聯想構造促轉化 三角代換顯神奇
——一道最值問題解法的探究

上海市復興高級中學 (200434) 方長林

1.試題呈現

此題是筆者學校高三10月份月考一道試題，構思精巧，但難度較大，得分率極低.少數學生利用基本不等式的方法求出一個錯誤的答案1，大部分學生對此題似曾相識，但苦苦思索終不知解題的突破口在哪，找不到恰當的解題方法.

2.解法探究

2.1 似曾相識燕歸來——定式思維，困于基本不等式

2.2 曲徑通幽尋思路——善于聯想，構造向量促轉化

突破定式，轉換解題思路，換一個角度聯想.題目的條件“a1,a2,a3,a4∈R，且a1a4-a2a3=1”與三角形一種類型的面積公式很相似“在△OAB中，設O(0,0),A(a1,a2),B(a3,a4),則S△ABC=

2.3 柳暗花明又一村——發散思維，三角代換顯神奇

聯想到面積公式、構造向量的方法對大多數學生來說有些難度，畢竟行列式形式的面積公式不大常用.還有什么方法比較自然一點呢？四個變量能否代換消元？嘗試一下對題目條件“a1,a2,a3,a4∈R，且a1a4-a2a3=1”實施三角換元，則可以將目標代數式直接轉化為三角函數求最值問題，方便簡潔.

方法二：設a1=λcosα,a2=λsinα,a3=μcosβ,a4=μsinβ,∴a1a4-a2a3=λμcosαsinβ-

數學解題就是要觀察問題的本質，尋求解題的途徑，類比聯想推理，探索求解的捷徑.解題中鼓勵學生嘗試多角度觀察問題、多角度思考問題，訓練一題多解、一題多思，不僅可以提高學生的解題能力，改善學生的思維品質，還可以提升數學的核心素養.