例說機械振動與機械波問題的解法

■江蘇省沐陽高級中學

機械振動和機械波是高考選考模板《選修3—4》中的一個常考知識點，可能設置以對機械振動和機械波相關知識定性分析為主的選擇題，也可能設置以對振動圖像和波的圖像定量計算為主的解答題。下面結合實例歸納求解機械振動與機械波問題的方法和技巧，幫助同學們厘清思路，提高復習效率。

一、根據簡諧運動的特征求解

從運動學角度看，簡諧運動的特征有往復性、周期性和對稱性；從動力學角度看，簡諧運動的特征表現在做簡諧運動的質點所受回復力F的方向總與質點偏離平衡位置的位移x的方向相反（總是指向平衡位置），其大小總與質點偏離平衡位置的位移x的大小成正比（F=-kx）。利用簡諧運動的特征可以分析物體的運動過程和受力情況。

例1如圖1所示，一小球從豎直固定在地面上的輕彈簧的正上方某處自由下落，接觸彈簧后將彈簧壓縮，在小球壓縮彈簧的全過程中，彈簧始終處在彈性限度內。當彈簧的壓縮量最大時，下列說法中正確的是（ ）。

A.小球所受合外力最大，但不一定大于重力

B.小球的加速度最大，且一定大于重力加速度

C.小球的加速度最大，有可能小于重力加速度

D.小球所受彈簧彈力最大，但不一定大于重力

解析：選取小球壓縮彈簧過程中的四個特殊位置，如圖2 所示。設小球剛接觸彈簧時的速度為v，方向向下，此時小球的加速度大小a=g，方向向下。設小球向下運動將彈簧壓縮距離x到達平衡位置時（小球所受向上的彈簧彈力與向下的重力大小相等）有最大速度vmax，此時小球的加速度a=0。根據簡諧運動的對稱性可知，小球從平衡位置繼續向下運動距離x時的速度大小仍為v，方向向下，此時小球的加速度大小a=g，方向向上。小球繼續向下做減速運動到達最低點時的速度為0，此時小球向上的加速度應大于重力加速度g的值，小球所受合外力大于重力。

答案：B

二、利用振動圖像所含信息求解

當質點做簡諧運動時，其振動圖像是形如圖3所示的正弦曲線。簡諧運動的振動圖像反映的是某振動質點在各個時刻相對于平衡位置的位移的變化情況。由定量畫出的簡諧運動的振動圖像可以得到振幅A，周期T，某時刻質點相對于平衡位置的位移x，某時刻質點的振動方向、速度、加速度、回復力，以及振動的能量形式等物理量。

例2如圖4（a）（b）所示分別是甲、乙兩個單擺在同一位置處做簡諧運動的圖像，則下列說法中正確的是（ ）。

A.甲、乙兩單擺的擺長之比為1∶2

B.t=2s時刻，甲擺球的重力勢能最小，乙單擺的動能最小

C.t=8s時刻，兩擺球的速度方向相同

D.甲、乙兩擺球在最低點時，向心加速度大小可能相等

解析：由甲、乙兩個單擺的振動圖像可知，甲、乙兩單擺的周期之比T甲∶T乙=1∶2，由單擺的周期公式T=2π可知，甲、乙兩單擺的擺長之比l甲∶l乙=∶=1∶4，選項A 錯誤。t=2s時刻，甲擺球在平衡位置處，其重力勢能最小，乙擺球在最大位移處，其動能最小，選項B 正確。t=8s時刻，甲擺球從平衡位置向負方向最大位移處運動，乙擺球從平衡位置向正方向最大位移處運動，它們的速度方向相反，選項C 錯誤。設擺球擺動的最大偏角為θ，由mgl（1-cosθ）=mv2和a=可知，擺球在最低點時的向心加速度a=2g（1-cosθ），因兩擺球的最大偏角θ滿足sinθ=，故θ甲＞θ乙，即a甲＞a乙，選項D 錯誤。

答案：B

三、利用波的圖像所含信息求解

當存在做機械振動的物體作為波源并有能夠傳播機械振動的介質時，波源的振動將會引起相鄰質點的振動，從而在介質中形成機械波，波的圖像是形如圖5 所示的正弦曲線。波的圖像反映的是一系列質點在某一時刻相對于其平衡位置的位移隨質點的平衡位置變化的關系。由定量畫出的波的圖像可以確定波長λ、振幅A、波峰和波谷的位置、各個質點的位置和速度的方向（結合傳播方向）。

例3圖6中的實線是一列簡諧波在某一時刻的波形圖，虛線是0.2s后它的波形圖，求這列波可能的傳播速度。

四、根據振動圖像和波的圖像的異同點求解

振動是做機械振動的一個質點隨時間的推移而呈現的現象，波是在波源帶動下做機械振動的全部質點共同呈現的現象。求解振動圖像和波的圖像綜合問題需要明確二者的異同點。

1.相同點：二者都是按正弦或余弦規律變化的曲線；二者縱坐標均表示質點相對于平衡位置的位移，位移的最大值均表示質點的振幅。

2.不同點：振動圖像的橫坐標表示時間，箭頭方向表示時間向后推移；波的圖像的橫坐標表示質點距離振源的位移，箭頭的方向可以表示波的傳播方向（振動在介質中的傳播方向），也可以表示波的傳播方向的反方向。振動圖像隨時間的延續將向著橫坐標箭頭所指方向延伸，原圖像形狀不變；波的圖像隨時間的延續，原圖像的形狀將沿橫坐標向左或向右整體平移。

例4如圖7（a）所示為一列簡諧橫波在t=0.1s時刻的波形圖，P是平衡位置在x=1m 處的質點，Q是平衡位置在x=4 m處的質點。如圖7（b）所示為質點Q的振動圖像。下列說法中正確的是_____。

A.t=0.1s時刻，質點P向y軸正方向運動

B.t=0.1s時刻，質點P向y軸負方向運動

C.t=0.25s時刻，質點Q的加速度方向與y軸正方向相反

D.在0.1s～0.25s時間內，該波沿x軸負方向傳播了12m

E.在0.1s～0.25s時間內，質點Q通過的路程為30cm

解析：由質點Q的振動圖像可知，t=0.1s時刻，質點Q的速度方向與y軸負方向相同，結合波形圖可知，質點Q跟著右側相鄰質點振動，故波源在右側，波是從右向左傳播的，質點P向y軸正方向運動，選項A正確，B 錯誤。由質點Q的振動圖像可知，t=0.25s時刻，質點Q位于正向最大位移處，故其加速度方向與y軸正方向相反，選項C正確。由波形圖可知，波長λ=8 m，由質點Q的振動圖像可知，周期T=0.2s，解得波速v==40 m/s，因此在0.1s～0.25s時間內，該波沿x軸負方向傳播的距離Δx=vΔt=6m，選項D 錯誤。由質點Q的振動圖像可知，振幅A=10cm，在0.1s～0.25s時間內經過了T，因此質點Q通過的路程s=3A=30cm，選項E 正確。

答案：ACE

跟蹤訓練

1.如圖8所示，光滑弧形槽的半徑為R（R遠大于弧長MN），A為弧形槽的最低點。小球B放在A點正上方離A點高度為h處，小球C放在M點。同時釋放兩小球，要使兩小球正好在A點相碰，求小球B釋放時的高度h。

2.如圖9（a）所示為一列簡諧波在沿x軸方向傳播時的波形圖，P、Q是位于平衡位置的兩質點。若以圖示情況為計時起點，則如圖9（b）所示的振動圖像表示的應是（ ）。

A.當這列波沿x軸正方向傳播時，表示質點P的振動

B.當這列波沿x軸負方向傳播時，表示質點P的振動

C.當這列波沿x軸正方向傳播時，表示質點Q的振動

D.當這列波沿x軸負方向傳播時，表示質點Q的振動

3.一列簡諧波上兩質點P、Q的振動圖像分別如圖10（a）（b）所示，兩質點P、Q相距30m。

（1）若質點P距振源較近，求波速。

（2）若質點Q距振源較近，求波速。

參考答案：

1.h=（n=0，1，2，…）。

2.AD

3.（1）v=m/s（n=0，1，2，…）；（2）v=m/s（n=0，1，2，…）。