四類常見幾何光學問題的求解方法

■廣東省汕頭市澄海蘇北中學

光學相關知識是高考選考模板《選修3—4》中的一個常考知識點，其中幾何光學是光學的重點內容。常見的幾何光學問題包括光的反射、折射、全反射和雙縫干涉四類，求解這四類幾何光學關系問題需要靈活運用反射定律、折射定律、全反射的臨界角與介質折射率的關系、雙縫干涉圖樣中相鄰兩個亮條紋或暗條紋的中心間距公式等物理規律和公式。下面舉例說明。

一、光的反射問題

解答光的反射問題，需要在正確畫出光路圖的基礎上，利用反射定律和幾何關系列式求解。

注意：光路具有可逆性，幾何關系在求解幾何光學問題時具有極其重要的作用。

例1激光液面控制儀的工作原理是：如圖1所示，固定的一束激光AO以入射角i照射到水平液面上，反射光OB射到水平放置的光屏上，光屏上的光電管將光訊號轉換為電訊號，通過電訊號輸入控制系統控制液面的高度。若發現光點B在光屏上向右移動了Δs距離，射到B′點，則液面的高度變化情況是（ ）。

解析：作出激光AO兩次照射到水平液面上的反射光路圖，如圖2 所示。由幾何關系可知，液面下降，且OM=BB′=Δs，tani=，解得液面下降高度h=。

答案：C

二、光的折射問題

解答光的折射問題，需要在正確畫出光路圖的基礎上，利用折射定律和幾何關系列式求解。

注意：利用折射定律分析折射現象時，若光從光疏介質射向光密介質，則入射角大于折射角；若光從光密介質射向光疏介質，則入射角小于折射角。

例2平行的紅光和藍光從平板玻璃磚的上表面以入射角θ射入，穿過玻璃磚從下表面射出。已知該玻璃對紅光的折射率為1.5。設紅光與藍光穿過玻璃磚所用的時間分別為t1和t2，則在入射角θ從0逐漸增大至90°的過程中（ ）。

A.t1始終小于t2

B.t1始終大于t2

C.t1先小于后大于t2

D.t1先大于后小于t2

解析：設玻璃磚的厚度為h，紅光第一次折射時的折射角為α，藍光第一次折射時的折射角為β，因為玻璃對紅光的折射率小于對藍光的折射率，所以α＞β。作出紅光和藍光在玻璃磚中的光路如圖3所示。當紅光穿過玻璃磚時，由物理學規律和幾何關系得，由折射定律得，解得當藍光穿過玻璃磚時，同理得因為該玻璃對紅光的折射率n=1.5，，所以α＜45°。又因為β＜α，所以2β＜2α＜90°，即sin2α＞sin2β。由t1和t2的表達式得t1＜t2。

答案：A

三、光的全反射問題

解答光的全反射問題，需要先畫出恰好發生全反射的光路圖，再利用光路的可逆性、對稱性等分析角、線的關系，判斷題述光線是否發生全反射。

注意：發生全反射現象的條件是光從光密介質射入光疏介質，且入射角等于或大于臨界角。

例3如圖4 所示，一個用折射率為n的透明介質做成的三棱鏡的橫截面ABD中 的∠A=90°，∠B=∠D=45°。一細光束從E點垂直入射到BD面上，已知BE∶ED=1∶3。

（1）若該光束在AB面和AD面外側均無出射光，求折射率n的取值范圍。

（2）折射率n取（1）問中的最小值，不計入射光在三棱鏡內經過三次或三次以上的反射光線。使該光束繞E點順時針轉過θ=30°入射，如圖4中虛線所示，請分析說明該光束在AB面和AD面外側是否有出射光。

解析：（1）因為AB、AD面外側均無出射光，所以光路如圖5所示。設臨界角為C，由全反射的臨界角與介質折射率的關系sinC=可知，為確保發生全反射，則必須使得C≤45°，解得n≥。

（2）該光束繞E點順時針轉過θ=30°入射時的光路如圖6所示。由n=，sinC0=，解得C0=45°。由幾何關系得∠2=180°-45°-（90°-∠1）=45°+∠1＞C0，∠3=90°-∠2=45°-∠1＜C0，因此AB面外側無出射光，AD面外側有出射光。

四、光的雙縫干涉問題

解答光的雙縫干涉問題，需要明確光的雙縫干涉現象中觀察到的是明暗相間的條紋，且相鄰兩個亮條紋或暗條紋的中心間距Δx與雙縫間的距離d、雙縫到屏的距離l間的定量關系是Δx=

注意：發生干涉的條件是兩束光的頻率相同，且相位差保持不變；光的雙縫干涉圖樣中相鄰兩個亮條紋或暗條紋的中心間距與波長成正比。

例4如圖7 所示是雙縫干涉實驗裝置，屏上O點到雙縫S1、S2的距離相等。當用波長為0.75μm 的單色光照射時，P點是位于O點上方的第二個亮條紋的位置。若換用波長為0.6μm 的單色光做實驗，則P點是亮條紋還是暗條紋？ 在屏上O、P兩點間共有幾個暗條紋？

解析：當用波長λ1=0.75μm 的單色光照射時，P點為O點上方的第二個亮條紋的位置，因此P點到雙縫S1、S2的距離差Δr=2λ1=1.5μm。改用波長λ2=0.6μm 的單色光照射時，P點到雙縫S1、S2的距離差Δr=，因此P點是暗條紋。因為從O點到P點與雙縫S1、S2的距離差由零逐漸增大，所以在屏上O、P兩點間必有與雙縫S1、S2的距離差為和的兩點，即O、P兩點間共有兩個暗條紋。

方法與總結

幾何光學問題的解題思路：根據題意提取合適的物理模型→判斷發生的光學現象是反射、折射、全反射、干涉中的哪一種或哪幾種→準確作出光路圖→運用光學定律和幾何關系確定光傳播過程中各物理量的關系→準確計算，合理推斷，得出最終結果。

跟蹤訓練

1.如圖8所示是一種顯示微小形變的裝置，它可以把微小形變“放大”到可以直接測出來。下列說法中正確的是（ ）。

A.此裝置將桌面的形變經過兩次放大，顯示在刻度尺上，故能明顯地觀察到

B.若刻度尺上的示數增大，則說明力F在增大

C.若刻度尺上的示數增大，則說明力F在減小

D.若刻度尺上的示數減小，則說明力F在增大

2.如圖9所示，一束單色光斜射到厚平板玻璃的一個表面上，經過兩次折射后從玻璃板的另一表面射出，出射光線相對于入射光線側移了一段距離。在下列情況下，出射光線側移距離最大的是（ ）。

A.紅光以30°的入射角入射

B.紅光以45°的入射角入射

C.紫光以30°的入射角入射

D.紫光以45°的入射角入射

3.一束細光線在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種介質界面上的反射和折射情況如圖10所示，則該光線在這三種介質里的傳播速度的大小關系應是（ ）。

A.vⅠ＞vⅡ＞vⅢ

B.vⅠ＜vⅡ＜vⅢ

C.vⅠ＞vⅢ＞vⅡ

D.vⅢ＞vⅠ＞vⅡ

4.光纖通信是借助光導纖維利用光的全反射原理完成大量信息的高速傳輸的。如圖11所示，一直光導纖維A、B兩端間的距離為s，一光脈沖信號從光導纖維中心入射，在光導纖維與空氣的界面上恰好發生全反射，由A端傳輸到B端所用的時間為t，求光導纖維所用材料的折射率。

5.如圖12所示，一束光沿半徑方向射向一塊半圓柱形玻璃磚，其在玻璃磚底面上的入射角為θ，經折射后射出a、b兩束光線。分別用a、b光在同一個雙縫干涉實驗裝置上做實驗，請判斷用a、b光分別做雙縫干涉實驗產生的干涉圖樣中相鄰兩個亮條紋或暗條紋中心間距Δxa和Δxb的大小關系。

參考答案：

1.AB 2.D 3.C

4.n=

5.Δxa＜Δxb。