解題釋疑要貼近學生的思維關鍵點

江蘇省張家港外國語學校 (215600) 何 威

“問題是數學的心臟”，尤其在高三復習課中，解題教學是不可忽視的一環.在各類模擬卷中，很多類似的題目會反復出現，有時卻難以取得良好的教學效果，出現“聽得懂、不會做”的現象.有時教師會出現根據已有的經驗處理問題，忽略學生真正的困難，導致課堂演變成一言堂.問題年年相似，學生年年不同，解題教學的實效如何，關鍵在于了解學生的思維困難，是策略選擇的問題還是細節處理不當？教師站在學生的角度看問題，分析疑難所在，在學生的能力成長點上著力，并總結、品味解題經驗.

下面筆者以學生遇到的細節疑難為例，談一談自己的思考，與大家交流.

一、試題呈現

二、過程釋疑

師：這道題做的不甚理想，同時也是一道很有價值的題目，請大家說說自己的想法.

師：是個很好的角度，這里的換元轉化等價嗎？a,b∈R+如何體現呢？

師：這里的φ是變量嗎？

圖1

生3：我根據齊次式的特征，可以通過換元實現減元，化為一元函數問題.

師：非常好，除了觀察次數這一角度，還有沒有其他地方出現平方加平方這樣的特征？

生4：我看它跟點到直線的距離公式比較接近，想構造試試看.

圖2

師：抓住幾何意義去看，幾乎不用動筆算.看來思維的長度越長，解題的長度就越小啊.在形的結構下，還有出現平方式的地方嗎？

圖3

至此，筆者引導學生綜合多種解法，端點的取舍關鍵在于變量范圍的跟蹤與傳遞.而式子的結構特點是決定公式選取的關鍵，例如齊次式是換元、減元的信號.

變式練習：(2019江蘇高考熱身AB卷)已知正數x,y,z滿足x2+y2+z2=1，則3xy+yz的最大值為.

三、教學啟示

1.解題教學需要引導學生識別問題，促進方法聯想的有效性

高三教學雖是以復習為主，但學生只具備了基礎知識，在變化的問題情景中綜合能力還有待提高.關鍵在于對問題特征的細化分析，即已知是什么，未知是什么？你能從中聯想到什么？善于解題的人，要多觀察問題中出現的結構特征，比如定義、定理、公式的“型”，從整體上、本質上感知這些數學元素“長什么樣子”，這是進行合理聯想的基礎.引導學生將現有的問題與已有的某些知識進行對比，從共性中提煉本質，區分核心主干與細枝末節，讓學生真正識別問題，促進聯想合理、自然、有效.

2.解題教學需要引導學生總結易錯點，從細節處鍛煉學生思維的嚴謹性

以該題為例，它的解法很多，主要用到了三角換元法、齊次式減元法、構造直線法、構造向量法、柯西不等式等.無論是采取哪種方法，實現問題的等價轉化是成功的前提.學生們錯誤多寫成(0,5],難點在于左端點的范圍，主要是對已知條件a,b∈R+的忽略.如在三角換元法中，限定了角φ的范圍，在構造直線法中，限定了直線l：2ax+by=0變動的區域等等.反思這些問題，有助于提升學生的解題經驗，知道解題的切入點是什么，運算的細節難點如何突破.解題中一個小的細節不注意，常常導致“行百步者半九十”，這恰恰是學生真正發生的學習難點，所以應精心分析總結學生的易錯點，舍得在教學上花時間，從而減少“反復講反復錯”的現象.

3.解題教學應注重發揮題目的內蘊功能，在數學審美中實現思想升華

德國教育家斯普朗格曾說：“教育的最終目的不是傳授已有的東西，而是要把人的創造力誘導出來，將生命感、價值感喚醒.”一個題目解完，回過頭再審視時，可以讓學生談談收獲，談談感覺最妙的地方，在平時糾錯中形成反思、品評的習慣.教師在解題教學中，有意識的引導學生回顧解題的策略與方法，讓學生產生新奇感、產生美感，激發學生的數學情感.在解決當前問題中對知識再梳理、再聯通、再創造，實現從具體問題到一般問題的思辨，從方法技巧到數學思想的升華，激發學生學習數學以及追求真理的內在動力.