，并且提出作業要求，較好地體現了學生的主體地位，把主動獲取知識、發現、創新的權利還給了學生.

二、教學實施

(師)本節課我們來研究解決上節課布置的作業.(即第3學習小組提出的問題)解含有絕對值不等式的基本思想是什么？

(生)去絕對值符號，使不等式變為不含絕對值的不等式.

(師)很好，那么我們在解決含有雙個絕對值符號不等式的題目時，常用的方法有哪些？

(生)零點分段法去絕對值符號；利用絕對值的幾何意義去絕對值符號；利用數形結合法去絕對值符號.

(師)請兩個學習小組來展示這兩道題目的第一問解法.

(第1學習小組、第2學習小組分別展示)

(師簡單講評)

(師)現在我們研究從恒成立和有解問題可轉化為函數的最值問題這個角度來重新審視和解決含有2個絕對值符號不等式的問題——即這兩道題目的第二問.

(一)知識儲備

(第3學習小組展示)1.恒成立問題的轉化

(1)?x∈A,使得f(x)fmax(x);

(2)?x∈A,使得f(x)>a恒成立??x∈A,都有a

記憶口訣“參數a大于大的”“參數a小于小的”，簡記為：“取兩邊”．

(第4學習小組展示)2.有解問題的轉化

(1)?x∈A,使得f(x)fmin(x);

(2)?x∈A,使得f(x)>a有解??x∈A,有a

記憶口訣“參數a大于小的”“參數a小于大的”，簡記為：“取中間”．

(第7學習小組展示)3.含有兩個絕對值符號函數，形如“f(x)=|x+a|±|x+b|”的最值，利用絕對值的幾何意義可推導出以下結論：

(1)若f(x)=|x+a|+|x+b|,則fmax(x)無,fmin(x)=|a-b|；

(2)若f(x)=|x+a|-|x+b|,則fmax(x)=

|a-b|,fmin(x)=-|a-b|.

點評：通過學習小組自主合作、探究、總結知識規律，促使學生“要我學”變成“我要學”.

(二)實戰訓練(解決含參并且含有兩個絕對值不等式的高考題)

(師)同學們總結的很好，請哪位同學給我們舉出一些實例來強化訓練？

(第5學習小組展示)例1 關于x的不等式

|x+1|+|x-2|≤|a|存在實數解，求實數a的取值范圍.

(解答后由第6學習小組展示)解析：構造含兩個絕對值函數：令f(x)=|x+1|+|x-2|，根據題意，題目可轉化為有解問題，?x∈A，使得f(x)≤|a|有解??x∈A，有fmin(x)≤|a|．

參考結論：若f(x)=|x+a|+|x+b|,則fmax(x)無,fmin(x)=|a-b|，解得fmin(x)=3．

綜上所述，|a|≥3，解得a的取值范圍為{a|a≤-3或a≥3}．

(第2學習小組展示)例2 存在x實數使不等式|x-a|+|x-1|≤3成立，求a的取值范圍．

(解答后由第1學習小組展示)解析：構造含兩個絕對值函數：令f(x)=|x-a|+|x-1|，根據題意，題目可轉化為有解問題，?x∈A，使得f(x)≤m有解??x∈A，有fmin(x)≤m．

參考結論：若f(x)=|x+a|+|x+b|,則fmax(x)無,fmin(x)=|a-b|，解得fmin(x)=|a-1|．

綜上所述，|a-1|≤3，解得a的取值范圍為{a|-4≤a≤2}．

(第6學習小組展示)例3 設a,b∈R,|a-b|>2，求關于實數x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集．

(解答后由第4學習小組展示)解析：構造含兩個絕對值函數：令f(x)=|x-a|+|x-b|，根據題意，題目可轉化為恒成立問題，即?x∈A，使得f(x)>2恒成立??x∈A，都有2

參考結論：若f(x)=|x+a|+|x+b|,則fmax(x)無,fmin(x)=|a-b|，解得fmin(x)=|a-b|．

由題意知|a-b|>2，解得原不等式的解集為x∈R．

點評:自己提出問題，自己探究解決問題的這種“樂學善學”局面，這正是師生共同追求的目標.

(三)思維拓展

(由師生共同討論總結得出，師點撥、板書)

1.在解不含參的含有兩個絕對值不等式形如“|x+a|±|x+b|≥c，|x+a|±|x+b|≤c”問題時，可以利用含兩個絕對值符號函數形如“f(x)=|x+a|±|x+b|”的最值結論：

(1)若f(x)=|x+a|+|x+b|,則fmax(x)無,fmin(x)=|a-b|；

(2)若f(x)=|x+a|-|x+b|,則fmax(x)=

|a-b|,fmin(x)=-|a-b|.

2.已知f(x)=|Hx+b|+|x+c|，求f(x)的最小值(高考考試題型)其中H≥1，b和c中有一個是參數，一個是已知量.

(師)請哪位同學給再給我們舉出一些實例來強化訓練？

(第3學習小組展示)例1 若f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5，求實數a的值.

(第6學習小組展示)解析：∵H=2≥1,∴f(x)≥|x+1|+|x-a|,由|p|+|q|≥|p-q|得f(x)≥|(x+1)-(x-a)|=|a+1|,所以f(x)的最小值是|a+1|.由已知|a+1|=5，解得a=-6或4.

(第8學習小組展示)例2 若f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，求實數a的值.

點評：通過小組合作學習，自主總結、強化訓練、鞏固提高，進一步幫助學生掌握了有效的學習方法.

三、教學反思

1.以學生提出的問題為教學“引子”，調動了學生濃厚的學習興趣，放手引導學生進行探究，進一步刺激了學生主動探究問題的欲望和樂趣，培養了學生自主學習的意識與習慣.

2.研究性學習，打破了傳統課堂教學以灌輸為主的教學方式，教師成為了學生學習的引導者、合作者、促進者.特別是以小組合作交流學習，讓學生發現問題，并分析、探究、解決問題，有效地發展了學生的核心素養.

3.本節課改變了學生原來那種被動的、偏重于死記、機械訓練的接受性學習方式，進而采用對知識進行主動探求、在探求中掌握知識、并重視解決實際問題的主動積極的學習方法，這是一種有利于學生終身學會學習、學會應用、學會創新的學習方式.