芻議氣體狀態(tài)變化問(wèn)題的求解策略

■河南省平頂山市第一中學(xué)

高考選考模塊《選修3—3》中的計(jì)算題往往會(huì)考查利用氣體實(shí)驗(yàn)定律或理想氣體狀態(tài)方程求解氣體的狀態(tài)參量這一知識(shí)點(diǎn)。這類(lèi)試題可以細(xì)分為三大類(lèi)型，即“一團(tuán)氣”的多狀態(tài)變化過(guò)程問(wèn)題、“兩團(tuán)氣或兩團(tuán)以上氣”無(wú)氣體交換的狀態(tài)變化過(guò)程問(wèn)題，以及

“兩團(tuán)氣或兩團(tuán)以上氣”有氣體交換的狀態(tài)變化過(guò)程問(wèn)題。下面通過(guò)實(shí)例剖析探究求解這三大類(lèi)型的解題思路，希望對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考有所幫助。

一、求解“一團(tuán)氣”的多狀態(tài)變化過(guò)程問(wèn)題的策略

求解“一團(tuán)氣”的多狀態(tài)變化過(guò)程問(wèn)題時(shí)，若不涉及動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，則可以直接運(yùn)用氣體實(shí)驗(yàn)定律或理想氣體狀態(tài)方程列式求解；若涉及動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，則需要先找到氣體狀態(tài)變化過(guò)程中可能出現(xiàn)的“臨界點(diǎn)”，將“臨界點(diǎn)”前后劃分為不同的“子過(guò)程”，再選擇不同的“子過(guò)程”作為研究對(duì)象，根據(jù)力學(xué)平衡條件或牛頓第二定律、氣體實(shí)驗(yàn)定律或理想氣體狀態(tài)方程列式求解。

例1帶有活塞的汽缸內(nèi)封閉一定量的理想氣體，氣體最初處于狀態(tài)A，先經(jīng)過(guò)程A→B到達(dá)狀態(tài)B，后經(jīng)過(guò)程B→C到達(dá)狀態(tài)C，如圖1所示。已知?dú)怏w在狀態(tài)A時(shí)的壓強(qiáng)、體積和溫度分別為pA、VA和TA，在狀態(tài)B時(shí)的體積為VB，在狀態(tài)C時(shí)的溫度為T(mén)C。求：

（1）氣體在狀態(tài)B時(shí)的溫度TB。

（2）氣體在狀態(tài)A時(shí)的壓強(qiáng)與在狀態(tài)C時(shí)的壓強(qiáng)之比。

解析：（1）由氣體的V-T圖像可知，過(guò)程A→B為等壓變化過(guò)程，由蓋-呂薩克定律得，解得TB=。

（2）由氣體的V-T圖像可知，過(guò)程B→C為等容變化過(guò)程，由查理定律得；過(guò)程A→B為等壓變化過(guò)程，壓強(qiáng)相等，即pA=pB。聯(lián)立以上各式解得。

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)氣體的V-T圖像先判斷出過(guò)程A→B為等壓變化過(guò)程，過(guò)程B→C為等容變化過(guò)程，再根據(jù)蓋-呂薩克定律可求出氣體在狀態(tài)B時(shí)的溫度然，然后根據(jù)查理定律即可求出氣體在狀態(tài)A時(shí)的壓強(qiáng)與在狀態(tài)C時(shí)的壓強(qiáng)之比。

例2一定質(zhì)量的理想氣體被活塞封閉在豎直放置的圓柱形汽缸內(nèi)，汽缸壁導(dǎo)熱良好，活塞可沿汽缸壁無(wú)摩擦地滑動(dòng)。開(kāi)始時(shí)氣體壓強(qiáng)為p，活塞下表面距汽缸底部的高度為h，外界的溫度為T(mén)0。現(xiàn)取質(zhì)量為m的沙子緩慢地倒在活塞的上表面，沙子倒完時(shí)，活塞下降了。已知外界大氣壓強(qiáng)始終保持不變，重力加速度大小為g。若此后外界的溫度變?yōu)門(mén)，求重新達(dá)到平衡后汽缸內(nèi)氣體的體積。

解析：設(shè)汽缸的橫截面積為S，質(zhì)量為m的沙子全部倒在活塞上表面后，對(duì)氣體產(chǎn)生的壓強(qiáng)。氣體做等溫變化，由玻意耳定律得phS=（p+Δp）S，解得。在外界的溫度變?yōu)門(mén)，重新達(dá)到平衡的過(guò)程中，氣體做等壓變化，設(shè)最終活塞下表面距汽缸底部的高度為h′，由蓋-呂薩克定律得，解得h′=。因此最終氣體的體積V=Sh′=

點(diǎn)評(píng)：質(zhì)量為m的沙子全部倒在活塞上表面達(dá)到平衡的時(shí)刻是氣體狀態(tài)變化的“臨界點(diǎn)”，分別對(duì)“臨界點(diǎn)”前后的兩個(gè)“子過(guò)程”運(yùn)用力學(xué)規(guī)律和氣體實(shí)驗(yàn)定律列式，即可求得氣體在各狀態(tài)時(shí)的參量。

二、求解“兩團(tuán)氣或兩團(tuán)以上氣”無(wú)氣體交換的狀態(tài)變化過(guò)程問(wèn)題的策略

求解“兩團(tuán)氣或兩團(tuán)以上氣”無(wú)氣體交換的狀態(tài)變化過(guò)程問(wèn)題時(shí)，因?yàn)楦鞑糠謿怏w的質(zhì)量不發(fā)生變化，不同部分氣體間往往以壓強(qiáng)為橋梁建立起聯(lián)系，所以先對(duì)不同部分氣體獨(dú)立進(jìn)行狀態(tài)分析，確定每團(tuán)氣體的變化性質(zhì)，應(yīng)用相應(yīng)的氣體實(shí)驗(yàn)定律或理想氣體狀態(tài)方程列式，再充分應(yīng)用各團(tuán)氣體之間的壓強(qiáng)、體積、溫度等參量的有效關(guān)聯(lián)，即可求得各團(tuán)氣體在各狀態(tài)時(shí)的參量。

例3如圖2所示，U 形管左右兩管粗細(xì)不等，左側(cè)A管開(kāi)口向上，封閉的右側(cè)B管橫截面積是A管的3 倍。管中裝入水銀，已知大氣壓強(qiáng)p0=76cmHg，環(huán)境溫度t0=27 ℃；A管內(nèi)水銀面到管口的距離h1=24cm；且比B管內(nèi)水銀面高Δh=4cm；B管內(nèi)封閉的空氣柱長(zhǎng)度h2=12cm。欲使兩管內(nèi)水銀面相平，現(xiàn)用小活塞把A管開(kāi)口端封住，并給A管內(nèi)氣體加熱，B管內(nèi)氣體溫度保持不變。試求當(dāng)兩管內(nèi)水銀面相平時(shí)，A管內(nèi)氣體的溫度。

解析：設(shè)A管的橫截面積為S，則B管的橫截面積為3S。設(shè)從初狀態(tài)到末狀態(tài)A管內(nèi)水銀面下降Δh1，B管內(nèi)水銀面上升Δh2，則Δh1+Δh2=Δh，Δh1S=3Δh2S，解得Δh1=3cm，Δh2=1cm。以B管內(nèi)封閉氣體為研究對(duì)象，氣體做等溫變化，初狀態(tài)時(shí)有p1=p0+ρgΔh=80cmHg，V1=3Sh2，末狀態(tài)時(shí)有V2=3S（h2-Δh2），由玻意耳定律得p1V1=p2V2，解得p2=87.3cmHg。以A管內(nèi)封閉的氣體為研究對(duì)象，初狀態(tài)時(shí)有p3=p0=76cmHg，V3=Sh1，T0=（273+27）K，末狀態(tài)時(shí)有p4=p2=87.3cmHg，V4=S（h1+Δh1），由理想氣體狀態(tài)方程得，解得T2=387.7K。

點(diǎn)評(píng)：左側(cè)A管內(nèi)和右側(cè)B管內(nèi)氣體被水銀柱分成兩團(tuán)獨(dú)立的氣體，分別以左側(cè)A管內(nèi)和右側(cè)B管內(nèi)氣體為研究對(duì)象，找出初、末狀態(tài)參量，應(yīng)用相應(yīng)的氣體實(shí)驗(yàn)定律或理想氣體狀態(tài)方程列式，并利用當(dāng)兩管內(nèi)水銀面相平時(shí)兩團(tuán)氣體的壓強(qiáng)相等這一條件，即可求得最終A管內(nèi)氣體的溫度。

三、求解“兩團(tuán)氣或兩團(tuán)以上氣”有氣體交換的狀態(tài)變化過(guò)程問(wèn)題的策略

求解“兩團(tuán)氣或兩團(tuán)以上氣”有氣體交換的狀態(tài)變化過(guò)程問(wèn)題時(shí)，不同部分氣體間存在氣體交換，對(duì)每一部分氣體而言都屬于變質(zhì)量問(wèn)題，但是以不同部分氣體組成的整體的總質(zhì)量是不變的，因此我們可以展開(kāi)想象，先虛擬一個(gè)中間過(guò)程，把變質(zhì)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成定質(zhì)量問(wèn)題，再利用氣體實(shí)驗(yàn)定律或理想氣體狀態(tài)方程列式，即可順利解答。常見(jiàn)的“兩團(tuán)氣或兩團(tuán)以上氣”有氣體交換的狀態(tài)變化過(guò)程問(wèn)題包括抽氣問(wèn)題、打氣問(wèn)題和氣體分裝問(wèn)題等。

例4用容積為ΔV的活塞式抽氣機(jī)抽取容積為V0的容器中的氣體，設(shè)容器中原來(lái)氣體的壓強(qiáng)為p0，抽氣過(guò)程中氣體溫度保持不變。求抽氣機(jī)的活塞抽動(dòng)n次后，容器中剩余氣體的壓強(qiáng)pn。

解析：如圖3 所示是活塞式抽氣機(jī)的示意圖，當(dāng)活塞上提抽第一次氣時(shí)，設(shè)容器中剩余氣體的壓強(qiáng)為p1，由玻意耳定律得p1（V0+ΔV）=p0V0，解得p1=。當(dāng)活塞下壓時(shí)，閥門(mén)a關(guān)閉，b打開(kāi)，抽氣機(jī)中ΔV體積的氣體排出。當(dāng)活塞第二次上提抽第二次氣時(shí)，設(shè)容器中剩余氣體的壓強(qiáng)降為p2，由玻意耳定律得p2（V0+ΔV）=p1V0，解 得。當(dāng)活塞第三次上提抽第三次氣時(shí)，設(shè)容器中剩余氣體的壓強(qiáng)降為p3，由玻意耳定律得p3（V0+ΔV）=p2V0，解得。因此抽氣機(jī)的活塞抽動(dòng)n次后，容器中剩余氣體的壓強(qiáng)

點(diǎn)評(píng)：抽氣問(wèn)題中每抽一次，容器內(nèi)的氣體質(zhì)量和壓強(qiáng)都會(huì)變化，因此分析每次的抽氣過(guò)程時(shí)，需要把即將抽出的氣體和容器中剩余的氣體一起作為研究對(duì)象，把變質(zhì)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定質(zhì)量問(wèn)題，列式求解，并采用數(shù)學(xué)歸納法尋找所求結(jié)果遵循的數(shù)學(xué)規(guī)律，獲得最終結(jié)果。打氣是抽氣的逆過(guò)程，氣體分裝與抽氣過(guò)程類(lèi)似，求解時(shí)都需要通過(guò)虛擬中間過(guò)程把變質(zhì)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成定質(zhì)量問(wèn)題。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖4甲所示，U 形汽缸固定在水平地面上，用重力不計(jì)，橫截面積S=10cm2的活塞封閉著一定質(zhì)量的氣體。汽缸不漏氣，活塞移動(dòng)過(guò)程中無(wú)摩擦。初始時(shí)，外界大氣壓強(qiáng)p0=1.0×105pa，活塞緊壓小擋板。現(xiàn)緩慢升高汽缸內(nèi)氣體的溫度：

（1）請(qǐng)?jiān)趫D4 乙中作出能反映汽缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)p隨熱力學(xué)溫度T變化的圖像。

（2）當(dāng)汽缸內(nèi)氣體溫度緩慢升高到t1=27 ℃時(shí)，活塞與小擋板間恰好無(wú)作用力。現(xiàn)在活塞上加一質(zhì)量m=5kg的砝碼，要使加砝碼后活塞與小擋板間恰好無(wú)作用力，則汽缸內(nèi)氣體的溫度至少要升高到多少攝氏度？（取g=10m/s2）

2.如圖5所示，汽缸A和B的橫截面積分別為100cm2和50cm2，兩汽缸中空氣柱的長(zhǎng)度均為10cm 時(shí)活塞靜止。若此時(shí)氣體溫度均為27 ℃，氣體的壓強(qiáng)和外界大氣壓強(qiáng)相等，均為1.0×105Pa。當(dāng)對(duì)汽缸A中氣體加熱，而汽缸B中氣體的溫度不變時(shí)，活塞向右移動(dòng)6cm 而靜止，求：

（1）汽缸B中氣體的壓強(qiáng)。

（2）汽缸A中氣體的壓強(qiáng)和溫度。

3.如圖6所示，容器A與B由毛細(xì)管C連接，兩容器的體積大小關(guān)系為VB=3VA，毛細(xì)管不傳熱，且體積不計(jì)。開(kāi)始時(shí)，容器A、B內(nèi)都充有溫度為T(mén)0、壓強(qiáng)為p0的空氣。現(xiàn)使容器A中氣體的溫度保持不變，對(duì)容器B中氣體加熱，使容器B內(nèi)氣體的壓強(qiáng)變?yōu)?p0，求容器B中氣體的溫度。

參考答案：

1.（1）如圖7所示；（2）t=177 ℃。

2.（1）pB′=2.5×105Pa；（2）pA′=1.75×105Pa，TA′=840K。

3.TB=3T0。