2019年全國高考卷Ⅲ第23題的推廣及應用
2020-05-30 04:07:26重慶三峽學院數學與統計學院404000蘭晨曦陳曉春
中學數學研究(江西) 2020年4期
重慶三峽學院數學與統計學院 (404000) 黃 浩 蘭晨曦 陳曉春
2019年高考全國卷Ⅲ第23題(1)：
設x,y,z∈R，且x+y+z=1，求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值.
上述不等式為條件不等式，將其一般化，可得到如下的不等式：
不等式1 設x,y,z,x0,y0,z0∈R,且Ax+By+Cz=S，其中A,B,C,D是常數，且A2+B2+C2≠0，則(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2≥
再將結論的左邊添加系數并將指數推廣有：
特別地，當A=B=C=1，x0=y0=z0=0時有：
不等式2及不等式3，結構對稱，形式優美，對證明分式不等式十分有效，下面舉例說明：
例1 已知a,b,c為正數，且滿足abc=1，證明：(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.(2019年高考全國卷Ⅰ第23題(2))
證明:記原不等式左端為M，注意到在條件x+y+z=1，由冪平均不等式有xn+1+yn+1+zn+1≥
從不等式2的證明可以看出，可將不等式2及不等式3進一步推廣為：
