對數(shù)平均數(shù)不等式的證明與應(yīng)用

安徽省合肥一六八中學(xué) (230000) 談世勇

1.對數(shù)平均不等式的代數(shù)證明

該不等式本身的證明是通過構(gòu)造函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)作為工具，利用函數(shù)單調(diào)性而得．在處理某些與指數(shù)、對數(shù)相關(guān)的不等式問題時(shí)，可以嘗試應(yīng)用它來幫助思考分析．

2.對數(shù)平均數(shù)的不等關(guān)系的幾何證明

圖1 圖2

因?yàn)镾曲邊梯形ABQP>S梯形ABFE=S矩形ABNM，

3.對數(shù)平均數(shù)不等關(guān)系的應(yīng)用舉例

例1 (2010年天津高考理科21題)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R)．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(Ⅱ)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>g(x)；

(Ⅲ)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2．

例2 (2011年遼寧高考理科壓軸題)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f′(x0)<0．