一組新穎數學問題的巧思妙解

江西省永修縣實驗學校 (330300) 葉大慶

問題是數學的心臟,問題解決是數學教育和數學學習的核心.教師在教學中應著力求增強解決問題的能力，得心應手地去應對紛繁多變的數學問題.本文旨在介紹一組新穎數學問題的漂亮解答.

又注意到a2+b2+c2=1-2ab-2bc-2ca，從而可得a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc=1-3ab-3bc-3ca+3abc，而a3+b3+c3=4，故abc-ab-bc-ca=1，所以

注1：本題求解凸顯對已知條件的靈活運用.

注2：本題證明擺脫了由繁到簡或由左到右的證明模式.類似可證(證明留給讀者)：4sin20°+

注3：解題中恰到好處地應用基本知識(這里指的是均值不等式)有時并不容易.

例4 已知a,b,c是滿足a+b+c=0和a2+b2+c2=6的實數，求證：a3+b3+c3≤6.

注4：本題求解的核心是減元.

例5 已知a,b,c,d是滿足a2+b2+(a-b)2=c2+d2+(c-d)2的實數，求證：a4+b4+(a-b)4=c4+d4+(c-d)4.

證明：由已知條件得到a2+b2-c2-d2=(c-d)2-(a-b)2和a2+b2-c2-d2=ab-cd，于是a4+b4-c4-d4=(a2+b2)2-(c2+d2)2-2a2b2+2c2d2=(a2+b2-c2-d2)(a2+b2+c2+d2)-2(ab-cd)(ab+cd)=((c-d)2-(a-b)2)(a2+b2+c2+d2)-2((c-d)2-(a-b)2)(ab+cd)=((c-d)2-(a-b)2)(a2+b2+c2+d2-2ab-2cd)=((c-d)2-(a-b)2)((c-d)2+(a-b)2)=(c-d)4-(a-b)4，所以a4+b4+(a-b)4=c4+d4+(c-d)4.

注5：看準證明的大方向，剝絲抽繭，步履不亂.

注6：運用好均值不等式的關鍵常常在于系數的湊配.

例7 在ΔABC中，sinA=cosB=cotC，求sinB的值.

注7：本題是筆者在教學研究中所得到的結果.

令x=|a|+|b|+|c|，則x>0，x2=(|a|+|b|+|c|)2=a2+b2+c2+2(|ab|+|bc|+|ca|)=9+2·

注8：本題來源于對2019年秘魯數學奧林匹克試題的改進：