比解題方法更重要的是數學本質*
——以一道?？碱}求解為例

江西省萍鄉市湘東中學 (337016) 彭小奇

近日學校組織的一次聯考，理科數學第20題是一道解析幾何題，涉及直線與圓、向量等內容.命題組提供的參考解答是解析幾何的通法，但計算量較大，學生得分率較低.

一、試題重現

已知圓C過點(4,1)，(0,1)，(2,3)，過P(-2,0)的直線l與圓C交于M,N兩點.

(1)若圓C′:(x+2)2+(y-4)2=9,試判斷圓C與圓C′的位置關系，并說明理由；

二、解法探究

常規解：(1)過程略，易得圓C:(x-2)2+(y-1)2=4,兩圓相外切;

圖1

三、教學感悟

一般地,學生在解題過程中用聯立方程的通法陷于繁雜的計算，茫然不知所措，反映出解析幾何解題教學中過于有重解題方法，輕數學本質現象.實際上,解析幾何是用代數的方法研究幾何問題，是數與形的統一.解決解幾題首先應充分利用平面幾何知識(如本例中解法4圓冪定理的運用，求圓中弦長運用弦心距，直線與圓錐曲線相交求弦長時，利用直線參數方程中參數和幾何意義等)；其次是運用代數、三角、向量等數學知識，這樣才能相得益彰.總之，數形結合是解析幾何的本質，圖形直觀是高考重點考查的核心素養.教學中只有注重數學本質，才能真正地提高學生分析問題和解決問題的能力.