一個開放問題的探究

江蘇省姜堰中等專業學校 (225500) 陳 宇

已知a,b,c∈R+,當λ與μ滿足什么條件時，如下不等式成立：

筆者將主要依據分類，換元，特殊化與一般化及排除等思想方法解答這個問題.

解：由不等式(1)成立，可知μ+λ>0,則λ與μ存在下列四種關系：

(1)μ≥λ>0，(2)μ>0≥λ,(3)λ>μ≥0，(4)λ>0>μ.

當a=b=c>0時，不等式(1)成立,只需μ+λ>0，與μ，λ的大小無關.

當a，b，c不全相等時，∵不等式(1)兩邊循環對稱，不妨設0

同理，當λ=0時，有μ>0.

當λ,μ>0時，不等式(2)顯然成立,從而μ+λ>0，且與μ，λ的大小無關.

當λ<0時，不等式(2)有解集當且僅當Δ=4(μ+λ)(μ-λ)>0?μ>0>λ.

當λ>0,μ<0時，不等式(2)有解集，則Δ=4(μ+λ)(μ-λ)<0?μ<0<λ.

依次對應取m=a,b,c，n=b,c,a即得

∵當x>1,y≥1時，有(x6y4-1)+x2y2(x2y2-1)+2xy(x4y3-1)>0,從而(4)不成立.故λ>μ>0時不等式(3)不成立.

若λ>μ=0，由上可得λ[(x6y4-1)+x2y2(x2y2-1)]=0同樣矛盾.

當λ>0,μ<0時，-2xy(1-x4y3)=

綜上可知：不等式(1)成立.

①當且僅當正實數a=b=c時，等號成立.此時，λ與μ滿足條件μ+λ>0；

②正實數a,b,c不全相等時，(ⅰ)λ與μ滿足條件μ+λ>0，且μ≥λ>0；或μ>0≥λ；(ⅱ)λ=2μ>0.

筆者能力所限，只能求出本文所列“μ與λ滿足條件”.期待有興趣的讀者給出更寬的條件.